獨(dú)立事件PPT詳細(xì).ppt

一 事件的相互獨(dú)立性 二 幾個重要定理 三 例題講解 四 獨(dú)立試驗序列 1 5事件的獨(dú)立性 五 小結(jié) 一 事件的相互獨(dú)立性 一 兩個事件的獨(dú)立性 由條件概率 知 一般地 這意味著 事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響 然而 在有些情形下又會出現(xiàn) 則有 1 引例 2 定義1 9 注 1 說明 事件A與B相互獨(dú)立 是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān) 2 獨(dú)立與互斥的關(guān)系 這是兩個不同的概念 兩事件相互獨(dú)立 兩事件互斥 例如 由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥 兩事件相互獨(dú)立 兩事件互斥 由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立 又如 兩事件相互獨(dú)立 兩事件互斥 可以證明 特殊地 A與B獨(dú)立 A與B相容 不互斥 或 A與B互斥 A與B不獨(dú)立 證 若A與B獨(dú)立 則 即A與B不互斥 相容 若A與B互斥 則AB B發(fā)生時 A一定不發(fā)生 這表明 B的發(fā)生會影響A發(fā)生的可能性 造成A不發(fā)生 即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零 所以A與B不獨(dú)立 理解 3 性質(zhì)1 5 1 必然事件 及不可能事件 與任何事件A相互獨(dú)立 證 A A P 1 P A P A 1 P A P P A 即 與A獨(dú)立 A P 0 P A P 0 P P A 即 與A獨(dú)立 2 若事件A與B相互獨(dú)立 則以下三對事件 也相互獨(dú)立 證 注稱此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉 又 A與B相互獨(dú)立 甲 乙兩人同時向敵人炮擊 已知甲擊中敵機(jī)的概率為0 6 乙擊中敵機(jī)的概率為0 5 求敵機(jī)被擊中的概率 解 設(shè)A 甲擊中敵機(jī) B 乙擊中敵機(jī) C 敵機(jī)被擊中 依題設(shè) A與B不互斥 例1 P A P B 1 1 1 P A B 由于甲 乙同時射擊 甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性 所以A與B獨(dú)立 進(jìn)而 0 8 1 三事件兩兩相互獨(dú)立的概念 二 多個事件的獨(dú)立性 定義 2 三事件相互獨(dú)立的概念 定義1 10 設(shè)A1 A2 An為n個事件 若對于任意k 1 k n 及1 i1 i2 ik n 3 n個事件的獨(dú)立性 定義 若事件A1 A2 An中任意兩個事件相互獨(dú)立 即對于一切1 i j n 有 定義1 11 注 設(shè)一個口袋里裝有四張形狀相同的卡片 在這四張卡片上依次標(biāo)有下列各組數(shù)字 110 101 011 000從袋中任取一張卡片 記 證明 例2 證 1 110 101 011 000 兩個結(jié)論 n個獨(dú)立事件和的概率公式 設(shè)事件相互獨(dú)立 則 也相互獨(dú)立 即n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積 結(jié)論的應(yīng)用 則 至少有一個發(fā)生 的概率為 P A1 An 1 1 p1 1 pn 類似可以得出 1 p1 pn 若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0 4 假設(shè)每個人血清中是否含有肝炎病毒相互獨(dú)立 混合100個人的血清 求此血清中含有肝炎病毒的概率 解 則 例3 依題設(shè) 事件的獨(dú)立性在可靠性理論中的應(yīng)用 一個元件的可靠性 該元件正常工作的概率 一個系統(tǒng)的可靠性 由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率 設(shè)一個系統(tǒng)由2n個元件組成 每個元件的可靠性均為r 且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的 1 求下列兩個系統(tǒng) 和 的可靠性 2 問 哪個系統(tǒng)的可靠性更大 例4 系統(tǒng) 系統(tǒng) 解 設(shè)B1 系統(tǒng) 正常工作 B2 系統(tǒng) 正常工作 考察系統(tǒng) 設(shè)C 通路 正常工作 D 通路 正常工作 每條通路正常工作 通路上各元件都正常工作 而系統(tǒng) 正常工作 兩條通路中至少有一條正常工作 系統(tǒng) 正常工作的概率 考察系統(tǒng) 系統(tǒng) 正常工作 通路上的每對并聯(lián)元件正常工作 B2 系統(tǒng) 正常工作 所以 系統(tǒng) 正常工作的概率 2 問 哪個系統(tǒng)的可靠性更大 即系統(tǒng) 的可靠性比系統(tǒng) 的大 二 獨(dú)立試驗序列概型 1 定義1 12 獨(dú)立試驗序列 設(shè) Ei i 1 2 是一列隨機(jī)試驗 Ei的樣本空間為 i 設(shè)Ak是Ek中的任一事件 Ak k 若Ak出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗Ei i k 的結(jié)果 則稱 Ei 是相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗序列 簡稱獨(dú)立試驗序列 則稱這n次重復(fù)試驗為n重貝努里試驗 簡稱為貝努里概型 若n次重復(fù)試驗具有下列特點 2 n重貝努利 Bernoulli 試驗 1 每次試驗的可能結(jié)果只有兩個A或 2 各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立 在各次試驗中p是常數(shù) 保持不變 實例1拋一枚硬幣觀察得到正面或反面 若將硬幣拋n次 就是n重伯努利試驗 實例2拋一顆骰子n次 觀察是否 出現(xiàn)1點 就是n重伯努利試驗 一般地 對于貝努里概型 有如下公式 定理 如果在貝努里試驗中 事件A出現(xiàn)的概率為p 0 p 1 則在n次試驗中 A恰好出現(xiàn)k次的概率為 3 二項概率公式 推導(dǎo)如下 且兩兩互不相容 稱上式為二項分布 記為 經(jīng)計算得 例5 解 幾何分布 幾何分布 例6 解 三 內(nèi)容小結(jié) 4二項分布 5幾何分布 備用題 伯恩斯坦反例 一個均勻的正四面體 其第一面染成紅色 第二面染成白色 第三面染成黑色 而第四面同時染上紅 白 黑三種顏色 現(xiàn)以A B C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅 白 黑顏色朝下的事件 問A B C是否相互獨(dú)立 解 由于在四面體中紅 白 黑分別出現(xiàn)兩面 因此 又由題意知 例2 1 故有 因此A B C不相互獨(dú)立 則三事件A B C兩兩獨(dú)立 由于 例3 1 解 事件B為 擊落飛機(jī) 甲 乙 丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊 三人擊中的概率分別為0 4 0 5 0 7 飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0 2 被兩人擊中而被擊落的概率為0 6 若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落 求飛機(jī)被擊落的概率 解 A B C分別表示甲 乙 丙擊中敵機(jī) 例3 2 因而 由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為 要驗收一批 100件 樂器 驗收方案如下 自該批樂器中隨機(jī)地取3件測試 設(shè)3件樂器的測試是相互獨(dú)立的 如果3件中至少有一件在測試中被認(rèn)為音色不純 則這批樂器就被拒絕接收 設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0 95 而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認(rèn)為不純的概率為0 01 如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的 試問這批樂器被接收的概率是多少 解 例3 3 純的樂器 經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的概率為0 99 已知一件音色 而一件音色不純的樂器 經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的 概率為0 05 并且三件樂器的測試是相互獨(dú)立的 于是有 經(jīng)計算得 例5 1 解 En 可看成將E重復(fù)了n次 這是一個n重貝努里試驗 解 例5 2 E 觀察1局比賽甲是否獲勝 設(shè)在n次試驗中 A恰好出現(xiàn)k次的概率為 甲甲 乙甲甲 甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 甲甲乙甲 如 比賽3局