2010年六年級(jí)數(shù)學(xué)最大公約數(shù)的專項(xiàng)練.doc

小升初數(shù)學(xué)試題最大公約數(shù)的專項(xiàng)練習(xí)（1）列舉約數(shù)法例如，求24和36的最大公約數(shù)。顯然（24，36）=12。（2）分解質(zhì)因數(shù)法就是先把要求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后把這幾個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)相乘，所得的積就是要求的最大公約數(shù)。例如，求12、18和54的最大公約數(shù)。所以（12，18，54）236。（3）除數(shù)相除法（短除法）就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個(gè)數(shù)，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，再把所有的除數(shù)連乘起來(lái)，乘得的積就是所求的最大公約數(shù)。例如，求24、60和96的最大公約數(shù)。 所以（24、60、96）2 2312。 （4）應(yīng)用相除法就是先用要求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除那幾個(gè)數(shù)，一直除到商只有公約數(shù)1為止。然后用被除數(shù)除以商。例如，求36和54的最大公約數(shù)。 （5）輾轉(zhuǎn)相除法也稱歐幾里得除法。就是用大數(shù)除以小數(shù)，如果能整除，小數(shù)就是所求的最大公約數(shù)；如果不能整除，再用小數(shù)除以第一個(gè)余數(shù)，如果能整除，第一余數(shù)就是所求的最大公約數(shù)；如果不能整除，再用第一個(gè)余數(shù)除以第二個(gè)余數(shù)，如果能整除，第二個(gè)余數(shù)就是所求的最大公約數(shù)，如果不能整除，再像上面那樣繼續(xù)除下去，直到余數(shù)為0為止，最后的那個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。如果最后的除數(shù)是1，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。例如，求621和851的最大公約數(shù)。則（621，851）23。（6）輾轉(zhuǎn)相減法在求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，可從任一大數(shù)中減去任意小數(shù)的任意倍數(shù)，同時(shí)作幾個(gè)減法。理論根據(jù)：定理1：如果甲、乙二數(shù)的差是乙數(shù)，那么甲、乙二數(shù)的最大公約數(shù)就是乙數(shù)。即：如果abb，那么（a，b）b。（本文字母都是自然數(shù)）證明：abb，a2b，即 b2bba。又bb，（ a，b）b。 定理2：如果兩個(gè)數(shù)的差不等于零，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)就是減數(shù)與差數(shù)的最大公約數(shù)。即：如果abc（ab），那么（a，b）（b，c）。可理解為差與小數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，差就是所求的最大公約數(shù)；如果差與小數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，差與小數(shù)的最大公約數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。abc，因此t是b、c的公約數(shù)。又設(shè)（p2，p1p2）=m（m1），則故（P2，P1P2）m不能成立，只能是：（P2，P1P2）1。說(shuō)明t不但是b、c的公約數(shù)，而且是最大公約數(shù)。即： （b，c）t，（a，b）（b，c）。例如，429143286，（429，143）（143，286）。又143286，（143，286）143。因此（429，143）143。根據(jù)上面的兩個(gè)定理求（a，b）。設(shè)ab，當(dāng) ba時(shí)，則（a，b）b。當(dāng)b a時(shí)，則abp1，即（a，b）（b，P1）。其中當(dāng)P1b時(shí)，則（b，P1）P1。 當(dāng)P1 b時(shí)，則bP1P2，即（b，P1）（P1，P2）。照此依次減下去，被減數(shù)、減數(shù)在逐漸減小，差也隨著相對(duì)減小，最后必能得到一個(gè)ppn=0。這時(shí)pn-1pn-2，所以（pn-2，pn-1）=pn-1。由此得出：（a，b）（b，p1）（p1，p2）（p2，p3）（pn-2，pn-1）pn-1。這種方法稱輾轉(zhuǎn)相減法。實(shí)例說(shuō)明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍；用3的7倍減去3的4倍一定還是3 的倍數(shù)，得3的3倍，然后用3的4倍減去3的3倍結(jié)果是3的1倍。因此（21，12）3。 應(yīng)用中貴在靈活。求解過(guò)程中，可隨時(shí)截取判斷。例1 求1105和1547的最大公約數(shù) （1）11054222211， （2）422221211， （3）2112110。 （4）沒(méi)必要輾轉(zhuǎn)相減到最后，由式子（2）知221與442成倍數(shù)關(guān)系，則（1105，1547）221。例2 求971和 601的最大公約數(shù)。971601370， （1）601370231， （2）370231139， （3）23113992 ， （4） 1399247， （5）110，（971，601）1。由（5）式可知（92，47）1，便可斷定（971，601）=1。例3 求27090、21672、11352和8127的最大公約數(shù)。用這種方法約簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)、判斷互質(zhì)數(shù)等。例略。（7）小數(shù)縮倍法就是求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，如果這兩個(gè)數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系，就把小數(shù)依次除以2、3、4，直到除得的商是較大數(shù)的約數(shù)為止，那個(gè)商就是所求的最大約數(shù)。例如，求45和75的最大公約數(shù)。45315，1575，則（45，75）15。（8）差除法如果兩個(gè)數(shù)的差能整除較小的數(shù)，那么這個(gè)差就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。已知abc，且cb（ab）。求證（a ，b）c。 證明：由 cb，設(shè) bcq。于是 abccqcc（q1）。在ac（q1）和bcq中，因?yàn)椋╭1，q）1，所以（a，b）c。例如，求91和98的最大公約數(shù)。 98917， 791，（91，98）7。（9）倍差除法當(dāng)出現(xiàn)找出的差不能整除小數(shù)時(shí)，把小數(shù)再擴(kuò)大幾倍，使之略超過(guò)大數(shù)，用新得的數(shù)減去大數(shù)的差去除小數(shù)。例4 求112與420的最大公約數(shù)。1124448， 44842028，28112，則（11，420）28。例5 求168與630的最大公約數(shù)。 1684=672， 67263042，42168，則（168，630）42。能夠這樣解的依據(jù)是什么呢？現(xiàn)證明如下（字母均為自然數(shù)）。如果nbac，cba，且cb，那么（a，b）c。證明：設(shè)t是a，b的公約數(shù)，則ta，tb，nbac，且cba，tnb，tc，因此，a，b的公約數(shù)一定是b、c的公約數(shù)。同理也可證明b、c的公約數(shù)一定是a、b的公約數(shù)。所以a、b的最大公約數(shù)等于b、c的最大公約數(shù)。即：（a，b）=（b，c ）。 又cb，（a，b）（b，c）c?；蛴貌畹膹拇蟮叫〉囊驍?shù)試除。例6 求161和115的最大公約數(shù)。16111546。46 115，而23115，（161，115）23。例7 求95和152的最大公約數(shù)。 95215238，且38 95，但1995，（95，152）19。這種方法，也適用于求三個(gè)以上數(shù)的最大公約數(shù)。例8 求217，62和93的最大公約數(shù)，因?yàn)?17629362，且3162、3193，所以（217，62，93 ）=31。 例9求 418、494和 589的最大公約數(shù)。因?yàn)?9441876，76 418，418（765）38，3876，則（418，494）38。而589（3815）19，1938，所以（418，494，589）19。例10 判斷255和182是否互質(zhì)。25518273，73 182，182（732）36，36 73，而73（362）1，所以（255，182）1，即為互質(zhì)數(shù)。486226182244，26182244374，3742244，（10）分?jǐn)?shù)法把求最大公約數(shù)的兩個(gè)數(shù)，寫為真分?jǐn)?shù)，逐次約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。原分?jǐn)?shù)的分子（或分母）除以最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子（或分母），商就是最大公約數(shù)。例如，求24、30和36的最大公約數(shù)。則（2430）6。 則（6，36）6。所以（24，30，36）6。（11）用商法例如，求64與48的最大公約數(shù)。先把兩個(gè)數(shù)寫成除法的形式，大數(shù)作被除數(shù)，小數(shù)作除數(shù)（除數(shù)為大于1的自然數(shù)）。所得的商寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)等于除數(shù)除以商的分母。即：48316，（64，48）16。如果，兩個(gè)數(shù)相除，商為整數(shù)，那么，這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是除數(shù)。 這種方法也適用于求兩個(gè)以上的數(shù)的最大公約數(shù)。例如，求36、30和20的最大公約數(shù)。所以（36，30，20）2。（12）利用等式關(guān)系利用（am，bm）m（a，b）。例如，求36與54的最大公約數(shù)。（36，54）（182，183）18（2，3）18。利用（an，bn）（a，b）n。例如，求64與216的最大公約數(shù)。（64，216）（43，63）（4，6）3=23=8。利用若（a，b）1，則（ac，b）（c，b ）。 例1 求46與253的最大公約數(shù)。（46，253）（46，1123）（46，23）23。例2 求12，286的最大公約數(shù)。（12，286）2（6，143）2（6，1113）2（6，13）2。例3 求245、315和560的最大公約數(shù)。（245，315，560）5（49，63，112）5（49， 63， 284）5（49，63，28）57（7，9，4）35。（13）口訣查找法就是用乘法口訣對(duì)照求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)，看哪個(gè)因數(shù)是求最大公約數(shù)的那幾個(gè)數(shù)的約數(shù)，再進(jìn)一步判斷那個(gè)公約數(shù)是不是所求的最大公約數(shù)。 例如，求56和72的最大公約數(shù)?？?6與72，立即想到乘法口訣“七八五十六”與“八九七十二”。8是56與72的公約數(shù)，