絕對值不等式講義.doc

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-af(x)2；(2)|26|3思路利用f(x)g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)2或+1或無解，所以原不等式的解集是|(2)原不等式等價于3263即26所以原不等式的解集是|26收獲形如|型不等式這類不等式的簡捷解法是等價命題法，即：|或x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法來解.原不等式等價于：x-x2-2x2-3x-4或x-x2-2-(x2-3x-4)解得：1-x-3故原不等式解集為xx-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+0所以x-x2-2中的絕對值符號可直接去掉.故原不等式等價于x2-x+2x2-3x-4解得：x-3 原不等式解集為x-3（2）分析 不等式可轉化為-11求解，但過程較繁，由于不等式1兩邊均為正，所以可平方后求解.原不等式等價于19x2(x2-4)2 (x2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4注意：在解絕對值不等式時，若f(x)中的f(x)的值的范圍可確定(包括恒正或恒非負，恒負或恒非正)，就可直接去掉絕對值符號，從而簡化解題過程.第2變 含兩個絕對值的不等式變題2解不等式（1）|1|5.思路（1）題由于兩邊均為非負數，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對值符號。（2）題可采用零點分段法去絕對值求解。解題（1）由于|1|0，|+|0，所以兩邊平方后有：|1|+|即有2+11當2+20即1時，不等式的解為(1)；當2+2=0即=1時，不等式無解；當2+20即1時，不等式的解為5.解：當x-3時，原不等式化為(2-x)-(x+3)5-2x6x-3.當-3x555無解.當x2時，原不等式為(x-2)+(x+3)52x4x2.綜合得：原不等式解集為xx2或x-3.收獲1）形如|型不等式此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：|0且1)解析：易知11，換成常用對數得：于是11011(1)00解得012不等式|x+3|-|2x-1|2 當-3x時4x+22故填。3求不等式的解集.解：因為對數必須有意義，即解不等式組，解得又原不等式可化為 (1)當時，不等式化為即 綜合前提得：。(2)當1x2時，即. 。(1) 當時，(2) ，結合前提得：。綜合得原不等式的解集為第3變 解含參絕對值不等式變題3解關于x的不等式 思路本題若從表面現象看當含一個根號的無理根式不等式來解，運算理較大。若化簡成，則解題過程更簡單。在解題過程中需根據絕對值定義對的正負進行討論。解題原不等式等價于 當即時， 當即時， x-6當即時， xR收獲1）一題有多解，方法的選擇更重要。2）形如|()型不等式此類不等式的簡捷解法是等價命題法，即： 當0時，|或； 當=0時，|0 當0時，|有意義。1解關于的不等式：分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當。2關于的不等式|1|5的解集為|32，求的值。按絕對值定義直接去掉絕對值符號后，由于值的不確定，要以的不同取值分類處理。解：原不等式可化為46當0時，進一步化為，依題意有，此時無解。當=0時，顯然不滿足題意。當0時，依題意有綜上，=2。第4變 含參絕對值不等式有解、解集為空與恒成立問題變題4若不等式|4|+|3|0時，先求不等式|4|+|3|有解時的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當4時，原不等式化為4+3，即271 當34時，原不等式化為4+31 當3時，原不等式化為4+3即721綜合可知，當1時，原不等式有解，從而當01時，|4|+|3|4|+|3|4+3|=1當1時，|4|+|3|恒成立，求的取值范圍。思維點撥：要使|+1|2|對任意實數恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的幾何意義為數軸上點到1的距離，|2|的幾何意義為數軸上點到2的距離，|+1|2|的幾何意義為數軸上點到1與2的距離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點分段的方法改寫成分段函數，通過畫出圖象，觀察的取值范圍。解法一 根據絕對值的幾何意義，設數，1,2在數軸上對應的點分別為P、A、B，則原不等式即求|PA|PB|成立|AB|=3，即|+1|2|3故當恒成立，從圖象中可以看出，只要3即可。故a恒成立，求實數a的取值范圍。分析：經過分析轉化，實質上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a應比最小值小。解： 由絕對值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，當且僅當(x+1)(x-2)0, 即時取等號。故a0,不等式|x-4|+|x-3|a在實數集R上的解集不是空集，求a的取值范圍分析（一）|x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1 當|x-4|+|x-3|1（二）如圖，實數x、3、4在數軸上的對應點分別為P、A、B則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1數按題意只須a1 A B P 0 3 4 x（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其圖象由f(x)1 y 3 2 1 0 3 4 x（四）考慮|z-4|+|z-3|1時，表示復平面上以3、4為焦點，長軸長為a的橢圓內部，當z為實數時，a1原不等式有解a1即為所求（五） 可利用零點分段法討論.將數軸可分為(-，3)，3，4，(4，+)三個區(qū)間.當x3時，得(4-x)+(3-x).有解條件為1當3x4時得(4-x)+(x-3)1當x4時，得(x-4)+(x-3)ax4 即a1以上三種情況中任一個均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為a1.變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|a對于一切實數x恒成立，求a的取值范圍2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范圍評注：1、此題運用了絕對值的定義，絕對值不等式的性質，以及絕對值的幾何意義等多種方法。4、構造函數及數形結合的方法，是行之有效的常用方法設0a,若滿足不等式的 一切實數x，亦滿足不等式求正實數b的取值范圍。簡析略解：此例看不出明顯的恒成立問題，我們可以設法轉化: 設集合A， B= 由題設知AB，則： () 于是得不等式組： 又 ，最小值為； 最小值為； , 即 ：b的取值范圍是第5變 絕對值三角不等式問題變題5已知函數，當時，求證：；，則當時，求證：。思路本題中所給條件并不足以確定參數，的值，但應該注意到：所要求的結論不是的確定值，而是與條件相對應的“取值范圍”，因此，我們可以用 、來表示,。因為由已知條件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得收獲1） 二次函數的一般式中有三個參數. 解題的關鍵在于：通過三個獨立條件“確定”這三個參數. 2）本題變形技巧性強，同時運用公式，及已知條件進行適當的放大。要求同學們做題時要有敏銳的數學觀察能力。請你試試451已知函數f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|a-b|。分析：要證，考察左邊，是否能產生|a-b|。證明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）回顧：1、證題時，應注意式子兩邊代數式的聯(lián)系，找出它們的共同點是證題成功的第一步。此外，綜合運用不等式的性質是證題成功的關鍵。如在本例中，用到了不等式的傳遞性，倒數性質，以及“三角形不等式”等等。2、本題的背景知識與解析幾何有關。函數是雙曲線，的上支，而（即），則表示該圖象上任意兩點連線的斜率的絕對值。（學過有關知識后），很顯然這一斜率的范圍是在（-1，1）之間。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集為空集，求a的取值范圍；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a有解，求a的取值范圍。分析：“有解”即“解集非空”，可見（1）（2）兩小題的答案（集合）互為補集（全集為R）當然可以用|x-3|+|x+1|=這種“去絕對值”的方法來解，但我們考慮到“三角形不等式”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4這樣|x-3|+|x+1|4。解（略）回顧：本題是“絕對值不等式性質定理”（即“三角形不等式”）的一個應用。發(fā)展題：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。3已知f(x)的定義域為0,1，且f(0)=f(1)，如果對于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求證：|f(x1)-f(x2)|分析：題設中沒有給出f(x)的解析式，這給我們分析f(x)的結構帶來困難，事實上，可用的條件只有f(0)=f(1) ，與|f(x1)-f(x2)|x1-x2|兩個。首先，若|x1-x2|，那么必有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|呢？考慮到0|x1-x2|1，則1-|x1-x2|，看來要證明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|成立！證明：不妨設x1x2，則0x1x21（1）當|x1-x2|時，則有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|時，即x2-x1時，0x2-x11 必有1-|x1-x2|即1- x2+x1 也可寫成|1- x2|+|x1| (*) 另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|1- x2|+|x1-0| 則由（*）式知|f(x1)-f(x2)|成立 綜上所述，當x1,x20,1時都有|f(x1)-f(x2)|成立。 已知二次函數，當時，有，求證：當時，有.分析：研究的性質，最好能夠得出其解析式，從這個意義上說，應該盡量用已知條件來表達參數. 確定三個參數，只需三個獨立條件，本題可以考慮，這樣做的