北師大版選修21 3.4.1 曲線和方程 教案 .doc

3.4.1曲線和方程知識與技能目標(biāo)（1） 了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系；（2） 初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；（3） 學(xué)會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時強化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。過程與方法目標(biāo)（1）通過直線方程的復(fù)習(xí)引入，加強學(xué)生對方程的解和曲線上的點的一一對應(yīng)關(guān)系的直觀認(rèn)識；（2）在形成曲線和方程概念的過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析，討論等數(shù)學(xué)活動過程，探索出結(jié)論并能有條理的闡述自己的觀點；（3）能用所學(xué)知識理解新的概念，并能運用概念解決實際問題，從中體會轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識。情感與態(tài)度目標(biāo)（1）通過概念的復(fù)習(xí)引入，從特殊到一般，讓學(xué)生感受事物的發(fā)展規(guī)律；（2）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠體驗幾何問題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來研究，真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實際問題的重要工具； （3）學(xué)生通過觀察、分析、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗到數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。教學(xué)重點：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。教學(xué)難點：怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，新課引入：在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程來表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線。二、師生互動，新課講解： + +k 例1：作出方程表示的直線借助多媒體讓學(xué)生再一次從直觀上深刻體會：必須同時滿足（1）直線上的點的坐標(biāo)都是方程的解和（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是直線上的點，即方程的解的集合與直線上所有點的集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，那么直線（圖形） 方程（數(shù)量）。變式訓(xùn)練1：作出函數(shù)y=x2的圖象類比方程與如圖所示的拋物線。這條拋物線是否與這個二元方程 也能建立這種對應(yīng)關(guān)系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）?推廣：那么對任意的曲線和二元方程是否都能建立這種等價關(guān)系呢？這就是今天這節(jié)課的內(nèi)容：曲線和方程。（板書課題） 現(xiàn)在請同學(xué)們思考這樣的問題：方程的解與曲線c上的點的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系，就能用方程表示曲線c，同時曲線c也表示著方程,為什么要具備這些條件？ . .x.x.k 學(xué) 。x。x。k剛才的討論中，有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系：“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”；有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”；還有的同學(xué)雖用了不同的提法，但意思不外乎這兩個?，F(xiàn)在的問題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一個事實？有何區(qū)別？究竟用怎樣的關(guān)系才能把例1中曲線和方程的這種對應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來？為了弄清這些問題，我們來研究下列例題。（說明：在討論中，學(xué)生會有各種不同的意見，教師應(yīng)予鼓勵，并隨時補正糾錯，但不要急著把兩個關(guān)系并列起來拋出定義，中斷學(xué)生的探索性思維，而是再提出問題，深入探索。）例2：用下列方程表示如圖所示的曲線c，對嗎？為什么？（1）（2）（3） 說明：方程（1），（2），（3）都不是表示曲線c的方程。第（1）題中曲線c上的點不全是方程的解。例如點，等，即不符合“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論；第（2）題中，盡管“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”，但是以方程的解為坐標(biāo)的點卻不全在曲線c上。例如、等，即不符合“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”這一結(jié)論；第（3）題中，則既有以方程的解坐標(biāo)的點，如、等不在曲線c上，又有曲線c上的點，如、等的坐標(biāo)不是方程的解。事實上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲線應(yīng)該是如圖所示的三種情況。 學(xué) (1) (2) (3)上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例1；又觀察、分析了例2中所出現(xiàn)的方程與曲線間所建立的不完整的對立關(guān)系。假如我們把例1這種能完整地表示曲線的方程稱為“曲線的方程”的話，我們完全有條件自己給“曲線的方程”下個定義了。在下定義時，針對例2（1）中“曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點”，以及（2）中“以方程的解為坐標(biāo)的點不在曲線上”的情況，對“曲線的方程”應(yīng)作何規(guī)定？為了不使曲線上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點，必須規(guī)定“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”；為了防止以方程的解為坐標(biāo)的點不在曲線上，必須規(guī)定“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點” 這樣我們可以對“曲線的方程”、“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：（1） 曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解；（2） 以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。大家熟知，曲線可以看作是由點組成的集合，記作c；一個二元方程的解可以作為點的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個點集，記作f。請大家思考：如何用集合c和f間的關(guān)系來表述“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的兩個關(guān)系？進(jìn)而重新認(rèn)識“曲線的方程”和“方程的曲線”定義。關(guān)系（1）指點集c是點集f的子集；關(guān)系（2）指點集f是點集c的子集。這樣，根據(jù)集合的性質(zhì)，我們可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”和“方程的曲線”，即 =。例3：下列各題中，圖所示的曲線c的方程為所列方程，對嗎？如果不對，是不符合關(guān)系（1）還是關(guān)系（2）？ 學(xué) 曲線c為的中線 曲線c是到坐標(biāo)軸距離相等的點組成的直線方程 方程曲線c是過點（4，1）的反比例函數(shù)圖象 方程解：（1）錯。不符合定義中的（2），即; （2）錯。不符合定義中的（1），即; （3）錯。不符合定義中的（1）和（2），即;例4：解答下列問題，并說出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的哪一個關(guān)系？（1） 點是否在方程為的圓上？（2） 已知方程為的圓過點，求的值。解：依據(jù)關(guān)系（2），可知點在圓上；依據(jù)關(guān)系（1），可知點不在圓上；依據(jù)關(guān)系（2），求得； 例5：證明以坐標(biāo)原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是。（說明：課本上原有例題：證明圓心為坐標(biāo)原點，半徑等于5的圓的方程是，并判斷點。處理時將有些要求分散到了例3與例4中，例5的要求集中在“證明”上。這樣安排的意圖是先集中注意力于概念的領(lǐng)會上，對證明過程中在表述上遇到的一些困難，留在這里解決，層層深入。）與剛才判定時一樣，證明也要緊扣定義分兩步進(jìn)行；關(guān)系（1）、（2）中，“點”與“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素，我們只要用表示“任意一個”，以此代表“全體”即可，這種方法為數(shù)學(xué)證明中常用。證明：（略）三：鞏固反思：本節(jié)課我們通過對實例的研究，掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，在領(lǐng)會定義時，要牢記關(guān)系（1）、（2）兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。即：如果曲線c的方程是，那么點 在曲線c上的充要條件是。曲線和方程之間一一對應(yīng)關(guān)系的確立，