高中數學第三章3.2.4二面角及其度量課后導練新人教選修.docx

3.2.4 二面角及其度量課后導練基礎達標1.在60的二面角-a-內有一點P，P到、的距離分別為3和5，求P到棱a的距離（ ）A. B. C.14 D.答案：A2.已知-l-為直二面角，A、B在l上，AC、BD分別在面、內，且AC與l的夾角為45（如下圖的位置），BDl,AC=，AB=2，BD=4，求CD的長（ ）A. B. C. D.4答案：C3.過正方形ABCD的頂點A，作PA平面ABCD，若PA=AB，求平面ABP和平面CDP所成的二面角的大?。?）A.30 B.45 C.60 D.90答案：B4.在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=a,AD=3a,ADC=arcsin,又PA平面ABCD，PA=a,則二面角P-CD-A為_.答案：arctan5.如右圖，ABCD是正方形，E是AB的中點，如果將DAE和CBE分別沿DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點為P，求面PCD與面ECD所成的二面角_.答案：306.如右圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90.求證：平面ABC平面BSC.證明：SB=SA=SC,ASB=ASC=60,AB=AC,取BC的中點O,連AO、SO,則AOBC,SOBC,AOS為二面角A-BC-S的平面角.設SA=SB=SC=a,又BSC=90.BC=a,SO=a,AO2=AC2-OC2=a2-a2=a2.SA2=AO2+OS2.AOS=90.從而平面ABC平面BSC.7.如右圖，PA平面ABC，ACBC，PA=AC=1，BC=，求二面角A-PB-C的大小.解：如題圖,作CHAB于H,因為PA平面ABC,所以CHPA,從而CH平面PAB.作HDPB于D,連結CD,由三垂線定理得CDPB,所以CDH為二面角A-PB-C的平面角.在RtACB中,CH=.PA平面ABC，PABC.又BCAC,BC平面PAC,BCPC.在等腰直角三角形PCB中,易知CD=1,在RtCHD中,sinCDH=.故二面角A-PB-C的大小是arcsin.8.如右圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P是AD的中點，求二面角A-BD1-P的大小.解：過P作PFAD1于F,AB平面AA1D1D,ABPF,PF平面ABD1.由點F作FEBD1于E,連結EF,則PE為平面ABD1的斜線,EF為PE在平面ABD1內的射影,則PEBD1.PEF為二面角A-BD1-P的平面角.RtAFPRtADD1,PF=.在PBD1中,PD1=PB=,PEBD1,BE=BD1=.在RtPBE中,PE=,在RtPEF中,sinPEF=,PEF=30,二面角A-BD1-P的大小為30.9.如右圖，在底面是直角梯形的四棱錐ABCD中，ABC90，A面ABCD，SAABBC1，AD.求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.解析：如右圖,延長BA、CD相交于點E,連結SE,則SE是所求二面角的棱.ADBC,BC=2AD,EA=AB=SA,SESB.SA面ABCD,得面SEB面EBC,EB是交線.又BCEB,BC面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影.CSSE.BSC是所求二面角的平面角.SB=,BC=1,BCSB,tanBSC=,即所求二面角的正切值為.綜合運用10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別是AB、BC、DD1的中點.求二面角M-B1N-B的正弦值.解：用三垂線定理求二面角.BEB1N,Q點為垂足,MB平面BB1N,BQ為斜線MQ在平面BB1中的射影,且BQB1N,MQB1N.BQM為二面角M-B1N-B的平面角.設AB=1,在RtBEC中,BC=1,BE=,cosNBQ=.在RtBNQ中,BQ=BNcosNBQ=.在RtMBQ中,tanMQB=,sinMQB=.二面角M-B1N-B的正弦值為.11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AB=1，M是CC1的中點，求面A1MB與面ABC成的角.解：對無棱二面角傳統(tǒng)方法是先做出棱來,本題延長A1M交AC于N,連接BN,則可確定A1BA是所求二面角之平面角.以向量法解決這一類問題可以回避做圖找角的過程.這里只要求出兩半平面的法向量,求法向量夾角就可以了.簡解:如右圖建系,設面A1MB的法向量n=（1,m,n）,由n=0、n=0,得m=,n=.又面ABC的法向量p=(0,0,1),可解得cosn,p,即n,p=45.因此,所求二面角的大小為45.拓展研究12.如下圖，幾何體APC=90，APB=60，PB=BC=4，PC=3，求二面角B-PA-C的大小.解析：作BDAP,D為垂足,CPAP,二面角B-PA-C的大小等于,.在RtPBD中,BD=PBsinBPA=4sin60=23,DP=BPcosB