活躍在高考中的二次函數(shù)問題.doc

活躍在高考題中的二次函數(shù)問題二次函數(shù)是出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)具體的基本初等函數(shù)，初中階段對(duì)它的的教學(xué)要求比較低，加上初中學(xué)生的接受水平所限制和各地區(qū)初中畢業(yè)升學(xué)考試的要求不一，高中階段的教材中又沒有這部分內(nèi)容。因此這塊內(nèi)容在教學(xué)中，就并沒有真正達(dá)到高中階段應(yīng)用要求的高度，各地區(qū)一般采用的方法都是在初中與高中銜接的過程中補(bǔ)充一些二次函數(shù)的內(nèi)容。事實(shí)上高中數(shù)學(xué)問題中，二次函數(shù)問題的應(yīng)用卻是十分廣泛，本文通過一些具體的高考問題來闡述二次函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，期望能給高中學(xué)生一些幫助。一、 直接以二次函數(shù)為模型來處理的問題 例1、設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD解：，因?yàn)槭顷P(guān)于的減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，令，在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，所以，即 所以選B這是2008年全國高考理科數(shù)學(xué)9題，是一道解析幾何與函數(shù)的簡單綜合問題，它是通過求二次函數(shù)的值域，來求出離心率取值范圍的。例2、求函數(shù)的最大值解： ,令 ，則 ，當(dāng)時(shí)所以函數(shù)的最大值為這是2004年全國高考理科數(shù)學(xué)15題，它的處理過程是通過換元，直接把問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)二次函數(shù)的最大值問題。二、三次函數(shù)求導(dǎo)后形成的二次函數(shù)問題例3、已知函數(shù)，若在處取得最小值，求a的取值范圍。解： ，由得（）（1）當(dāng)時(shí)，方程（）沒有解，函數(shù)沒有極小值；(2)當(dāng)或時(shí)，由得 ， ，由題設(shè)可以知道，當(dāng)時(shí)，不等式無解；當(dāng)時(shí)，解不等式得綜合(1)(2)得的取值范圍是。這是2011全國高考文科數(shù)學(xué)試卷第21題的第二問，它是通過二次方程的判別式進(jìn)行分類討論來處理問題的。三、其它函數(shù)中形成的二次函數(shù)問題例4、設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且求的取值范圍，并討論的單調(diào)性解: 求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得令，其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；21世紀(jì)教育網(wǎng) 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；這是2009年全國高考理科數(shù)學(xué)22題的一問，它是通過構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)二次函數(shù)問題來處理的。例5、已知函數(shù)（I）若時(shí)，求的最小值；解：由已知得，若 ，則當(dāng)時(shí)，所以若 ，則當(dāng)時(shí)，在所以當(dāng)時(shí)綜上，的最小值是這是2013年高考理科大綱卷第22題的第一問，它是借助函數(shù)對(duì)應(yīng)方程根的討論來處理的。轉(zhuǎn)化后能夠利用二次函數(shù)來處理的高考試題還有很多。作為生活中應(yīng)用最廣泛的一種函數(shù)，依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的基本理念，二次函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容必然會(huì)成了高考中長考不衰，靈活多變的的考查內(nèi)容，因此在學(xué)習(xí)的過