北師大版選修22 4.1定積分的概念 課件（35張）.pptx

第四章定積分 1定積分的概念 1 曲邊梯形及其面積的求法曲線y f x 與平行于y軸的直線和x軸所圍成的平面圖形叫曲邊梯形 求連續(xù)曲線y f x 對應(yīng)的曲邊梯形面積s的方法是 分割 近似代替 求面積的和 逼近 2 定積分的背景面積問題 路程問題以及做功問題3個(gè)問題 一般通過分割自變量的區(qū)間得到過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值 分割得越細(xì) 估計(jì)值也就越接近精確值 當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時(shí) 過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都趨于要求的值 3 定積分的概念一般地 給定一個(gè)在區(qū)間 a b 上的函數(shù)y f x 其圖像如圖所示 將 a b 區(qū)間分成n份 分點(diǎn)為 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 第i個(gè)小區(qū)間為 xi 1 xi 設(shè)其長度為 xi 在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn) i 使f i 在區(qū)間 xi 1 xi 上的值最大 設(shè)s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn) i 使f i 在區(qū)間 xi 1 xi 上的值最小 設(shè)s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 如果每次分割后 最大的小區(qū)間的長度趨于0 s與s的差也趨于0 此時(shí) s與s同時(shí)趨于某一個(gè)固定的常數(shù)a 容易驗(yàn)證 在每個(gè)小區(qū)間 xi 1 xi 上任取一點(diǎn) i s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn的值也趨于該常數(shù)a 我們稱a是函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 4 定積分的相關(guān)名稱 2 定義中區(qū)間的分法和 i的取法是任意的 做一做1 把區(qū)間 1 3 等分成n份 所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為 答案 b 做一做2 汽車以v v t 在 0 t 內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng) 經(jīng)過的路程為s 則下列敘述正確的是 a 將 0 t 等分n份 若以每個(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)的速度近似替代時(shí) 求得的路程是s的不足估計(jì)值b 將 0 t 等分n份 若以每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)的速度近似替代時(shí) 求得的路程是s的過剩估計(jì)值c 將 0 t 等分n份 n越大 求出的路程近似替代s的精確度越高d 將 0 t 等分n份 當(dāng)n很大時(shí) 求出的路程就是s的準(zhǔn)確值解析 當(dāng)n越大時(shí) 分割成的小區(qū)間長越小 則求出的路程近似替代s的精確度越高 答案 c 5 定積分的幾何意義及性質(zhì) 1 當(dāng)f x 0時(shí) f x dx表示的是y f x 與x a x b和x軸所圍曲邊梯形的面積 2 當(dāng)f x 表示速度關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)時(shí) f x dx表示的是運(yùn)動(dòng)物體從x a到x b時(shí)所走過的路程 3 定積分的性質(zhì) 名師點(diǎn)撥1 性質(zhì) 對于有限個(gè)函數(shù) 兩個(gè)以上 也成立 性質(zhì) 對于把區(qū)間 a b 分成有限個(gè) 兩個(gè)以上 區(qū)間也成立 答案 1 答案 6 思考辨析判斷以下說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)畫 錯(cuò)誤的畫 1 利用 以直代曲 思想求出的曲邊梯形的面積是近似值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 過剩估計(jì)值與不足估計(jì)值的應(yīng)用 例1 一輛汽車在直線形公路上變速行駛 汽車在時(shí)刻t的速度為v t t2 5 單位 km h 試估計(jì)這輛汽車在0 t 2 單位 h 這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程 誤差不超過1 分析 將變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題 通過求矩形面積和即可解決 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 將區(qū)間 0 2 10等分 如圖 設(shè)矩形面積的過剩估計(jì)值為s 不足估計(jì)值為s 則s 02 5 0 22 5 1 82 5 0 2 7 72 s 0 22 5 0 42 5 1 82 5 22 5 0 2 6 92 故估計(jì)該車在這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程介于6 92km與7 72km之間 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟解決此類問題 是通過分割自變量的區(qū)間求得過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值 分割得越細(xì) 估計(jì)值就越接近精確值 當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時(shí) 過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都趨于要求的值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1求由直線x 1 x 2和y 0及曲線y x2所圍成的曲邊梯形的面積的估計(jì)值 并寫出估計(jì)誤差 解 將區(qū)間 1 2 5等分 分別以每個(gè)小區(qū)間的左 右端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為小矩形的高 得此平面圖形面積的不足估計(jì)值s和過剩估計(jì)值s 估計(jì)誤差不會(huì)超過s s 1 32 1 02 0 3 探究一 探究二 探究三 思維辨析 利用定積分的幾何意義求定積分 例2 用定積分的幾何意義求下列各式的值 分析 定積分f x dx的幾何意義是介于x a x b之間 x軸上 下相應(yīng)曲邊平面圖形面積的代數(shù)和 其中x軸上方部分的面積為正 x軸下方部分的面積為負(fù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用幾何意義求定積分 關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖像 以及積分區(qū)間 正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積 基本步驟如下 1 確定被積函數(shù)和積分區(qū)間 2 準(zhǔn)確畫出圖形 3 求出各陰影部分的面積 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2用定積分表示如圖所示的陰影部分的面積 不要求計(jì)算 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3用定積分的幾何意義求定積分 解 1 如圖1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 定積分性質(zhì)的應(yīng)用 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析 本題考查定積分性質(zhì)的應(yīng)用問題 合理運(yùn)用定積分的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 另外分段函數(shù)求積分的方法是分段去求積分 解 由定積分的幾何意義得 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟被積函數(shù)為分段函數(shù)或絕對值函數(shù)時(shí)的處理方法 分段函數(shù)和絕對值函數(shù)積分時(shí)要分段積分和去掉絕對值符號后再積分 處理這類積分一定要弄清分段臨界點(diǎn) 同時(shí)對于定積分的性質(zhì) 必須熟記在心 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 忽視被積函數(shù)的圖像在x軸上方或下方對定積分符號的影響而致誤 易錯(cuò)分析 用定積分求曲邊圖形面積時(shí)不判斷曲邊圖形位于x軸上方 還是下方 直接求解易出現(xiàn)錯(cuò)誤 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練用定積分表示由y sinx與直線x x 0 y 0所圍成的平面圖形的面積 12345 a 與f x 和積分區(qū)間有關(guān) 與 i的取法無關(guān)b 與f x 有關(guān) 與積分區(qū)間及 i的取法無關(guān)c 與f x 及 i的取法有關(guān) 與積分區(qū)間無關(guān)d 與f x 積