2021版江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒（能）成立問題含答案.doc

教學(xué)資料范本2021版江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒（能）成立問題含答案編 輯：_時(shí) 間：_(能)成立問題考點(diǎn)1恒成立問題分離參數(shù)法求范圍若f(x)a或g(x)a恒成立、只需滿足f(x)mina或g(x)maxa即可、利用導(dǎo)數(shù)方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值、從而問題得解.已知f(x)xln x、g(x)x3ax2x2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意x(0、)、2f(x)g(x)2恒成立、求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)xln x的定義域?yàn)?0、)、所以f(x)ln x1.令f(x)0、得ln x10、解得0x、所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.令f(x)0、得ln x10、解得x、所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上、f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是、單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)因?yàn)間(x)3x22ax1、由題意得2xln x3x22ax1恒成立.因?yàn)閤0、所以aln xx在x(0、)上恒成立.設(shè)h(x)ln xx(x0)、則h(x).令h(x)0、得x11、x2(舍).當(dāng)x變化時(shí)、h(x)、h(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1、)h(x)0h(x)極大值所以當(dāng)x1時(shí)、h(x)取得極大值、也是最大值、且h(x)maxh(1)2、所以若ah(x)在x(0、)上恒成立、則ah(x)max2、即a2、故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2、).利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x、)0(xD、為實(shí)參數(shù))恒成立問題中參數(shù)取值范圍的基本步驟：(1)將參數(shù)與變量分離、化為f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式.(2)求f2(x)在xD時(shí)的最大值或最小值.(3)解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min、得到的取值范圍.把參數(shù)看作常數(shù)利用分類討論方法解決對(duì)于不適合分離參數(shù)的不等式、常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)、常用分類討論法、利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值、從而得出參數(shù)范圍.已知函數(shù)f(x)ln xax、aR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)a0在x(1、)上恒成立、求a的取值范圍.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0、)、f(x)a.當(dāng)a0時(shí)、f(x)0恒成立、則f(x)只有單調(diào)遞增區(qū)間是(0、).當(dāng)a0時(shí)、由f(x)0、得0x；由f(x)0、得x；所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是、單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)f(x)a0在x(1、)上恒成立、即ln xa(x1)0在x(1、)上恒成立.設(shè)g(x)ln xa(x1)、x0、則g(x)a、注意到g(1)0、當(dāng)a1時(shí)、g(x)0在x(1、)上恒成立、則g(x)在x(1、)上單調(diào)遞減、所以g(x)g(1)0、即a1時(shí)滿足題意.當(dāng)0a1時(shí)、令g(x)0、得1x；令g(x)0、得x.則g(x)在上單調(diào)遞增、所以當(dāng)x時(shí)、g(x)g(1)0、即0a1時(shí)不滿足題意(舍去).當(dāng)a0時(shí)、g(x)a0、則g(x)在(1、)上單調(diào)遞增、所以當(dāng)x(1、)時(shí)、g(x)g(1)0、即a0時(shí)不滿足題意(舍去).綜上所述、實(shí)數(shù)a的取值范圍是1、).已知f(x)ax22ln x、aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的x0,2f(x)2(a1)x恒成立、求整數(shù)a的最小值.解(1)由題意得f(x)的定義域?yàn)?0、)、且f(x).當(dāng)a0時(shí)、f(x)0、f(x)在(0、)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)a0時(shí)、令f(x)0、得x或x(負(fù)值舍去).當(dāng)x、f(x)0、f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x、f(x)0、f(x)單調(diào)遞增.(2)由題意得2ax22ln x2(a1)x、整理得2(ln xx1)a(2xx2).因?yàn)閤0、所以原命題等價(jià)于a在區(qū)間(0、)內(nèi)恒成立.令g(x)、則g(x)、令h(x)2ln xx、易知h(x)在(0、)內(nèi)單調(diào)遞增.又h(0.5)2ln 20.50、h(1)10、故存在唯一的x0(0.5,1)、使得h(x0)0.當(dāng)0xx0時(shí)、h(x)0、即g(x)0、g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xx0時(shí)、h(x)0、即g(x)0、g(x)單調(diào)遞減.故函數(shù)g(x)的極大值為g(x0)、也為最大值、且2ln x0x00、所以g(x)max、所以a.又(1,2)、且a為整數(shù)、故整數(shù)a的最小值為2.考點(diǎn)2能成立問題存在xa、b、f(x)a成立f(x)maxa.存在xa、b、f(x)a成立f(x)mina.存在x1a、b、對(duì)任意x2a、b、f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)min.已知函數(shù)f(x)3ln xx2x、g(x)3xa.(1)若f(x)與g(x)的圖象相切、求a的值；(2)若x00、使f(x0)g(x0)成立、求參數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意得、f(x)x1、g(x)3、設(shè)切點(diǎn)為(x0、f(x0)、則kf(x0)x013、解得x01或x03(舍)、所以切點(diǎn)為、代入g(x)3xa、得a.(2)設(shè)h(x)3ln xx22x.x00、使f(x0)g(x0)成立、等價(jià)于x0、使h(x)3ln xx22xa成立、等價(jià)于ah(x)max(x0).因?yàn)閔(x)x2、令得0x1；令得x1.所以函數(shù)h(x)3ln xx22x在(0,1)上單調(diào)遞增、在(1、)上單調(diào)遞減、所以h(x)maxh(1)、即a、因此參數(shù)a的取值范圍為.(1)“恒成立”“存在性”問題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)、深刻挖掘內(nèi)含條件、進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法、解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.已知函數(shù)f(x)axex(aR)、g(x).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)x0(0、)、使不等式f(x)g(x)ex成立、求a的取值范圍.解(1)因?yàn)閒(x)aex、xR.當(dāng)a0時(shí)、f(x)0、f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)、令f(x)0得xln a.由f(x)0得xln a、所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(、ln a)；由f(x)0得xln a、所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(ln a、).(2)因?yàn)閤0(0、)、使不等式f(x)g(x)