北師大版選修21 夾角的計算 學案.doc

5夾角的計算學習目標重難點1會求兩直線間的夾角2會用向量法求兩平面的夾角3會用向量法求直線與平面的夾角.重點：求兩直線的夾角難點：分析所成角的大小及法向量求法關(guān)鍵：確定點的坐標.1直線間的夾角(1)當兩條直線l1和l2_時，我們把兩條直線交角中，范圍在_內(nèi)的角叫作兩直線的夾角當直線異面時，我們在一條直線上取一點，作另一直線的_，與該直線所成的角叫作異面直線的夾角(2)已知直線l1與l2的方向向量分別為s1，s2.當0s1，s2時，直線l1與l2的夾角等于s1，s2；當s1，s2時，直線l1與l2的夾角等于_預習交流1議一議：為什么空間兩條直線的夾角由它們的方向向量的夾角確定？2平面間的夾角(1)平面1與2相交于直線l，點r為直線l上任意一點，過點r，在平面1上作直線_，在平面2上作直線_，則l1l2r.我們把直線_叫作平面1與2的夾角(2)已知平面1和2的法向量分別為n1和n2.當0n1，n2時，平面1與2的夾角等于_；當n1，n2時，平面1與2的夾角等于_預習交流2思考：如上圖，若在直線l上選取不同于r的點p，過點p在平面1上作直線al，在平面2上作直線bl，那么直線a和b的夾角與直線l1與l2的夾角是否相等？3直線與平面的夾角(1)平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的_的夾角叫作該直線與此平面的夾角(2)如果一條直線與一個平面_，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角為0.如果一條直線與一個平面_，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是.預習交流3想一想：直線與平面的夾角和該直線的方向向量s與該平面的法向量n的夾角s，n是什么關(guān)系？答案：1(1)共面平行線(2)s1，s2預習交流1：提示：空間直線由一點和一個方向確定，所以空間兩條直線的夾角由它們的方向向量的夾角確定空間兩直線的夾角與它們的方向向量的夾角有時是相等的，有時是互補的，空間兩直線的夾角是取內(nèi)的角2(1)l1ll2ll1和l2的夾角(2)n1，n2n1，n2預習交流2：提示：相等al1，bl2，a與b所成的角和l1與l2所成的角相等3(1)投影(2)平行或在平面內(nèi)垂直預習交流3：提示：當s，n0時，；當0s，n時，s，n；當s，n時，0；當s，n時，s，n.在預習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點1求直線間的夾角如圖，四棱錐pabcd中，pd平面abcd，pad60，在四邊形abcd中，cdadab90，ab4，cd1，ad2.求異面直線pa與bc所成角的余弦值已知向量a(1，1,0)，b(1,0，1)，則向量a與b的夾角是()a.b.c. d.設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，兩條直線所成角為，則有cos |cos v1，v2|，角與v1，v2的夾角并不一定相等，它們之間的關(guān)系是相等或互補2求兩平面之間的夾角在底面是直角梯形的四棱錐s abcd中，abc90，sa平面abcd，saabbc1，ad，求平面scd和平面sba所成的二面角的余弦值思路分析：可建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，通過法向量的夾角進行求解如圖，在三棱錐s abc中，側(cè)面sab與側(cè)面sac均為等邊三角形，bac90，o為bc的中點，求二面角ascb的余弦值構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”，“面內(nèi)”，“垂直”即二面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可前兩個元素決定了二面角的平面角在同一平面內(nèi)，第三個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面與棱垂直3求直線與平面所成的角正三棱柱abc a1b1c1的底面邊長為a，側(cè)棱長為a，求ac1與側(cè)面abb1a1所成的角思路分析：利用正三棱柱的性質(zhì)，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出有關(guān)點的坐標求角時有兩種思路：一是由定義找出線面角，取a1b1的中點m，連接c1m，證明c1am是ac1與平面a1b所成的角；另一種是利用平面a1b的法向量求解1已知正三棱柱abc a1b1c1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則ab1與側(cè)面acc1a1所成角的正弦值等于()a. b.c. d.2已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于()a. b.c. d.1.直線與平面所成角的取值范圍是.斜線和平面所成角的定義表明斜線和平面所成的角是通過斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角2向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線l與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin |cos |或cos sin .其中與滿足：當是銳角時，；當為鈍角時，則.答案：活動與探究1：解：分別以da，dc，dp為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz.cdadab90，ab4，cd1，ad2，a(2,0,0)，c(0,1,0)，b(2,4,0)pd平面abcd，pdad.又pad60，在rtpad中，由ad2，得pd2，p(0,0,2)，(2,0，2)，(2，3,0)cos ，.pa與bc所成角的余弦值為.遷移與應用1：a解析：cos a，b，a，b.活動與探究2：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0,0,0)，d，c(1,1,0)，s(0,0,1)，平面sab的一個法向量是.設n(x，y，z)是平面scd的一個法向量，則n，n.即n0，n0.又，xy0且xz0，令x1，得n.cos，n.遷移與應用2：解：方法一：取sc中點m，連接am，om，由題意知sooc，saac，得omsc，amsc.所以oma為二面角ascb的平面角由aobc，aoso，sobco，得ao平面sbc.所以aoom.又amsa，aosa，故sinamo.那么二面角ascb的余弦值為.方法二：以o為坐標原點，射線ob，oa，os分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系o xyz.取sc的中點m，連接am，om.設b(1,0,0)，則c(1,0,0)，a(0,1,0)，s(0,0,1)sc的中點m，所以，(1,0，1)，所以0，0.故mosc，masc，等于二面角ascb的平面角cos ，所以二面角ascb的余弦值為.活動與探究3：解：方法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，則a(0,0,0)，b(0，a,0)，a1，c1，取a1b1的中點m，則m.連接am，mc1，有，(0，a,0)，.由于0，0，所以mc1平面abb1a1.所以c1am是ac1與側(cè)面a1b所成的角因為，所以02a2.而|a，|a.所以cos ，所以，30.即ac1與側(cè)面abb1a1所成的角為30.方法二(法向量法)：接方法一，.設側(cè)面a1b的法向量n(，x，y)，所以n0，且n0.所以ax0，且ay0，令xy0，故n(，0,0)又因為，所以cos，n.所以ac1與側(cè)面abb1a1所成的角為30.遷移與應用3：1.a解析：如圖，作b1da1c1，垂足為d，連接ad.abc a1b1c1為正三棱柱，b1d平面acc1a1，b1ad為所求的ab1與側(cè)面acc1a1所成的角設ab2a，則b1da，ab12a.sinb1ad.2d解析：如圖，o為底面正三角形abc的中心，則op平面abc.pco即為側(cè)棱與底面所成的角設ab1，則pc2，oc，cospco.1. 在長方體abcd a1b1c1d1中，m，n分別是棱bb1，b1c1的中點，若cmn90，則異面直線ad1與dm的夾角為()a30 b45c60 d902若平面的法向量為m(1，1,3)，平面的法向量為n(0,3,1)，則平面與平面的夾角為()a30 b60c90 d1203在正四面體abcd中，e為棱ad的中點，則ce與平面bcd的夾角的正弦值為()a. b.c. d.4若平面的一個法向量為m(3,3,0)，直線l的一個方向向量為b(1,1,1)，則l與所成角的余弦值為_5在一個二面角的兩個面內(nèi)分別有向量m(1,2,0)，n(3,0，2)，且m，n都與二面角的棱垂直，則該二面角的余弦值為_答案：1d解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，設d1c1a，c1b1b，c1cc.則d1(0,0,0)，a(0，b，c)，d(0,0，c)，c(a,0，c)，m，n.則，.cmn90，0.即b2c20，即b2c2.(0，b，c)b2c20.ad1與dm的夾角為90.2c解析：平面的法向量為m(1，1,3)，平面的法向量為n(0,3,1)，又mn(1，1,3)(0,3,1)0，mn，.3b解析：由于正四面體abcd，所以a點在平面bcd的投影為bcd的中心，設為o.建立如圖所示的空間直角坐標系，設正四面體的棱長為a，則a，c，d，e.設平面bcd