人教A版高中數(shù)學必修1第二章 基本初等函數(shù)（1）2.1 指數(shù)函數(shù)習題.doc

范文 范例 指導 參考 指數(shù)函數(shù)例題解析第一課時【例1】（基礎題）求下列函數(shù)的定義域與值域：解 (1)定義域為x|xR且x2值域y|y0且y1(2)由2x+210，得定義域x|x2，值域為|y|y0(3)由33x-10，得定義域是x|x2，033x13，1.指數(shù)函數(shù)Y=ax （a0且a1）的定義域是R，值域是（0，+）2. 求定義域的幾個原則：含根式（被開方數(shù)不為負）含分式，分母不為形如a0,(a 0)3. 求函數(shù)的值域:利用函數(shù)Y=ax單調性函數(shù)的有界性(x20;ax0)換元法.如:y=4x+62x-8(1x2) 先換元,再利用二次函數(shù)圖象與性質(注意新元的范圍)【例2】（基礎題）指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖像如圖262所示，則a、b、c、d、1之間的大小關系是 Aab1cd Bab1dcC ba1dc Dcd1ab 解 選(c)，在x軸上任取一點(x，0)，則得ba1dc【例3】（基礎題）比較大小：(3)4.54.1_3.73.6解 (3)借助數(shù)4.53.6打橋，利用指數(shù)函數(shù)的單調性，4.54.14.53.6，作函數(shù)y14.5x，y23.7x的圖像如圖263，取x3.6，得4.53.63.73.6 4.54.13.73.6說明 如何比較兩個冪的大小：若不同底先化為同底的冪，再利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較，如例2中的(1)若是兩個不同底且指數(shù)也不同的冪比較大小時，有兩個技巧，其一借助1作橋梁，如例2中的(2)其二構造一個新的冪作橋梁，這個新的冪具有與4.54.1同底與3.73.6同指數(shù)的特點，即為4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)例題4（中檔題）9 【例5】（中檔題）作出下列函數(shù)的圖像：圖像變換法(3)y2|x-1| (4)y|13x|解 (2)y2x2的圖像(如圖265)是把函數(shù)y2x的圖像向下平移2個單位得到的 解 (3)利用翻折變換，先作y2|x|的圖像，再把y2|x|的圖像向右平移1個單位，就得y2|x-1|的圖像(如圖266)解 (4)作函數(shù)y3x的圖像關于x軸的對稱圖像得y3x的圖像，再把y3x的圖像向上平移1個單位，保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方的圖像以x軸為對稱軸翻折到x軸上方而得到(如圖267)例6（中檔題） ： 用函數(shù)單調性定義證明：當a1時，y = ax是增函數(shù).【解析】設x1，x2R且x1x2，并令x2 = x1 + h (h0，hR)，很獨特的方式則有，a1，h0，即故y = ax (a1)為R上的增函數(shù)，同理可證0a1時，y = ax是R上的減函數(shù).指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復合函數(shù)(由內(nèi)到外分析）二次函數(shù)為內(nèi)層函數(shù)，指數(shù)函數(shù)為外層函數(shù)例題7中檔題）變式1 求函數(shù)y=（）的單調區(qū)間，并證明之.解法一（在解答題）：在R上任取x1、x2，且x1x2，則=（）（x2x1）（x2+x12） 【（）為底數(shù)，紅色部分為指數(shù)】 ， x1x2，x2x10.當x1、x2（，1時，x1+x220.這時（x2x1）（x2+x12）0，則1.y2y1，函數(shù)在（，1上單調遞增.當x1、x21，+）時，x1+x220，這時（x2x1）（x2+x12）0，即1.（此處點評：上述證明過程中，在對商式正負判斷時，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調性） y2y1，函數(shù)在1，+上單調遞減. 綜上，函數(shù)y在（，1上單調遞增，在1，+）上單調遞減.合作探究：在填空、選擇題中用上述方法就比較麻煩，因此我們可以考慮用復合函數(shù)的單調性來解題. 解法二、在填空、選擇題中（用復合函數(shù)的單調性）：設： 則：對任意的，有，又是減函數(shù) 在是減函數(shù)對任意的，有又是減函數(shù) 在是增函數(shù)在該問題中先確定內(nèi)層函數(shù)（）和外層函數(shù)（）的單調情況，再根據(jù)內(nèi)外層函數(shù)的單調性確定復合函數(shù)的單調性.變式2 已知且，討論的單調性. 【分析】這是一道與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)討論單調性題，指數(shù)，當時是減函數(shù)，時是增函數(shù)，而的單調性又與和兩種范圍有關，應分類討論.【解析】設，則當時，是減函數(shù)， 當時，是增函數(shù)，又當時，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，所以當時，原函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).當時，原函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).【小結】一般情況下，兩個函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則其復合函數(shù)是增函數(shù)；如果兩個函數(shù)中一增一減，則其復合函數(shù)是減函數(shù)，但一定注意考慮復合函數(shù)的定義域. 第二課時例題8：（疑難題）指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復合函數(shù) 換元法 先換元,再利用二次函數(shù)圖象與性質(注意新元u的范圍)當x0時，函數(shù)y有最大值為1內(nèi)層指數(shù)函數(shù)u=(1/2)x為減，當u在（0，1/2】時，此時外層二次f（u)為減函數(shù)，即x在【1，正無窮大），則復合函數(shù)為增（畫草圖分析法） 點評：（1）指數(shù)函數(shù)的有界性（值域）：x20; ax0 （2）上述證明過程中，在兩次求x的范圍時，逆向利用了指數(shù)函數(shù)的值域及逆向利用了指數(shù)函數(shù)的單調性，是關鍵及疑難點。變式： 求（3）的值域.解 y且.故的值域為.【小結】求與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的值域時，要注意到充分考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調性.例題9 （中檔題）分式型指數(shù)函數(shù) (1)判斷f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域； (3)證明f(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)解 (1)定義域是R函數(shù)f(x)為奇函數(shù)反函數(shù)法，用指數(shù)函數(shù)值域 即f(x)的值域為(1，1)(3)設任意取兩個值x1、x2(，)且x1x2 f(x1)f(x2)變式1 設a是實數(shù)， 試證明對于任意a,為增函數(shù)；證明：設R,且 則 由于指