數形結合思想(二).doc

專題十一 數形結合思想一、 考點回顧1數形結合是把數或數量關系與圖形對應起來，借助圖形來研究數量關系或者利用數量關系來研究圖形的性質，是一種重要的數學思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化?！皵等毙螘r少直觀，形少數時難入微”，利用數形結合的思想方法可以深刻揭示數學問題的本質。2數形結合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想思想方法的考查，注重對數學能力的考查”，靈活運用數形結合的思想方法，可以有效提升思維品質和數學技能。3“對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次的抽象和概括的考查，考查時要與數學知識相結合”， 用好數形結合的思想方法，需要在平時學習時注意理解概念的幾何意義和圖形的數量表示，為用好數形結合思想打下堅實的知識基礎。4函數的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數軸表示等，是 “以形示數”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標表示則是 “以數助形”，還有導數更是數形形結合的產物，這些都為我們提供了 “數形結合”的知識平臺。5在數學學習和解題過程中，要善于運用數形結合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數形結合的習慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數形結合的方法，能起到事半功倍的效果，“數形結合千般好，數形分離萬事休”。二、 經典例題剖析1選擇題1。Oyx1圖1（1）（2007浙江）設是二次函數，若的值域是，則的值域是（ ）ABCD解析：因為是二次函數，值域不會是A、B，畫出函數的圖像（圖1）易知，當值域是時，的仁政域是，答案：C。點評：本題考查函數的圖像、定義域、值域，是高考的一個重點，考題多以小題形式出現。（2）（2007黃岡模擬）平面直角坐標系中，若方程表示橢圓，則實數m的取值范圍是 （ ）A.（0，5） B.（1，+） C.（0，1） D.（5，+）解析：分析方程的結構特點，聯(lián)想橢圓第二定義，可知應把左右兩邊分別化為兩點間的距離和點到直線的距離：，即時表示橢圓，解得m5,故選 D。點評：本題考查橢圓的第二定義，考查數形結合和綜合運用解析幾何知識分析解題的能力。2設A=x|x|=kx+1,若AR+=,AR-,求實數k的取值范圍解法1:方程|x|=kx+1的解是函數y=|x|和y=kx+1交點的橫坐標,結合圖形知（如圖2）,當直線y=kx+1在角范圍內時,方程有負根,且沒有正根,故k1ay=|x+1|y=|x|y-11ox圖2解法2:由題意須 有解, 無解中k=-1時無解,;中k=1時無解,k0時,若則有解,所以, k1點評：解法1中，把方程解的討論問題轉化為兩個函數圖像交點的問題，利用k的幾何意義易得解，這是最常用的方法，較之法2要簡捷得多，體現了數形結合的優(yōu)越性。3設集全，且，求有序集合組A，B，C的個數(不同的順序算不同的組)。1,3BACU圖3解析：借助文氏圖（圖3）可知，三個集合A、B、C把全集U分成八個部分，需按1、3是否屬于C分類，再把2、4、5三個數放到如圖中五個位置即可，每一種放法對應一個有序集合組。按1、3是否屬于C分四類：(1)1、3C; (2)1C且3C;(3)3C且1C; (4)1、3C共有534=500種。點評：畫出文氏圖，提高了解題的直觀性，使解題思路清晰，分類清楚，易于操作。yx0圖44 解三角不等式組分析：利用三角函數的圖像或三角函數線（如圖4）求解,先求出一個周期上的解再寫出全部。解答：由圖得解集為：點評：三角函數圖像和三角函數線，是處理三角函數值大小問題的兩個有力武器，用好它會使解題簡捷、高效。5（2006全國I.20）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求：（）點M的軌跡方程； （）的最小值。解:（I）易得橢圓方程的方程為: (x0,y0) PBAOyxM圖6下面想要通過導數確定過第一象限點P(x0,y0) （0x01）切線的斜率，就要建立x與y的函數關系，結合圖形（如圖6）可知： (0x1,y2) 6求函數的值域。分析：本題需要去絕對值化為分段函數，再按直線x=a相對于兩個拋物線的對稱軸的位置分類討論，借助于圖象可有效幫助解題。解：_圖8Oyx_12_-12a（1）當時，如圖8知a_-12_12xyO圖9（2）當時，如圖9知_圖10Oyx_12-12a（3）當時，如圖10知，綜上所述：當時，值域為當時，值域為當時，值域為點評：分段去絕對值，數形結合，分類討論。三、 方法總結與2008年高考預測（一）方法總結1數形結合，數形轉化常從一下幾個方面：（1）集合的運算及文氏圖（2）函數圖象，導數的幾何意義（3）解析幾何中方程的曲線（4）數形轉化，以形助數的還有：數軸、函數圖象、單位圓、三角函數線或數式的結構特征等；2取值范圍，最值問題，方程不等式解的討論，有解與恒成立問題等等，許多問題還可以通過換元轉化為具有明顯幾何意義的問題，借助圖形求解。（二）2008年高考預測1在高考題中，數形結合的題目主要出現在函數、導數、解析幾何及不等式最值等綜合性題目上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現數形結合的簡捷、靈活特點的多是選擇、填空等小題。2從近三年全國高考卷來看，全國卷與其它省市卷相比，涉及數形結合的題目略少，預測2008年可能有所加強。因為對數形結合等思想方法的考查，是對數學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學生思維品質和數學技能的考查，是考綱明確的一個命題方向。同步練習（一） 選擇題1設集合，則等于（ A ） A B C DyxOyxOyxOyxOABCD2設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ D ）3若對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ C ）ABCD4設的最小值是（ C ）ABC3 D5若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 ( B )A B C D6已知是定義在R上的單調函數，實數， ，若，則（ A ）ABCD7在下列四個函數中，滿足性質：“對于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有 （ A ）（A）（B） C）（D）8若關于x的方程有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為_。9對,記則則函數的最小值是10關于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，給出下列四個命題：存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根其中假命題的個數是_011 設奇函數f(x)的定義域為(-，0)(0，+)且在(0，+)上單調遞增，f(1)0，則不等式fx(x-)0的解集是_x0或x12若不等式的所有m都成立。求x的取值范圍。13（2006春上海） 設函數（1）在區(qū)間上畫出函數的圖像；（2）設集合 試判斷集合和之間的關系，并給出證明；（3）當時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數圖像的上方 14 已知二次函數y=f1（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數y=f2（x）的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8，f（x）=f1（x）+f2（x）（1）求函數f（x）的表達式；（2）證明：當a3時，關于x的方程f（x）=f（a）有三個實數解15（2006浙江）設f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0, ,f(0)0，f(1)0，求證： ()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內有兩個實根16 設函數2+8x+3 (0,f(1)0，所以c0,3a+2b+c0由條件，消去，得；由條件，消去，得，故（II）拋物線的頂點坐標為，在的兩邊乘以，得又因為而所以方程在區(qū)間與內分別有一實根 故方程在內有兩個實根16解：，即時，（如圖）是方程2+8x+3的較大根，當且僅當時等號成立，由于，因此當且僅當時，取最大值。點評：本題是典型的函數、方程、不等式的綜合問題，數形結合利于開拓思路，找到解決辦法。五、復習建議1