不等式高級(jí)水平必備.doc

不等式高級(jí)水平必備-tobeenough不等式高級(jí)水平必備目錄Ch1. 伯努利不等式Ch2. 均值不等式Ch3. 冪均不等式Ch4. 柯西不等式Ch5. 切比雪夫不等式Ch6. 排序不等式Ch7. 琴生不等式Ch8. 波波維奇亞不等式Ch9. 加權(quán)不等式Ch10. 赫爾德不等式Ch11. 閔可夫斯基不等式Ch12. 牛頓不等式Ch13. 麥克勞林不等式Ch14. 定義多項(xiàng)式Ch15. 舒爾不等式Ch16. 定義序列Ch17. 繆爾海德不等式Ch18. 卡拉瑪塔不等式Ch19. 單調(diào)函數(shù)不等式Ch20. 個(gè)對(duì)稱變量法Ch21. 個(gè)對(duì)稱變量法Ch22. 法Ch23. 法Ch24. 法Ch25. 拉格朗日乘數(shù)法Ch26. 三角不等式Ch27. 習(xí)題與習(xí)題解析Ch1. 伯努利不等式1.1若實(shí)數(shù)（）各項(xiàng)符號(hào)相同，且，則： 式為伯努利不等式.當(dāng)時(shí)，式變?yōu)椋?Ch2. 均值不等式2.1若為正實(shí)數(shù)，記： ，為平方平均數(shù)，簡(jiǎn)稱平方均值； ，為算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱算術(shù)均值； ，為幾何平均數(shù)，簡(jiǎn)稱幾何均值； ，為調(diào)和平均數(shù)，簡(jiǎn)稱調(diào)和均值.則： 時(shí)，等號(hào)成立. （注：當(dāng)且僅當(dāng).）式稱為均值不等式.Ch3.冪均不等式3.1設(shè)為正實(shí)數(shù)序列，實(shí)數(shù)，則記： 式的稱為冪平均函數(shù).3.2若為正實(shí)數(shù)序列，且實(shí)數(shù)，則： 當(dāng)時(shí)，式對(duì)任何都成立，即關(guān)于是單調(diào)遞增函數(shù).式稱為冪平均不等式，簡(jiǎn)稱冪均不等式.3.3設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)序列，且，若為正實(shí)數(shù)序列，且實(shí)數(shù)，則： 式稱為加權(quán)冪平均函數(shù).3.4若為正實(shí)數(shù)序列，且實(shí)數(shù)，對(duì)則： 即： 當(dāng)時(shí)，式對(duì)任何都成立，即關(guān)于是單調(diào)遞增函數(shù).式稱為加權(quán)冪平均不等式，簡(jiǎn)稱加權(quán)冪均不等式.Ch4. 柯西不等式4.1若和均為實(shí)數(shù)，則： 時(shí)，等號(hào)成立.（注：當(dāng)且僅當(dāng).）式為柯西不等式.4.2柯西不等式還可以表示為： 簡(jiǎn)稱：“平方均值兩乘積，大于積均值平方”我們將簡(jiǎn)稱為積均值，記：.則：，即： 4.3推論1：若為實(shí)數(shù)，則： 時(shí)，等號(hào)成立.式是柯西不等式的推論，稱權(quán)方和不等式.4.4推論2：若和均為實(shí)數(shù)，則： 時(shí)，等號(hào)成立.4.5推論3：若為正實(shí)數(shù)，則： Ch5. 切比雪夫不等式5.1若；，且均為實(shí)數(shù).則： 或時(shí)，等號(hào)成立.式為切比雪夫不等式.由于有，條件，即序列同調(diào)，所以使用時(shí)，常采用 (注：不失一般性)5.2切比雪夫不等式常常表示為： 簡(jiǎn)稱：“切比雪夫同調(diào)數(shù)，均值積小積均值”.即：對(duì)切比雪夫不等式采用同單調(diào)性的兩個(gè)序列表示時(shí)，兩個(gè)序列數(shù)的均值之積不大于兩個(gè)序列數(shù)各積之均值. 則：即： Ch6. 排序不等式6.1若；為實(shí)數(shù)，對(duì)于的任何輪換，都有下列不等式： 式稱排序不等式（也稱重排不等式）.其中，稱正序和，稱反序和，稱亂序和. 故式可記為：正序和亂序和反序和 6.2推論：若為實(shí)數(shù)，設(shè)為的一個(gè)排序，則： Ch7. 琴生不等式7.1定義凸函數(shù)：對(duì)一切，若函數(shù)是向下凸函數(shù)，則： 式是向下凸函數(shù)的定義式.注：表示區(qū)間和函數(shù)在區(qū)間都是實(shí)數(shù).7.2若對(duì)任意，存在二次導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間為向下凸函數(shù)；時(shí)，若，則在區(qū)間為嚴(yán)格向下凸函數(shù).7.3若在區(qū)間為向下凸函數(shù)，則函數(shù)在在區(qū)間對(duì)任何也是向下凸函數(shù).7.4若是一個(gè)在區(qū)間的向下凸函數(shù)，設(shè)，為實(shí)數(shù)，且，則對(duì)任何，有： 式就是加權(quán)的琴生不等式.簡(jiǎn)稱：“對(duì)于向下凸函數(shù)，均值的函數(shù)值不大于函數(shù)的均值”.Ch8. 波波維奇亞不等式8.1若是一個(gè)在區(qū)間的向下凸函數(shù)，則對(duì)一切，有： 式就是波波維奇亞不等式.8.2波波維奇亞不等式可以寫成： 簡(jiǎn)稱：“對(duì)于向下凸函數(shù)的三點(diǎn)情況，三點(diǎn)均值的函數(shù)與函數(shù)的均值之平均值，不小于兩點(diǎn)均值的函數(shù)值之平均值”.8.3若是一個(gè)在區(qū)間的向下凸函數(shù)，則： 其中：，（對(duì)所有的）式是普遍的波波維奇亞不等式.當(dāng)，時(shí)，代入式得：即： 式正是式.Ch9. 加權(quán)不等式9.1若，（），且，則： 式就是加權(quán)的均值不等式，簡(jiǎn)稱加權(quán)不等式.式形式直接理解為：幾何均值不大于算術(shù)均值.Ch10. 赫爾德不等式10.1若實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)且，則： 時(shí)，等號(hào)成立.式稱為楊氏不等式.10.2若和為正實(shí)數(shù)，且，則： 式稱為赫爾德不等式. 時(shí)，等號(hào)成立.10.3赫爾德不等式還可以寫成： 即：，即： 簡(jiǎn)稱：“冪均值的幾何均值不小于積均值”.（注：赫爾德與切比雪夫的不同點(diǎn)：赫爾德要求是，切比雪夫要求是同調(diào)；赫爾德的積均值小，切比雪夫的積均值大.）10.4若、和為三個(gè)正實(shí)數(shù)序列，且，則： 式稱為加權(quán)赫爾德不等式. 時(shí)，等號(hào)成立.10.5若(;)，為正實(shí)數(shù)且，則： 式稱為普遍的赫爾德不等式.10.6推論：若，則： 簡(jiǎn)稱：“立方和的乘積不小于乘積和的立方”.Ch11.閔可夫斯基不等式11.1若；為正實(shí)數(shù)，且，則： 時(shí)，等號(hào)成立.式稱為第一閔可夫斯基不等式.11.2若；為正實(shí)數(shù)，且，則： 時(shí)，等號(hào)成立.式稱為第二閔可夫斯基不等式.11.3若；為三個(gè)正實(shí)數(shù)序列，且，則： 時(shí)，等號(hào)成立.式稱為第三閔可夫斯基不等式.Ch12.牛頓不等式12.1若為任意實(shí)數(shù)，考慮多項(xiàng)式： 的系數(shù)作為的函數(shù)可表達(dá)為：；（）；（）.對(duì)每個(gè)，我們定義 則式類似于二項(xiàng)式定理，系數(shù)為：.12.2若為正實(shí)數(shù)，則對(duì)每個(gè)有： 時(shí)，等號(hào)成立.式稱為牛頓不等式.Ch13.麥克勞林不等式13.1若為正實(shí)數(shù)，按定義，則： 時(shí)，等號(hào)成立.稱麥克勞林不等式.Ch14.定義多項(xiàng)式14.1若為正實(shí)數(shù)序列，并設(shè)為任意實(shí)數(shù).記：；為所有可能的積之和，遍及的所有輪換.14.2舉例說明 ：表示共有個(gè)參數(shù)的所有積之和，共有項(xiàng).第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第和第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是.故：. ：表示共有個(gè)參數(shù)的所有積之和，共有項(xiàng).第個(gè)和第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是.故：. ：表示共有個(gè)參數(shù)的所有積之和，共有項(xiàng).第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是.故：. ：表示共有個(gè)參數(shù)的所有積之和，共有項(xiàng).第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是.故：.即： ：表示共有個(gè)參數(shù)的所有積之和，共有項(xiàng).第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是.故：. ：表示共有個(gè)參數(shù)的所有積之和，共有項(xiàng).第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)和第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是.故：. ：表示共有個(gè)參數(shù)的所有積之和，共有項(xiàng).第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是，第個(gè)參數(shù)的指數(shù)是.故：.由于表達(dá)式比較多，所以我們規(guī)定：（）.Ch15.舒爾不等式15.1若，且，則： 式稱為舒爾不等式.15.2 解析式；將上式代入式得：即：即：即： 式與式等價(jià)，稱為舒爾不等式.15.3若實(shí)數(shù)，設(shè)，則： 或及輪換，等號(hào)成立.按照式寫法，即：，則： 式是我們最常見的舒爾不等式形式.15.4推論：設(shè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)且或，則： 式中，就得到式.15.5推論：設(shè)實(shí)數(shù)，則： 15.6推論：若，則對(duì)于一切，有： Ch16. 定義序列16.1設(shè)存在兩個(gè)序列和，當(dāng)滿足下列條件： 且 對(duì)一切，式都成立.則：就是的優(yōu)化值，記作：.注：這里的序列只有定性的比較，沒有定量的比較.Ch17.繆爾海德不等式17.1若為非負(fù)實(shí)數(shù)序列，設(shè)和為正實(shí)數(shù)序列，且，則： 或時(shí)，等號(hào)成立.式就繆爾海德不等式.17.2解析式若實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)，且滿足，；設(shè)，則：滿足序列條件，則：即式為： 用通俗的方法表達(dá)即： 式就繆爾海德不等式的常用形式.17.3例題：設(shè)為非負(fù)變量序列，考慮和.由16.1中的序列優(yōu)化得：由繆爾海德不等式式得： 將代入得：即： 由柯西不等式：即：即： 式式等價(jià)，這就證明了式是成立的，而繆爾海德不等式直接得到式是成立的.式可以用來表示，這正是繆爾海德不等式的式.Ch18.卡拉瑪塔不等式18.1設(shè)在實(shí)數(shù)區(qū)間的函數(shù)為向下凸函數(shù)，且當(dāng)（）兩個(gè)序列和滿足，則： 式稱為卡拉瑪塔不等式.18.2若函數(shù)為嚴(yán)格向下凸函數(shù)，即不等取等號(hào)，且，則： 若函數(shù)為嚴(yán)格向上凸函數(shù)，則卡拉瑪塔不等式反向.Ch19.單調(diào)函數(shù)不等式19.1若實(shí)數(shù)函數(shù)在區(qū)間對(duì)一切為單調(diào)增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有；若在區(qū)間對(duì)一切為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有.19.2若實(shí)數(shù)函數(shù)在區(qū)間對(duì)一切為單調(diào)減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有；若在區(qū)間對(duì)一切為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有.19.3若實(shí)數(shù)函數(shù)在區(qū)間為可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)對(duì)一切，則在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)對(duì)一切，則在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).19.4設(shè)兩個(gè)函數(shù)和滿足下列條件： 函數(shù)和在區(qū)間是連續(xù)的，且； 函數(shù)和在區(qū)間可導(dǎo)； 導(dǎo)數(shù)對(duì)一切成立，則對(duì)一切有： 式就是單調(diào)函數(shù)不等式.Ch20.個(gè)對(duì)稱變量法20.1設(shè)，對(duì)于具有變量對(duì)稱形式的不等式，采用下列變量代換：；，則.代換后的不等式，很容易看出其滿足的不等式關(guān)系，這樣證明不等式的方法稱為法.20.2常用的代換如下： 20.3常用的法的不等式若，則： Ch21.個(gè)對(duì)稱變量法21.1在的不等式中，采用下列變量代換：；.上述變換強(qiáng)烈含有“平均”的意味：對(duì)應(yīng)“算術(shù)平均值”；對(duì)應(yīng)“積均值”；對(duì)應(yīng)“幾何平均值”.21.2當(dāng)時(shí)，則： 式稱為傻瓜不等式.即：“算術(shù)平均值”“積均值”“幾何平均值”.21.3若，則 式稱為正值定理.21.4若，任給，則當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，則：，等式成立.這稱為定理.Ch22.法22.1 法即設(shè)；.則函數(shù)變換為.這與Ch20.個(gè)對(duì)稱變量法類似.22.2若函數(shù)是單調(diào)的，則當(dāng)時(shí)，達(dá)到極值.22.3若函數(shù)是凸函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，達(dá)到極值.22.4若函數(shù)是的線性函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，達(dá)到極值.22.5若函數(shù)是的二次三項(xiàng)式，則當(dāng)時(shí)，達(dá)到極值.Ch23.法23.1 法即23.2本法的全部思想是將給出的不等式改寫成以下形式： 其中，分別都是的函數(shù). 若，則； 若或，且，則； 若或，且，則； 若，且，則； 若或或，且，則.23.3 常用的形式 Ch24.法24.1 法即本法對(duì)多于個(gè)變量的對(duì)稱不等式非常有用.24.2 設(shè)為任意實(shí)數(shù)序列， 選擇使，； 用其平均數(shù)代替和，經(jīng)過多次代換后各項(xiàng)（）都趨于相同的極限.24.3 設(shè)實(shí)數(shù)空間的函數(shù)是一個(gè)對(duì)稱的連續(xù)函數(shù)，滿足 其中，序列是由序列經(jīng)過預(yù)定義變換而得到的.預(yù)定義變換可根據(jù)當(dāng)前的題目靈活采用，如，等等.24.4 例題說明例題：設(shè)實(shí)數(shù)，證明：.解析：采用法.設(shè)： 則： 其中，.由得：由式得：證畢.Ch25.拉格朗日乘數(shù)法25.1 設(shè)函數(shù)在實(shí)數(shù)空間的連續(xù)可導(dǎo)，且，其中（），即有個(gè)約束條件，則的極值出現(xiàn)在區(qū)間的邊界或偏導(dǎo)數(shù)（函數(shù)為）全部為零的點(diǎn)上.這就是拉格朗日乘數(shù)法.Ch26.三角不等式26.1 設(shè)，且，則就是同一個(gè)三角形的內(nèi)角.26.2 若為同一個(gè)三角形的內(nèi)角，則有下列不等式： ； ； ； ； ； ； （銳角三角形）； ； ； ； ； ； ； ； ； .Ch27.習(xí)題27.1 設(shè)，求證：.27.2 設(shè)，且，求證：.27.3 設(shè)，且，求證：.27.4 設(shè)，且，求證：.27.5 設(shè)，求證：.27.6 設(shè)，求證：.27.7設(shè)，求證：.27.8 設(shè)，且，若，求的最小值.27.9 設(shè)，且，求證：.27.10 設(shè)，求證：.27.11設(shè)，且,求證：.27.12設(shè)，且，求證：.27.13設(shè)，且，求證：.27.14設(shè)，求證：.27.15設(shè)，求證：.27.16設(shè)，且，求證：.27.17設(shè)，求證：.27.18設(shè)，且，求證：.27.19設(shè)，且，求證：.27.20設(shè)，且，求證：.27.21設(shè)，求證：.27.22設(shè)，且，求證：.27.23設(shè)不等式：對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求的最小值.27.24設(shè)，且，求證：.Ch27.習(xí)題解析27.1 設(shè)，求證：.解析：設(shè)：，則：因?yàn)?，所?（）由伯努利不等式：當(dāng)且時(shí)， 或時(shí)，式等號(hào)成立.由均值不等式： 時(shí)，式等號(hào)成立.由式得： 時(shí)， 式等號(hào)成立.設(shè)：，則由式得： 則：；.上面各式相乘得：.證畢.27.2 設(shè)，且，求證：.解析：因?yàn)?，所以設(shè)，則由伯努利不等式： 將代入式，并代入得：.證畢.27.3 設(shè)，且，求證：.解析：因?yàn)椋?，所以由均值不等式?即： 時(shí)，式等號(hào)成立.由柯西不等式：即：即： 時(shí)，式等號(hào)成立.將式代入式得： 時(shí)， 式等號(hào)成立. 證畢.27.4 設(shè)，且，求證：.解析：因?yàn)?，且，所以由均值不等式?時(shí)，式等號(hào)成立.由均值不等式：，即： 時(shí)，式等號(hào)成立.，設(shè)，則因?yàn)?，所以由切比雪夫不等式：即?時(shí)，式等號(hào)成立.將代入式得： 時(shí)， 式等號(hào)成立. 證畢.27.5 設(shè)，求證：.解析：記，則： 待證式為： 由柯西不等式：即： 由式，只需證明 設(shè)多項(xiàng)式： 則： 代入式得： 根據(jù)定義：得：，即：；，即：則： 由麥克勞林不等式：，即：代入式得：，式得證. 時(shí)，等號(hào)成立. 證畢.27.6 設(shè)，求證：.解析：不等式左邊=不等式右邊=則不等式其實(shí)就是： 由于是對(duì)稱不等式，假設(shè)，則 且，即： 則有排序不等式：其中，為正序和；為亂序和. 時(shí)，等號(hào)成立. 證畢.27.7設(shè)，證：.解析：當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，構(gòu)建函數(shù).則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；二次導(dǎo)數(shù)，故在時(shí)函數(shù)為向下凸函數(shù).由琴生不等式： 將， ， 帶入式得：，即：綜上，當(dāng)、和時(shí)， 都成立,即時(shí)，成立. 證畢.27.8 設(shè)，且，若，求的最小值.解析：記，（）.則 假設(shè)，則 由于，所以與無關(guān)，則與同單調(diào)性.即： 由切比雪夫不等式：若與同單調(diào)性，則有： 設(shè)：，（），則滿足與同單調(diào)性.代入式得：即： 由均值不等式：，即：故： 構(gòu)建函數(shù)： 則導(dǎo)函數(shù)：，故為向下凸函數(shù).由琴生不等式：取加權(quán)（）時(shí)，上式變?yōu)椋?即：即： 將和式代入式得：故：的最小值是.27.9 設(shè)，且，求證：.解析：在圓錐曲線里，橢圓方程為：時(shí)，常常采用的參數(shù)方程是：，因?yàn)閷⑺鼛敕匠虝r(shí)滿足，這個(gè)三角函數(shù)的基本關(guān)系. 對(duì)于三角形的內(nèi)角，同樣有關(guān)系和. 而本題初始條件.設(shè).，因?yàn)?，所?則當(dāng)為三角形的內(nèi)角時(shí)， 滿足條件.帶入不等式左邊得： 構(gòu)建函數(shù)，則在區(qū)間函數(shù)為向下凸函數(shù)，故由琴生不等式得：函數(shù)值的均值不小于均值的函數(shù)值. 當(dāng)加權(quán)時(shí)，式變?yōu)椋杭矗?即：即： 將式帶入式得：. 證畢.27.10 設(shè)，求證：.解析：因?yàn)?，由柯西不等式式則：. 即：. 證畢.27.11設(shè)，且,求證：.解析：對(duì)赫爾德不等式： 當(dāng) ，時(shí)，式為： 即： 設(shè)：，；，；，；，.代入式得： 式就是赫爾德不等式. 將式代入上式得：開方出來即： 將代入式得：.時(shí)等號(hào)成立. 證畢.27.12設(shè)，且，求證：.解析：采用法.設(shè)：，則：在20.2常用的代換如下： ； 則：；于是，待證式變?yōu)椋杭矗海矗?，即?在20.3常用的法的不等式 ，即：故：式成立，即待證式成立. 證畢.27.13設(shè)，且，求證：.解析：由舒爾不等式： 即：即：即：即：兩邊都加得： 式就是舒爾不等式.設(shè)，代入式得：將代入上式得：即： 式就是我們要證明的不等式. 證畢.27.14設(shè)，求證：.解析：待證式化為：即： 解析1：繆爾海德不等式： 或時(shí)，等號(hào)成立.由于，滿足繆爾海德不等式的條件，即：，故滿足序列.則：，即：式成立. 證畢.解析2：采用法.設(shè)：，.在20.2常用的代換如下： ， 即式等價(jià)于：即：，即：即： 式是與式等價(jià)的.在20.3常用的法的不等式： 是成立的，故式成立. 證畢.解析3：采用琴生不等式.構(gòu)建函數(shù) 則為向下凸函數(shù).采用琴生不等式式： 則：；上面三式相加得： 將帶入得：即：. 證畢.27.15設(shè)，求證：.解析：待證式： 即：即：，即： 由排序不等式得：所以：式得證. 證畢.27.16設(shè)，且，求證：.解析：待證式： 將式齊次化： 化簡(jiǎn)式： 將式代入式：即待證式為： 由舒爾不等式：即：即： 由繆爾海德不等式： 取：即：即： 由+2兩式相加得： 式是由舒爾不等式和繆爾海德不等式相加得到的結(jié)果，而式就是待證式，這證明，式即式是成立的. 證畢.27.17設(shè)，求證：.解析：因?yàn)?，所以設(shè)（）待證式變?yōu)椋阂驗(yàn)榇C式兩邊都是正數(shù)，所以取對(duì)數(shù)后為： ，假設(shè)，且 設(shè)，則： 而且(，) 由，根據(jù)Ch16. 定義序列，則：就是的優(yōu)化值，于是序列 構(gòu)建函數(shù)： 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：，其二次導(dǎo)函數(shù)為： 由式，函數(shù)是向下凸函數(shù)，對(duì)于兩個(gè)序列和由卡拉瑪塔不等式得： 將帶入得：而這正是待證式式. 證畢.27.18設(shè)，且，求證： .解析：先介紹一個(gè)不等式：若，則 證明如下： 式得分子為：帶入式得：，則：式成立.由式得：； 而： 故由：時(shí)等號(hào)成立. 證畢.27.19設(shè)，且，求證：. 解析：采用法 設(shè)：設(shè)：，則：， 采用導(dǎo)數(shù)法求的極值點(diǎn).由式的導(dǎo)數(shù)為零得：即：即：即： 則極值點(diǎn)為：，其中， 采用盛金公式求式得.盛金公式：；，判別式：；.式得實(shí)數(shù)解為：.代入式得到這些極值點(diǎn)的函數(shù)值：；在邊界點(diǎn)的函數(shù)值為：；故： 由于即： 其中：由得到：；由得到：；由得到：；由琴生不等式得到： 構(gòu)建函數(shù)顯然為向下凸函數(shù)，故函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值.即：即： 再由得到：，代入式得：即：，式得證. 故由式：.時(shí)等號(hào)成立. 證畢.27.20設(shè)，且，求證：.解析：采用法.，假設(shè)，則：，故：，設(shè)： 設(shè)：，則： 則：，即：故： 將，代入式得：即： 下面只需證明即可.將代入式： 由于：，所以：即：代入式得：，即：由式得：即：. 證畢.27.21設(shè)，求證：.解析：不等式即：設(shè)： 則對(duì)于對(duì)稱類不等式，當(dāng)時(shí)，若是上式的因子，則可用法.即若，則可采用法. 采用長(zhǎng)除法分解因式故： 由式表