北師大版必修五 1．1　正弦定理(二) 學(xué)案.doc

1.1正弦定理(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題.2.能根據(jù)條件，判斷三角形解的個(gè)數(shù).3.能利用兩邊夾角求三角形面積知識點(diǎn)一正弦定理的常見變形1sin asin bsin c_；2._；3a_，b_，c_；4sin a_，sin b_，sin c_.知識點(diǎn)二判斷三角形解的個(gè)數(shù)思考1在abc中，a9，b10，a60，判斷三角形解的個(gè)數(shù)梳理已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，三角形解的個(gè)數(shù)并不一定唯一例如在abc中，已知a，b及a的值由正弦定理，可求得sin b.在由sin b求b時(shí)，如果ab，則有ab，所以b為銳角，此時(shí)b的值唯一；如果ab，則有ab，所以b為銳角或鈍角，此時(shí)b的值有兩個(gè)思考2已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個(gè)數(shù)？梳理解三角形4個(gè)基本類型：已知三邊；已知兩邊及其夾角；已知兩邊及其一邊對角；已知一邊兩角其中只有類型解的個(gè)數(shù)不確定知識點(diǎn)三三角形面積公式的拓展思考如果已知底邊和底邊上的高，可以求三角形面積那么如果知道三角形兩邊及夾角，有沒有辦法求三角形面積？梳理abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，則abc的面積sabsin cbcsin aacsin b.類型一判斷三角形解的個(gè)數(shù)引申探究例1中b28 cm，a40不變，當(dāng)邊a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，abc有兩解(范圍中保留sin 40)?例1在abc中，已知a20 cm，b28 cm，a40，解三角形(角度精確到1，邊長精確到1 cm)反思與感悟已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)，要根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值或者根據(jù)該正弦值(不等于1時(shí))在0 180范圍內(nèi)求角，一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理矛盾，就是所求跟蹤訓(xùn)練1已知三角形中a2，b6，a30，判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形類型二利用正弦定理求最值或取值范圍例2在銳角abc中，角a，b，c分別對應(yīng)邊a，b，c，a2bsin a，求cos asin c的取值范圍反思與感悟解決三角形中的取值范圍或最值問題：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素(2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù))，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問題跟蹤訓(xùn)練2在abc中，若c2b，求的取值范圍類型三三角形面積公式的應(yīng)用命題角度1已知邊角求面積例3在abc中，ab，ac1，b30，求abc的面積反思與感悟三角形面積公式sabsin c，sbcsin a，sacsin b中含有三角形的邊角關(guān)系因此求三角形的面積，與解三角形有密切的關(guān)系首先根據(jù)已知，求出所需，然后求出三角形的面積跟蹤訓(xùn)練3在abc中，a1，a30，c45，則abc的面積為()a. b. c. d.命題角度2給出面積求邊角例4在abc中，a60，ab2，且abc的面積為，則ac的長為_反思與感悟利用三角形兩邊夾角表示的三角形面積公式有3個(gè)，到底選擇哪一個(gè)，要看題目給出的條件和解題目標(biāo)跟蹤訓(xùn)練4已知銳角三角形abc的面積為3，bc4，ca3，則角c的大小為()a75 b60 c45 d301在abc中，ac，bc2，b60，則角c的值為()a45 b30c75 d902在abc中，若，則abc是()a直角三角形b等邊三角形c鈍角三角形d等腰直角三角形3已知abc的面積為，且b2，c，則sin a_.1已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況可能無解，也可能一解或兩解首先求出另一邊的對角的正弦值，當(dāng)正弦值大于1或小于0時(shí)，這時(shí)三角形解的情況為無解；當(dāng)正弦值大于0小于1時(shí)，再根據(jù)已知兩邊的大小情況來確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值2判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是不是特殊三角形，當(dāng)所給條件含有邊和角時(shí)，應(yīng)利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關(guān)系式或“角”之間的關(guān)系式答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一1abc2.2r3.2rsin a2rsin b2rsin c4.知識點(diǎn)二思考1解sin bsin a，而1，所以當(dāng)b為銳角時(shí)，滿足sin b的角有60b90，故對應(yīng)的鈍角b有90b120，也滿足ab180，故三角形有兩解思考2如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等即三角形的兩邊及其夾角確定時(shí)，三角形的六個(gè)元素即可完全確定，故不必考慮解的個(gè)數(shù)的問題知識點(diǎn)三思考abc中，如果已知邊ab、bc和角b，邊bc上的高記為ha，則haabsin b從而可求面積題型探究例1解根據(jù)正弦定理，sin b0.899 9.因?yàn)?ba，ba，(1)當(dāng)b64時(shí)，c180(ab)180(4064)76，c30(cm)(2)當(dāng)b116時(shí)，c180(ab)180(40116)24，c13(cm)綜上，b64，c76，c30 cm或b116，c24，c13 cm.引申探究解如圖，a40，cdad.ac28 cm，以c為圓心，a為半徑畫圓弧，當(dāng)cdaac，即bsin aab，28sin 40a28時(shí)，abc有兩解(ab1c，ab2c均滿足題設(shè))跟蹤訓(xùn)練1解a2，b6，ab，a30a，ba，b(0，180)，所以b60或120.當(dāng)b60時(shí)，c90，c4；當(dāng)b120時(shí)，c30，ca2.所以b60，c90，c4或b120，c30，c2.例2解a2bsin a，由正弦定理，得sin a2sin bsin a，又a(0，)，sin a0，sin b.b為銳角，b.令ycos asin ccos asincos asincos asin cos acos sin acos asin asin.由銳角abc知，ba，a.a，sin，sin，即y0，所以0b，所以cos b1，所以12cos b2，又2cos b，所以12.例3解由正弦定理，得，sin c