人教B版選修45 2.2 排序不等式 學(xué)案.doc

三排序不等式 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p351順序和、亂序和、反序和設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，稱(chēng)a1b1a2b2anbn為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的順序積之和(簡(jiǎn)稱(chēng)順序和)，稱(chēng)a1bna2bn1anb1為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的反序積之和(簡(jiǎn)稱(chēng)反序和)稱(chēng)a1c1a2c2ancn為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的亂序積之和(簡(jiǎn)稱(chēng)亂序和)2排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又稱(chēng)為排序不等式)設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，則有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等號(hào)成立(反序和等于順序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可簡(jiǎn)記作：反序和亂序和順序和說(shuō)明排序不等式也可以理解為兩實(shí)數(shù)序列同向單調(diào)時(shí)，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(diào)(一增一減)時(shí)，所得兩兩乘積之和最小 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p35例1已知a，b，c為正數(shù)，且abc，求證：.思路點(diǎn)撥分析題目中已明確abc，所以解答本題時(shí)可直接構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組，再用排序不等式證明即可證明ab0，于是，又c0，從而，同理，從而.又由于順序和不小于亂序和，故可得.所以原不等式成立利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個(gè)數(shù)組1已知0(sin 2sin 2sin 2)證明：0，且ysin x在為增函數(shù)，ycos x在為減函數(shù)，0sin sin cos cos 0.sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)2設(shè)x1，求證：1xx2x2n(2n1)xn.證明：x1，1xx2xn.由排序原理得12x2x4x2n1xnxxn1xn1xxn1即1x2x4x2nn(n1)xn.又因?yàn)閤，x2，xn,1為1，x，x2，xn的一個(gè)排列由排序原理得：1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1得xx3x2n1xn(n1)xn將相加得1xx2x2n(2n1)xn.用排序不等式證明不等式(對(duì)所證不等式中的字母大小順序作出假設(shè))例2在abc中，試證：思路點(diǎn)撥可構(gòu)造abc的邊和角的有序數(shù)列，應(yīng)用排序不等式來(lái)證明證明不妨設(shè)abc，于是abc.由排序不等式，得aabbccaabbcc，aabbccbacbac，aabbcccaabbc.相加，得3(aabbcc)(abc)(abc)(abc)，得.在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系，對(duì)于沒(méi)有給出大小關(guān)系的情況，要根據(jù)各字母在不等式中地位的對(duì)稱(chēng)性，限定一種大小關(guān)系3設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明：由題意不妨設(shè)abc0，由不等式的單調(diào)性，知abacbc，.由排序不等式，知abacbcabacbc，即所證不等式abc成立4設(shè)a1，a2，an是1,2，n的一個(gè)排列，求證：.證明：設(shè)b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一個(gè)排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一個(gè)排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p361有一有序數(shù)組，其順序和為a，反序和為b，亂序和為c，則它們的大小關(guān)系為()aabcbacbcabc dacb解析：由排序不等式，順序和亂序和反序和知；acb.答案：b2若axxx，bx1x2x2x3xn1xnxnx1其中x1x2，xn都是正數(shù)，則a與b的大小關(guān)系為()aab ba0，則ab0，由排序不等式2(aabb)a(ab)b(ab)(ab)，aabb(ab)答案：aabb(ab)8設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，求證：(aaa)(a1a2a3)3a1a2a3.證明：不妨設(shè)a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：順序和亂序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即3a1a2a3(aaa1)2(a3a2a1)9某學(xué)校舉行投籃比賽，按規(guī)則每個(gè)班級(jí)派三人參賽，第一人投m分鐘，第二人投n分鐘，第三人投p分鐘，某班級(jí)三名運(yùn)動(dòng)員a，b，c每分鐘能投進(jìn)的次數(shù)分別為a，b，c，已知mnp，abc，如何派三人上場(chǎng)能取得最佳成績(jī)？解：mnp，abc，且由排序不等式知順序和為最大值，最大值為manbpc，此時(shí)分?jǐn)?shù)最高，三人上場(chǎng)順序是a第一，b第二，c第三10設(shè)x，y，z為正數(shù)，求證：xyz.證明