高中數(shù)學2.1直線與平面及兩平面的相對位置課件人教版必修2.ppt

直線與平面及兩平面的相對位置 平行問題相交問題垂直問題綜合問題分析及解法 基本要求 一 平行問題1 熟悉線 面平行 面 面平行的幾何條件 2 熟練掌握線 面平行 面 面平行的投影特性及作圖方法 二 相交問題1 熟練掌握特殊位置線 面相交 其中直線或平面的投影具有積聚性 交點的求法和作兩個面的交線 其中一平面的投影具有積聚性 2 熟練掌握一般位置線 面相交求交點的方法 掌握一般位置面 面相交求交線的作圖方法 3 掌握利用重影點判別投影可見性的方法 三 垂直問題掌握線面垂直 面面垂直的投影特性及作圖方法 四 點 線 面綜合題1 熟練掌握點 線 面的基本作圖方法 2 能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析 了解綜合題的一般解題步驟和方法 直線與平面平行 兩平面平行 平行問題 直線與平面平行 d b c a p 若 ab cd則 ab p 若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行 則該直線與該平面平行 這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù) 幾何條件 有關線 面平行的作圖問題有 判別已知線面是否平行 作直線與已知平面平行 包含已知直線作平面與另一已知直線平行 結論 直線ab不平行于定平面 例1 試判斷直線ab是否平行于定平面 a c b m a b c m n 例2 過m點作直線mn平行于平面abc 有無數(shù)解 d d x 正平線 例3 過m點作直線mn平行于v面和平面abc 唯一解 c b a m a b c m n d d x 例4 試過點k作水平線ab平行于 cde平面 直線與特殊位置平面平行 當平面為投影面的垂直面時 只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影平行 或直線也為該投影面的垂線 則直線與平面必定平行 兩平面平行 若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行 則此兩平面平行 這是兩平面平行的作圖依據(jù) 判別兩已知平面是否相互平行 過一點作一平面與已知平面平行 已知兩平面平行 完成其中一平面的所缺投影 幾何條件 兩平面平行的作圖問題有 兩平面平行 若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線 則這兩平面相互平行 ab ac 則 p q 若兩投影面垂直面相互平行 則它們具有積聚性的那組投影必相互平行 兩特殊位置平面平行 兩特殊位置平面平行 兩一般位置平面平行 a c e b b a d d f c f e k h k h o x m m 由于ek不平行于ac 故兩平面不平行 例1 判斷平面abdc與平面efhm是否平行 已知ab cd ef mh 例2 試判斷兩平面是否平行 結論 兩平面平行 例3 已知定平面由平行兩直線ab和cd給定 試過點k作一平面平行于已知平面 例4 試判斷兩平面是否平行 結論 因為ph平行sh 所以兩平面平行 直線與平面相交 兩平面相交 5 2相交問題 直線與平面相交 其交點是直線與平面的共有點 1 直線與平面相交 要討論的問題 1 求直線與平面的交點 2 判別兩者之間的相互遮擋關系 即判別可見性 我們將分別討論一般位置的直線與平面或至少有一個處于特殊位置的情況 2 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線 交線是兩平面的共有線 同時交線上的點都是兩平面的共有點 要討論的問題 求兩平面的交線 方法 確定兩平面的兩個共有點 確定一個共有點及交線的方向 判別兩平面之間的相互遮擋關系 即 判別可見性 5 2 1特殊位置線面相交 直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交 1 直線與特殊位置平面相交 由于特殊位置平面的某個投影有積聚性 交點可直接求出 2 判斷直線的可見性 特殊位置線面相交 根據(jù)平面的積聚性投影 能直接判別直線的可見性 例1求直線mn與平面abc的交點k并判別可見性 空間及投影分析 平面abc是一鉛垂面 其水平投影積聚成一條直線 該直線與mn的交點即為k點的水平投影 求交點 判別可見性 由水平投影可知 kn段在平面前 故正面投影上k n 為可見 還可通過重影點判別可見性 1 2 x k m n b m n c b a a c 直線為特殊位置 空間及投影分析 直線mn為鉛垂線 其水平投影積聚成一個點 故交點k的水平投影也積聚在該點上 求交點 判別可見性 點 位于平面上 在前 點 位于mn上 在后 故k 1 為不可見 x k 例2求鉛垂線ef與一般位置平面 abc的交點并判別其可見性 一般位置平面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題 由于特殊位置平面的某個投影有積聚性 交線可直接求出 1 求交線2 判斷平面的可見性 1 求交線 2 判斷平面的可見性 2 判斷平面的可見性 a b c d e f c f d b e a m n 例3求兩平面的交線mn并判別可見性 空間及投影分析 求交線 判別可見性 從正面投影上可看出 在交線左側 平面abc在上 其水平投影可見 平面abc與def都為正垂面 它們的交線為一條正垂線 兩平面正面投影的交點即為交線的正面投影 交線的水平投影垂直于ox軸 還可通過重影點判別可見性 a a b d e e b d h f c f c h 空間及投影分析 平面defh是一鉛垂面 它的水平投影有積聚性 其與ac bc的交點m n即為兩個共有點的水平投影 故mn即為交線mn的水平投影 求交線 判別可見性 點 在mc上 點 在fh上 點 在前 點 在后 故m c 可見 作圖 x 2 1 1 2 b 投影分析 n點的水平投影n位于 def的外面 說明點n位于 def所確定的平面內 但不位于 def這個圖形內 所以 abc和 def的交線應為mk n 求交線 判別可見性 作圖 def的正面投影積聚 5 2 3直線與一般位置平面相交 以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖判別可見性示意圖 1 2 qv 步驟 1 過ef作正垂平面q 2 求q平面與 abc的交線 3 求交線 與ef的交點k 示意圖 以正垂面為輔助平面求直線ef與 abc平面的交點 過ef作正垂面q e 以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖 2 ph 步驟 1 過ef作鉛垂平面p 2 求p平面與 abc的交線 3 求交線 與ef的交點k 示意圖 以鉛垂面為輔助平面求直線ef與 abc平面的交點 1 過ef作鉛垂面p 以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖 f f e e 直線ef與平面 abc相交 判別可見性 利用重影點判別可見性 1 2 4 3 示意圖 3 利用重影點判別可見性 直線ef與平面 abc相交 判別可見性 示意圖 兩一般位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題 因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點 將其連線即為兩平面的交線 兩一般位置平面相交求交線判別可見性 兩一般位置平面相交 求交線步驟 1 用求直線與平面交點的方法 作出兩平面的兩個共有點k e 2 連接兩個共有點 畫出交線ke 示意圖 例4 求兩平面的交線 兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖 利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點 將其連線即為兩平面的交線 利用重影點判別可見性 兩平面相交 判別可見性 5 2 5綜合性問題解法 試過k點作一直線平行于已知平面 abc 并與直線ef相交 綜合性問題解法 綜合性問題解法 綜合性問題解法 例5 過已知點k作平面p平行于 abc 直線ef與平面p交于h 連接kh kh即為所求 分析 pv 1 2 1 過點k作平面kmn abc平面 2 求直線ef與平面kmn的交點h 3 連接kh kh即為所求 作圖 直線與平面垂直 兩平面互相垂直 垂直問題 直線與平面垂直 幾何條件 若一直線垂直于一平面 則必垂直于屬于該平面的一切直線 定理1 若一直線垂直于一平面 則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影 直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影 定理2 若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影 直線 逆 的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影 則直線必垂直于該平面 a 例6平面由 bdf給定 試過定點m作平面的垂線 h 例7試過定點k作特殊位置平面的法線 x o 例8平面由兩平行線ab cd給定 試判斷直線mn是否垂直于定平面 例9試過點n作一平面 使該平面與v面的夾角為60 與h面的夾角為45 平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為補角 h p a k f d c b e f 分析 ym yn zm zn m mn m m n x o 作圖過程 幾何條件 若一直線垂直于一定平面 則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面 5 3 2兩平面垂直 反之 兩平面相互垂直 則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面 兩平面垂直 兩平面不垂直 x o 例10平面由 bdf給定 試過定點k作已知平面的垂面 結論 兩平面不平行 x o 例11試判斷 abc與相交兩直線kg和kh所給定的平面是否垂直 5 4 1空間幾何元素定位問題 5 4 2空間幾何元素度量問題 綜合問題分析及解法 5 4 3綜合問題解題舉例 求解綜合問題主要包括 平行 相交 及垂直等問題側重于探求每一個單個問題的投影特性 作圖原理與方法 而實際問題是綜合性的 涉及多項內容 需要多種作圖方法才能解決 綜合問題解題的一般步驟 1 分析題意2 明確所求結果 找出解題方法3 擬定解題步驟 空間幾何元素的定位問題 交點 交線 空間幾何元素的度量問題 如距離 角度 空間幾何元素定位問題 例12已知三條直線cd ef和gh 求作一直線ab與cd平行 并且與ef gh均相交 分析 所求得直線ab一定在平行于cd的平面上 并且與交叉直線ef gh相交 作圖過程 k k 1 1 2 2 a a b b 例13試過定點a作直線與已知直線ef正交 分析 過已知點a作平面垂直于已知直線ef 并交于點k 連接ak ak即為所求 作圖 5 4 2空間幾何元素度量問題 度量問題 是解決距離和角度的度量問題 主要基礎是根據(jù)直角投影定理作平面的垂線或直線的垂面 并求其實長或實形 1 距離的度量 點到點之間的距離 求二點之間線段的實長 直角三角形法 點到直線之間的距離 過點作平面垂直于直線 求出垂足 再求出點與垂足之間的線段實長 點到平面之間的距離 過點作平面的垂線 求出垂足 再求出點與垂足之間的線段實長 直線與直線平行之間的距離 直線與交叉直線之間的距離 直線與平面平行之間的距離 平面與平面平行之間的距離 過一直線上任一點作另一直線的垂線 余下方法同點到直線的距離 包含一直線作一平面平行于另一直線 在另一直線上任取一點 過點作平面的垂線 求出垂足 再求出點與垂足之間的線段實長 過直線上任一點作平面的垂線 方法同點到平面的距離 過一平面上任一點作另一平面的垂線 余下方法同點到平面的距離 例14求點c到直線ab的距離 分析 過c點作直線ab的垂線ck一定在過c點并且與ab垂直的平面p內 過c點作一平面與直線ab垂直 求出該平面與ab的交點k 最后求出垂線ck的實長即為所求 作圖過程 1 2 1 2 所求距離 pv 例15求兩平行直線ab和cd的距離 1 2 1 2 所求距離 pv d d 例16求 點到 abc平面的距離 作出垂線后 用輔助平面法求出垂線與 平面的交點 即垂足 再用直角三角形法求出線段的實長即可 所求距離mk實長 m c c a b a b x o d d 例17求交叉兩直線ab和cd的公垂線 分析 p 過一條直線cd作平面p平行于另一條直線ab 在過點a作平面p的垂線ah 求出垂足點e 在平面p上過點e作直線ef ab與直線cd交于點k 過點k作直線kl ah交ab于l點 kl即為所求的公垂線 作圖過程 3 4 e e k k ph 2 角度的度量 兩相交直線間的夾角 直線與平面的夾角 兩平面間的夾角 任作一直線分別與兩相交直線相交 構