數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)24.1.2垂直于弦的直徑-教學(xué)設(shè)計(jì).doc

您的指導(dǎo)是我前行的明燈，您的鼓勵(lì)是我前行的動(dòng)力，您的幫助是我前行的源泉24.1.2 垂直于弦的直徑 教學(xué)設(shè)計(jì)大連市第四中學(xué)王丹24.1.2垂直于弦的直徑大連市第四中學(xué) 王丹一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容圓的軸對(duì)稱性及證明；垂徑定理及其推論；垂徑定理及其推論的應(yīng)用.2.內(nèi)容解析圓是常見的幾何圖形之一，也是平面幾何中基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)重要的基礎(chǔ).圓的許多性質(zhì)也被廣泛應(yīng)用，垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對(duì)稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)，在本章中占有重要的地位.圓的軸對(duì)稱性是圓的基本性質(zhì)之一，先通過觀察、實(shí)驗(yàn)等探究得出，再進(jìn)行證明，實(shí)現(xiàn)圖形的性質(zhì)、圖形的變化和圖形的證明的有機(jī)結(jié)合.垂徑定理及其推論是由圓的軸對(duì)稱性得出的，它建立了直徑、弧、弦之間的關(guān)系，為圓的計(jì)算和證明提供了方法和依據(jù).盡管在課標(biāo)（2011年版）中，垂徑定理的探索與證明是選學(xué)內(nèi)容，但垂徑定理的應(yīng)用是教科書的重點(diǎn)，尤其是例2趙州橋問題，很好地利用垂徑定理解決了實(shí)際問題，突出了弦長(zhǎng)、弦心距、半徑以及弓形高之間的關(guān)系，體現(xiàn)了建模思想.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論的應(yīng)用，建模思想.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解圓的軸對(duì)稱性，掌握垂徑定理及其推論，并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些結(jié)論解決一些有關(guān)證明、計(jì)算和作圖的問題.（2）通過觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步提高學(xué)生的思維能力和邏輯推理能力；通過利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)建模思想.（3）通過實(shí)際問題的解決和合作交流，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)和合作互助的意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)交流、表達(dá)的能力.2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、證明出圓的軸對(duì)稱性，能通過圓的軸對(duì)稱性得出垂徑定理及其推論，并能用文字、圖形、符號(hào)三種語言進(jìn)行描述；能運(yùn)用圓的軸對(duì)稱性、垂徑定理及其推論解決數(shù)學(xué)和生活中的問題.達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生積極參與觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷幾何圖形性質(zhì)探究的一般過程，能說出結(jié)論并加以證明；在應(yīng)用時(shí)，能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能利用所學(xué)知識(shí)解決.達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：學(xué)生通過解決實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活應(yīng)用于生活；經(jīng)歷獨(dú)立思考、合作交流等活動(dòng)解決問題，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，學(xué)會(huì)與人合作，能在小組中傾聽他人觀點(diǎn)和發(fā)表自己的建議.三、教學(xué)問題診斷分析上節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)概念，從概念到性質(zhì)是研究幾何圖形的基本思路，學(xué)生容易從觀察、實(shí)驗(yàn)、探究中得出圓的軸對(duì)稱性，但證明圓的軸對(duì)稱性比較困難，教學(xué)時(shí)應(yīng)適當(dāng)啟發(fā)；從圓的軸對(duì)稱性到垂徑定理再到推論也容易接受，但定理及推論的題設(shè)和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，這也是難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)要適時(shí)強(qiáng)調(diào)；學(xué)習(xí)了垂徑定理及其推論后如何應(yīng)用，也是學(xué)生容易出現(xiàn)的問題，教學(xué)時(shí)要適時(shí)指導(dǎo)，尤其是輔助線的做法，以及如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題等.本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：圓的軸對(duì)稱性的證明以及垂徑定理的應(yīng)用.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.提出問題、類比研究問題1：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，類比一般幾何圖形的研究思路，接下來我們應(yīng)該研究圓的什么內(nèi)容呢？師生活動(dòng)：教師提出問題；學(xué)生思考、回答.設(shè)計(jì)意圖：從概念到性質(zhì)是研究幾何圖形的基本思路，由此類比以前學(xué)習(xí)的幾何圖形，如三角形、四邊形等引導(dǎo)學(xué)生明確學(xué)習(xí)任務(wù)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)知識(shí)的整體性和連貫性.2.明確思路，探究證明問題2：再類比以前學(xué)過的幾何圖形，我們應(yīng)該怎樣研究圓的性質(zhì)呢？師生活動(dòng)：教師出示問題；學(xué)生思考、回答.設(shè)計(jì)意圖：再次類比以前學(xué)過的幾何圖形，如等腰三角形的研究思路，明確圓的性質(zhì)的研究思路，即實(shí)驗(yàn)-猜想-證明，引導(dǎo)學(xué)生把新知轉(zhuǎn)化成舊知，貫徹幾何圖形的研究策略和方法.問題3：明確了圓的性質(zhì)的研究思路，下面請(qǐng)同學(xué)們利用手中的圓形紙片探究圓的性質(zhì). 通過實(shí)驗(yàn)操作你有什么發(fā)現(xiàn)？你得到了什么結(jié)論？師生活動(dòng)：教師提出問題和要求，并巡視學(xué)生的做法；學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手操作.設(shè)計(jì)意圖：自主探究的前提是思路清晰，在已有研究思路的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以有的放矢地探究；利用手中的圓形紙片比較直觀地發(fā)現(xiàn)圓的軸對(duì)稱性及對(duì)稱軸，不僅提高了學(xué)生的動(dòng)手能力和參與熱情，而且為后續(xù)學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ).問題4：我們?nèi)绾巫C明這個(gè)結(jié)論呢？首先，這是一個(gè)命題，要證明需要結(jié)合圖形把它的題設(shè)和結(jié)論寫成已知和求證.我們已知什么？求證什么？怎樣證明軸對(duì)稱圖形呢？我們不妨回憶一下軸對(duì)稱圖形的定義和性質(zhì). 結(jié)合軸對(duì)稱圖形的定義和性質(zhì)，同學(xué)們?cè)倏紤]一下怎樣證明？動(dòng)筆試一試.同學(xué)們可以以小組為單位交流一下.師生活動(dòng)：教師啟發(fā)、提問，巡視小組合作情況，適時(shí)加以指導(dǎo)；學(xué)生思考、回答，小組合作交流證明方法.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生證明圖形的軸對(duì)稱性比較困難，教學(xué)時(shí)一方面寫出已知、求證，另一方面從回顧軸對(duì)稱圖形的定義和性質(zhì)中尋找解決問題的方法和策略；學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行小組合作交流，相互說出各自的想法，資源共享，取長(zhǎng)補(bǔ)短，既增強(qiáng)了學(xué)生的合作意識(shí)又鍛煉了學(xué)生的交流、表達(dá)能力.問題5：哪個(gè)小組講一講你們的證明方法？師生活動(dòng)：教師提出要求，傾聽學(xué)生講解、板書，并適時(shí)追問；學(xué)生代表講解，其它學(xué)生補(bǔ)充或質(zhì)疑.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生講解可以提高學(xué)生的語言表達(dá)能力，同時(shí)教師對(duì)證明方法的追問進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力.問題6：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察這個(gè)圖，圖中有哪些圓的要素？由圓的軸對(duì)稱性可以得到它們之間有什么關(guān)系？這些結(jié)論成立的前提是什么？這樣的直徑就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的24.1.2垂直于弦的直徑，你能用語言概括一下這個(gè)結(jié)論嗎？這個(gè)結(jié)論是由圓的軸對(duì)稱性得出的，我們稱之為垂徑定理.幾何語言怎樣書寫？師生活動(dòng)：教師提出問題；學(xué)生思考、回答.設(shè)計(jì)意圖：通過分析圖中圓的各個(gè)要素，由圓的軸對(duì)稱性得到垂徑定理，從而引出本節(jié)課的課題垂直于弦的直徑，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；概括垂徑定理時(shí)，重視文字、圖形、符號(hào)三種語言，有利于學(xué)生更好地理解垂徑定理，也為垂徑定理的應(yīng)用作鋪墊.問題7：在這個(gè)定理中，有這樣幾個(gè)關(guān)鍵詞：垂直于弦、直徑、平分弦、平分兩條弧，我們是從兩個(gè)條件得出兩個(gè)結(jié)論，如果我們把、兩個(gè)條件互換，即平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，同學(xué)們說成立嗎？為什么？由此，我們得到了垂徑定理的推論，幾何語言怎么書寫？師生活動(dòng)：教師提出問題；學(xué)生思考、回答.設(shè)計(jì)意圖：分析垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論，一方面強(qiáng)化垂徑定理的用法，另一方面提出條件、結(jié)論互換的假設(shè)，引起學(xué)生的爭(zhēng)辯，進(jìn)而得出垂徑定理的推論以及注意事項(xiàng)，即被平分的弦不是直徑，有利于學(xué)生更好地理解垂徑定理及其推論.3.及時(shí)鞏固，提煉模型問題8：練習(xí)1如圖，在O中，弦AB的長(zhǎng)為 8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑 這道題，已知弦長(zhǎng)和圓心到弦的距離，我們可以利用垂徑定理和勾股定理求出半徑，其中做垂是解決這類問題常見的輔助線之一.師生活動(dòng)：教師出示練習(xí)；學(xué)生思考、解答.設(shè)計(jì)意圖：一方面及時(shí)鞏固垂徑定理的應(yīng)用，另一方面強(qiáng)化弦長(zhǎng)、弦心距、半徑之間的關(guān)系，為后續(xù)解決趙州橋問題建立了模型，埋下了伏筆.4.例題講解，拓展訓(xùn)練問題9：例2：趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.這是一個(gè)實(shí)際問題，要想解決我們需要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，題中要求主橋拱的半徑，主橋拱在哪里？我們把這條圓弧設(shè)為AB，半徑在哪里？題目中的已知條件有哪些？你能找到它們?cè)趫D中的位置嗎？有了這些條件，我們?cè)鯓咏鉀Q趙州橋的問題？總結(jié)一下，解決這個(gè)問題，需要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，畫出圖形，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在圖中找出已知和未知，做垂的輔助線一方面利用垂徑定理確定弧的中點(diǎn)和弦的一半，另一方面構(gòu)造了直角三角形利用勾股定理解得答案.師生活動(dòng)：教師出示問題，板書規(guī)范過程；學(xué)生思考，解答.設(shè)計(jì)意圖：通過例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生一方面把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了建模思想；另一方面強(qiáng)化了對(duì)垂徑定理的理解，也鞏固了弦長(zhǎng)、弦心距、半徑以及弓形高之間的關(guān)系的模型，提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力；教師及時(shí)總結(jié)，既加強(qiáng)了所學(xué)知識(shí)的鞏固，有突出了解決問題的方法和策略；明確輔助線的做法和作用，更有效地提高了學(xué)生的邏輯思維能力.問題10（備用）：練習(xí)2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E.求證四邊形ADOE是正方形師生活動(dòng)：教師提出問題；學(xué)生獨(dú)立思考、解決.設(shè)計(jì)意圖：垂徑定理既能解決圓的有關(guān)計(jì)算問題，還能解決圓的有關(guān)證明的問題，再次鞏固垂徑定理的應(yīng)用.5.小結(jié)反思問題11：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你