內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用.doc

內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用主干知識整合1函數(shù)的零點方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系：由函數(shù)的零點的定義可知，函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0的實數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)所以，方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點2二分法用二分法求函數(shù)零點的一般步驟：第一步：確定區(qū)間a，b，驗證f(a)f(b)0，給定精確度；第二步：求區(qū)間a，b的中點c；第三步：計算f(c)：(1)若f(c)0，則c就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)f(c)0，則令bc(此時零點x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，則令ac(此時零點x0(c，b)；(4)判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)(2)(4)3函數(shù)模型解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出解答要點熱點探究探究點一函數(shù)的零點和方程根的分布例1 (1)2011天津卷 對實數(shù)a和b，定義運算“”：ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2)，xr，若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是()a(，2b(，2c.d.(2)2011山東卷 已知函數(shù)f(x)logaxxb(a0，且a1)當(dāng)2a3b4時，函數(shù)f(x)的零點x0(n，n1)，nn*，則n_.(1)b(2)2【解析】 (1)f(x) 則f(x)的圖象如圖yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點，yf(x)與yc的圖象恰有兩個公共點，由圖象知c2，或1c.(2)本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點定理的應(yīng)用因為2a3，所以loga21logaaloga3，因為3b1loga2，b31loga3，所以f(2)f(3)(loga22b)(loga33b)0)，又f(x)在x2處的切線方程為yxb，所以解得a2，b2ln2.(2)當(dāng)a0時，f(x)在定義域(0，)上恒大于0，此時方程無解當(dāng)a0在(0，)上恒成立，所以f(x)在定義域(0，)上為增函數(shù)因為f(1)0，fe10時，f(x)x，因為當(dāng)x(0，)時，f(x)0，f(x)在(，)內(nèi)為增函數(shù)所以當(dāng)x時，有極小值，即最小值f()aalna(1lna)，當(dāng)a(0，e)時，f()a (1lna)0，此方程無解；當(dāng)ae時，f()a(1lna)0.此方程有唯一解x，當(dāng)a(e，)時，f()a(1lna)0且11時，(xlnx)0，所以xlnx1，所以xlnx，f(x)x2alnxx2ax.因為2a1，所以f(2a)(2a)22a20，所以方程f(x)0在區(qū)間(，)上有唯一解所以方程f(x)0在區(qū)間(0，)上有兩解綜上所述：當(dāng)a0，e)時，方程無解；當(dāng)ae時方程有兩解【點評】 含有參數(shù)的方程根的個數(shù)問題，需要重點研究三個方面的問題：一是函數(shù)的單調(diào)性；二是函數(shù)極值點的值的正負(fù)；三是區(qū)間端點的值的正負(fù)探究點二二分法求方程的近似解例2 用二分法求方程lnx在1,2上的近似解，取中點c1.5，則下一個有根區(qū)間是_【分析】 只要計算三個點x1,1.5,2的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)零點的存在定理進行判斷即可1.5,2【解析】 令f(x)lnx，f(1)1ln10，f(1.5)ln1.5(ln1.532)；因為1.533.375，e241.53，故f(1.5)(ln1.532)(lne22)0，f(1.5)f(2)0，所以下一個有根區(qū)間是1.5,2【點評】 用二分法求方程近似解時，每一次取中點后，下一個有根區(qū)間的判斷原則是：若中點函數(shù)值為零，則這個中點就是方程的解，若中點函數(shù)值不等于零，則下一個有根區(qū)間是和這個中點函數(shù)值異號的區(qū)間在用二分法求方程的近似解時，有時需要根據(jù)精確度確定近似解，如下面的變式變式題：若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054那么方程x3x22x20的一個近似根(精確到0.1)為()a1.2 b1.3 c1.4 d1.5c【解析】 由于f(1.40625)0.0540，精確到0.1，所以函數(shù)的正數(shù)零點為x1.406251.4，故選c.探究點三函數(shù)模型及其應(yīng)用（含導(dǎo)數(shù)解決實際問題）例3 2011湖南卷 如圖31，長方體物體e在雨中沿面p(面積為s)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v0)，雨速沿e移動方向的分速度為c(cr)e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：(1)p或p的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|vc|s成正比，比例系數(shù)為；(2)其他面的淋雨量之和，其值為.記y為e移動過程中的總淋雨量，當(dāng)移動距離d100，面積s時，(1)寫出y的表達(dá)式；(2)設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少圖31【解答】 (1)由題意知，e移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為|vc|，故y(3|vc|10)(2)由(1)知，當(dāng)0vc時，y(3c3v10)15；當(dāng)cv10時，y(3v3c10)15.故y當(dāng)0c時，y是關(guān)于v的減函數(shù)故當(dāng)v10時，ymin20.當(dāng)c5時，在(0，c上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10上，y是關(guān)于v的增函數(shù)故當(dāng)vc時，ymin.【點評】 本題考查函數(shù)建模、分段函數(shù)模擬的應(yīng)用解決函數(shù)建模問題，首要的問題是弄清楚實際問題的意義，其中變量是什么，求解目標(biāo)是什么，為了表達(dá)求解目標(biāo)需要解決什么問題，這些問題清楚了就可以把求解目標(biāo)使用一個變量表達(dá)出來在函數(shù)模型中，含有絕對值的函數(shù)本質(zhì)上是分段函數(shù)，解決分段函數(shù)問題時，要先解決函數(shù)在各個段上的性質(zhì)，然后把各段上的性質(zhì)整合為函數(shù)在其整個定義域上的性質(zhì)例4 2011山東卷 某企業(yè)擬建造如圖32所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c3)千元設(shè)該容器的建造費用為y千元(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的r.圖32【解答】 (1)設(shè)容器的容積為v，由題意知vr2lr3，又v，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造費用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，03，所以c20，當(dāng)r30時，r.令m，則m0，所以y(rm)(r2rmm2) 當(dāng)0m時，當(dāng)rm時，y0；當(dāng)r(0，m)時，y0.所以rm是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點當(dāng)m2即3c時，當(dāng)r(0,2時，y0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點綜上所述，當(dāng)3時，建造費用最小時r.規(guī)律技巧提煉1根據(jù)方程的解和函數(shù)零點的關(guān)系，可以把方程和函數(shù)聯(lián)系起來，通過函數(shù)的零點研究方程根的分布以及采用逐步縮小方程根所在區(qū)間的方法求方程的近似解(二分法)，但在實際中我們一般是求方程解的個數(shù)、或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍，這時數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都是我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫成f(x)g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系2二分法求方程的近似解的依據(jù)是函數(shù)的零點存在定理，當(dāng)把方程的一個根鎖定在區(qū)間(a，b)上時，取區(qū)間的中點x，則下一個有根的區(qū)間就是根據(jù)函數(shù)的零點存在定理進行判斷的，即在f的符號與f(a)，f(b)的值異號的區(qū)間內(nèi)3函數(shù)模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型，解決函數(shù)建模的關(guān)鍵是找到一個影響求解目標(biāo)的變量，使用這個變量把求解目標(biāo)需要的量表達(dá)出來，這樣就建立起了函數(shù)模型，然后通過研究這個函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、特殊點的函數(shù)值)等，對實際問題作出解釋，其中研究函數(shù)的性質(zhì)可以采用導(dǎo)數(shù)的方法在解決實際應(yīng)用問題的函數(shù)建模時，要注意根據(jù)問題的實際意義確定函數(shù)的定義域教師備用例題備選理由：例1雖然難度不大，但很容易出錯，就是忽視了x6也是函數(shù)的零點，選此題的目的是考查學(xué)習(xí)思維的縝密性；例2考查綜合使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象分析問題的能力，以及綜合使用函數(shù)、不等式的知識解決問題的能力；例3是建立一個分段函數(shù)模型，這是高考中重點考查的一類函數(shù)建模，從2011年高考情況看，函數(shù)的實際應(yīng)用問題有成為命題熱點的趨勢，建議在二輪復(fù)習(xí)中加大函數(shù)建模和解模的訓(xùn)練例12011山東卷 已知f(x)是r上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0x2時，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點的個數(shù)為()a6 b7 c8 d9【解析】 b當(dāng)0x2時，f(x)x3xx(x21)0，所以當(dāng)0x2時，f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)為x10，x21.當(dāng)2x4時，0x22，則f(x2)(x2)3(x2)，又周期為2，所以f(x2)f(x)，所以f(x)(x2)(x1)(x3)，所以當(dāng)2x1，設(shè)函數(shù)f(x)axx4的零點為m，g(x)logaxx4的零點為n，則的取值范圍是()a(1，) b1，)c(4，) d.【解析】 b如圖所示，函數(shù)f(x)axx4的零點是函數(shù)yax與函數(shù)y4x圖象交點a的橫坐標(biāo)，函數(shù)g(x)logaxx4的零點是函數(shù)ylogax與函數(shù)y4x圖象交點b的橫坐標(biāo)，由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線yx對稱，直線y4x與直線yx垂直，故直線y4x與直線yx的交點為(2,2)，即是a，b的中點，所以mn4，所以(mn)1，當(dāng)且僅當(dāng)mn2時等號成立，此時只要a即可故所求式子的取值范圍是1，)例3某商場預(yù)計2011年1月份起前x個月，顧客對某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)x(x1)(392x)(xn*，且x12)該商品第x月的進貨單價q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)(1)寫出2011年第x月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問商場2011年第幾月銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？【解答】 (1)當(dāng)x1時，f(1)p(1)37，當(dāng)2x12，且xn*時，f(x)p(x)p(x1)x(x1)(392x)(x1)x(412x)3x240