北師大版選修22 4.1定積分的概念 課件（35張）.pptx

第四章定積分 1定積分的概念 1 曲邊梯形及其面積的求法曲線y f x 與平行于y軸的直線和x軸所圍成的平面圖形叫曲邊梯形 求連續(xù)曲線y f x 對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積s的方法是 分割 近似代替 求面積的和 逼近 2 定積分的背景面積問題 路程問題以及做功問題3個(gè)問題 一般通過分割自變量的區(qū)間得到過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值 分割得越細(xì) 估計(jì)值也就越接近精確值 當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時(shí) 過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都趨于要求的值 3 定積分的概念一般地 給定一個(gè)在區(qū)間 a b 上的函數(shù)y f x 其圖像如圖所示 將 a b 區(qū)間分成n份 分點(diǎn)為 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 第i個(gè)小區(qū)間為 xi 1 xi 設(shè)其長度為 xi 在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn) i 使f i 在區(qū)間 xi 1 xi 上的值最大 設(shè)s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 在這個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn) i 使f i 在區(qū)間 xi 1 xi 上的值最小 設(shè)s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 如果每次分割后 最大的小區(qū)間的長度趨于0 s與s的差也趨于0 此時(shí) s與s同時(shí)趨于某一個(gè)固定的常數(shù)a 容易驗(yàn)證 在每個(gè)小區(qū)間 xi 1 xi 上任取一點(diǎn) i s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn的值也趨于該常數(shù)a 我們稱a是函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 4 定積分的相關(guān)名稱 2 定義中區(qū)間的分法和 i的取法是任意的 做一做1 把區(qū)間 1 3 等分成n份 所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為 答案 b 做一做2 汽車以v v t 在 0 t 內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng) 經(jīng)過的路程為s 則下列敘述正確的是 a 將 0 t 等分n份 若以每個(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)的速度近似替代時(shí) 求得的路程是s的不足估計(jì)值b 將 0 t 等分n份 若以每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)的速度近似替代時(shí) 求得的路程是s的過剩估計(jì)值c 將 0 t 等分n份 n越大 求出的路程近似替代s的精確度越高d 將 0 t 等分n份 當(dāng)n很大時(shí) 求出的路程就是s的準(zhǔn)確值解析 當(dāng)n越大時(shí) 分割成的小區(qū)間長越小 則求出的路程近似替代s的精確度越高 答案 c 5 定積分的幾何意義及性質(zhì) 1 當(dāng)f x 0時(shí) f x dx表示的是y f x 與x a x b和x軸所圍曲邊梯形的面積 2 當(dāng)f x 表示速度關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)時(shí) f x dx表示的是運(yùn)動(dòng)物體從x a到x b時(shí)所走過的路程 3 定積分的性質(zhì) 名師點(diǎn)撥1 性質(zhì) 對(duì)于有限個(gè)函數(shù) 兩個(gè)以上 也成立 性質(zhì) 對(duì)于把區(qū)間 a b 分成有限個(gè) 兩個(gè)以上 區(qū)間也成立 答案 1 答案 6 思考辨析判斷以下說法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫 錯(cuò)誤的畫 1 利用 以直代曲 思想求出的曲邊梯形的面積是近似值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 過剩估計(jì)值與不足估計(jì)值的應(yīng)用 例1 一輛汽車在直線形公路上變速行駛 汽車在時(shí)刻t的速度為v t t2 5 單位 km h 試估計(jì)這輛汽車在0 t 2 單位 h 這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程 誤差不超過1 分析 將變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題 通過求矩形面積和即可解決 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 將區(qū)間 0 2 10等分 如圖 設(shè)矩形面積的過剩估計(jì)值為s 不足估計(jì)值為s 則s 02 5 0 22 5 1 82 5 0 2 7 72 s 0 22 5 0 42 5 1 82 5 22 5 0 2 6 92 故估計(jì)該車在這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程介于6 92km與7 72km之間 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟解決此類問題 是通過分割自變量的區(qū)間求得過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值 分割得越細(xì) 估計(jì)值就越接近精確值 當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時(shí) 過剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都趨于要求的值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1求由直線x 1 x 2和y 0及曲線y x2所圍成的曲邊梯形的面積的估計(jì)值 并寫出估計(jì)誤差 解 將區(qū)間 1 2 5等分 分別以每個(gè)小區(qū)間的左 右端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為小矩形的高 得此平面圖形面積的不足估計(jì)值s和過剩估計(jì)值s 估計(jì)誤差不會(huì)超過s s 1 32 1 02 0 3 探究一 探究二 探究三 思維辨析 利用定積分的幾何意義求定積分 例2 用定積分的幾何意義求下列各式的值 分析 定積分f x dx的幾何意義是介于x a x b之間 x軸上 下相應(yīng)曲邊平面圖形面積的代數(shù)和 其中x軸上方部分的面積為正 x軸下方部分的面積為負(fù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用幾何意義求定積分 關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖像 以及積分區(qū)間 正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積 基本步驟如下 1 確定被積函數(shù)和積分區(qū)間 2 準(zhǔn)確畫出圖形 3 求出各陰影部分的面積 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2用定積分表示如圖所示的陰影部分的面積 不要求計(jì)算 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3用定積分的幾何意義求定積分 解 1 如圖1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 定積分性質(zhì)的應(yīng)用 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析 本題考查定積分性質(zhì)的應(yīng)用問題 合理運(yùn)用定積分的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 另外分段函數(shù)求積分的方法是分段去求積分 解 由定積分的幾何意義得 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟被積函數(shù)為分段函數(shù)或絕對(duì)值函數(shù)時(shí)的處理方法 分段函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)積分時(shí)要分段積分和去掉絕對(duì)值符號(hào)后再積分 處理這類積分一定要弄清分段臨界點(diǎn) 同時(shí)對(duì)于定積分的性質(zhì) 必須熟記在心 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 忽視被積函數(shù)的圖像在x軸上方或下方對(duì)定積分符號(hào)的影響而致誤 易錯(cuò)分析 用定積分求曲邊圖形面積時(shí)不判斷曲邊圖形位于x軸上方 還是下方 直接求解易出現(xiàn)錯(cuò)誤 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練用定積分表示由y sinx與直線x x 0 y 0所圍成的平面圖形的面積 12345 a 與f x 和積分區(qū)間有關(guān) 與 i的取法無關(guān)b 與f x 有關(guān) 與積分區(qū)間及 i的取法無關(guān)c 與f x 及 i的取法有關(guān) 與積分區(qū)間無關(guān)d 與f x 積