二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.doc

中國(guó)教育培訓(xùn)領(lǐng)軍品牌授課主題二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題講解教學(xué)目標(biāo)1、 通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)能夠了解動(dòng)點(diǎn)與二次函數(shù)之間的關(guān)系2、 熟練掌握因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生三角形的問(wèn)題解題思路3、 熟練掌握因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生四邊形的問(wèn)題解題思路4、 熟練掌握因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生線段比例的問(wèn)題解題思路授課日期及時(shí)段教學(xué)內(nèi)容二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題講解函數(shù)及其圖象是初中數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容之一，也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)相聯(lián)系的紐帶它與代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識(shí)有著密切聯(lián)系，考試命題中既重點(diǎn)考查函數(shù)及其圖象的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)以函數(shù)為背景的綜合性問(wèn)題也是命題熱點(diǎn)之一，多數(shù)省市作壓軸題因此，在中考復(fù)習(xí)中，關(guān)注這一熱點(diǎn)顯得十分重要以函數(shù)為背景的綜合性問(wèn)題往往都可歸結(jié)為動(dòng)點(diǎn)性問(wèn)題，我們把它歸納為以下幾種題型。一、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題1、如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=2 與x軸交于點(diǎn)C，直線y=-2x-1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E.（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）求證： CB=CE ； D是BE的中點(diǎn)；（3）若P(x，y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE,若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由分析 (1)由點(diǎn)B(-2,m)在直線上,可求得的值及點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而求得拋物線的解析式;(2)通過(guò)分別求得CB和CE的長(zhǎng)來(lái)說(shuō)明CB=CE,過(guò)點(diǎn)B作BGx軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，過(guò)點(diǎn)E作EHx軸，交y軸于H，由DFBDHE,證得D是BE的中點(diǎn)；(3)若存在點(diǎn)P使得PB=PE,則點(diǎn)P必在線段BE的中垂線CD上,動(dòng)點(diǎn)P又在拋物線上,通過(guò)解直線CD和拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式所聯(lián)列的方程組,其解即為所求點(diǎn)的坐標(biāo).解（1） 點(diǎn)B(-2,m) 在直線上， m=-2(-2)-1=3. B(-2,3) 拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對(duì)稱軸為x=2， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0) . 設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4). 將點(diǎn)B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)， . 所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，即. （2）直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(0,-1) E(2,-5).過(guò)點(diǎn)B作BGx軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，則點(diǎn)G坐標(biāo)為(2,3)BG直線x=2，BG=4.在RtBGC中，BC=. CE=5， CB=CE=5. 過(guò)點(diǎn)E作EHx軸，交y軸于H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(0,-5).又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1)， FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90. DFBDHE （SAS）， BD=DE. 即D是BE的中點(diǎn). (3)由于PB=PE， 點(diǎn)P必在線段BE的中垂線CD上，又點(diǎn)P在拋物線上, 符合條件的點(diǎn)P應(yīng)是直線CD與該拋物線的交點(diǎn).設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b. 將點(diǎn)D(0,-1) C(2,0) 代入，得. 解得 . 直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x-1.解方程組 得 符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，). 習(xí)題鞏固：2、如圖13，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D 點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B運(yùn)動(dòng)，過(guò)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于Q（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；圖13（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)了x（秒）時(shí)，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由解： （1）把x =0代入得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，2） 把y =0代入得點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，0） （2）連結(jié)OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y） =+= = = 點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)上停止，（） （3）存在 BC= 若BQ = DQ BQ = DQ，BD = 2 BM = 1 OM = 31 = 2 QM =所以Q的坐標(biāo)為Q （2，） 若BQ=BD=2 BQMBCO， = = QM = = = BM = OM = 所以Q的坐標(biāo)為Q （，） 二、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的梯形問(wèn)題3 如圖12， 四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4） 點(diǎn)從出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)，連結(jié)AC交NP于Q，連結(jié)MQ （1）點(diǎn) （填M或N）能到達(dá)終點(diǎn)；（2）求AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；（3）是否存在點(diǎn)M，使得AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由圖12解：（1）點(diǎn) M （2）經(jīng)過(guò)t秒時(shí)， 則，= 當(dāng)時(shí)，S的值最大 （3）存在 設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t 則，= 若，則是等腰Rt底邊上的高是底邊的中線 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0） 若，此時(shí)與重合點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0） 三、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的線段和（差）問(wèn)題4、如圖：拋物線經(jīng)過(guò)A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn). （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過(guò)t 秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（注：拋物線的對(duì)稱軸為）（1）解法一：設(shè)拋物線的解析式為y = a (x +3 )(x - 4) 因?yàn)锽（0，4）在拋物線上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以拋物線解析式為解法二：設(shè)拋物線的解析式為，依題意得：c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式為（2）連接DQ，在RtAOB中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 5 = 2因?yàn)锽D垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因?yàn)锳D=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ， 所以t的值是（3）答對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小理由：因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱連接AQ交直線于點(diǎn)M，則MQ+MC的值最小過(guò)點(diǎn)Q作QEx軸，于E，所以QED=BOA=900 DQAB， BAO=QDE， DQE ABO 即 所以QE=，DE=，所以O(shè)E = OD + DE=2+=，所以Q（，）設(shè)直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯(lián)立由此得 所以M則：在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小。四、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的四邊形問(wèn)題5、.關(guān)于的二次函數(shù)以軸為對(duì)稱軸，且與軸的交點(diǎn)在軸上方（1）求此拋物線的解析式，并在下面的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的草圖；（2）設(shè)是軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，得到矩形設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形能否成為正方形若能，請(qǐng)求出此時(shí)正方形的周長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由參考資料：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是直線解：（1）據(jù)題意得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，拋物線的解析式為：函數(shù)的草圖如圖所示（只要與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)的位置及圖象大致形狀正確即可）（2）解：令，得不時(shí)，43211234（第26題）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（3）解法一：當(dāng)時(shí)，令，得解得（舍），或?qū)⒋?，得?dāng)時(shí)，令，得解得（舍），或?qū)⒋?，得綜上，矩形能成為正方形，且當(dāng)