概率問題的解題方法與策略.doc

概率與統(tǒng)計問題的題型與方法一復(fù)習(xí)目標(biāo)：1 了解典型分布列：01分布，二項分布，幾何分布。2 了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差。3 在實際中經(jīng)常用期望來比較兩個類似事件的水平，當(dāng)水平相近時，再用方差比較兩個類似事件的穩(wěn)定程度。4 了解正態(tài)分布的意義，能借助正態(tài)曲線的圖像理解正態(tài)曲線的性質(zhì)。5 了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義和性質(zhì)，掌握正態(tài)總體轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）的公式及其應(yīng)用。6 通過生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制圖，了解假設(shè)檢驗的基本思想。7 了解相關(guān)關(guān)系、回歸分析、散點圖等概念，會求回歸直線方程。8 了解相關(guān)系數(shù)的計算公式及其意義，會用相關(guān)系數(shù)公式進行計算。了解相關(guān)性檢驗的方法與步驟，會用相關(guān)性檢驗方法進行檢驗。二考試要求：了解隨機變量、離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列。 了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差。 會用抽機抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本。 會用樣本頻率分布去估計總體分布。 了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)。 了解假設(shè)檢驗的基本思想。 會根據(jù)樣本的特征數(shù)估計總體。 了解線性回歸的方法。三教學(xué)過程：（）基礎(chǔ)知識詳析隨機事件和統(tǒng)計的知識結(jié)構(gòu)：隨機事件和統(tǒng)計的內(nèi)容提要 1主要內(nèi)容是離散型隨機變量的分布列、期望與方差，抽樣方法，總體分布的估計，正態(tài)分布和線性回歸。 2隨機變量的概率分布 （1）離散型隨機變量的分布列： P 兩條基本性質(zhì))； P1+P2+=1。 （2）連續(xù)型隨機變量概率分布： 由頻率分布直方圖，估計總體分布密度曲線y=f(x)； 總體分布密度函數(shù)的兩條基本性質(zhì)： f(x) 0(xR)； 由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。 3隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差 （1）離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望： ；反映隨機變量取值的平均水平。 （2）離散型隨機變量的方差： ；反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度。 （3）基本性質(zhì)：；。 4三種抽樣方法。 5二項分布和正態(tài)分布 （1）記是n次獨立重復(fù)試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則B（n，p）； 其概率。 期望E=np，方差D=npq。 （2）正態(tài)分布密度函數(shù)： 期望E=，方差。 （3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： 若，則， ， 。 6線性回歸： 當(dāng)變量x取值一定時，如果相應(yīng)的變量y的取值帶有一定的隨機性，那么就說變量y與x具有相關(guān)關(guān)系。對于它們的一組觀測值來說，如果與之相應(yīng)的在平面直角坐標(biāo)系中的點大體上集中在一條直線的附近，就說變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。 相關(guān)系數(shù)用來檢驗線性相關(guān)顯著水平，通常通過查表取顯著水平0.05自由度n-2的，若為顯著；否則為不顯著。離散型隨機變量的分布列隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量最常見的兩種類型，即離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量；如果隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量的分布列：如果離散型隨機變量的可能取值為xi（i1，2，），由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，于是隨機變量取每一個值也有一定的概率P（xi）pi，人們常常習(xí)慣地把它們寫成表格的形式，如：x1x2xiPp1p2pi這種表即為隨機變量的概率分布，簡稱為的分布列。分布列的表達(dá)式可有如下幾種：（1）表格形式；（2）一組等式；（3）壓縮為一個帶“i”的等式。1在實際問題中，人們常關(guān)心隨機變量的特征，而不是隨機變量的具體值。離散型隨機變量的期望和方差都是隨機變量的特征數(shù)，期望反映了隨機變量的平均取值，方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位。2離散型隨機變量期望和方差的計算公式設(shè)離散型隨機變量的分布列為P（xi）pi，i1，2，則：Ei pi，DiE)2 pii2 pi(E)2E(2)(E)2。3離散型隨機變量期望和方差的性質(zhì)E (ab)aEb，D (ab)a2 D。4二項分布的期望與方差若B (n，p)，則Enp，Dnp (1p)。抽樣方法三種常用抽樣方法：1簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N。如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。實現(xiàn)簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數(shù)表法。2系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）。系統(tǒng)抽樣的步驟可概括為：（1）將總體中的個體編號；（2）將整個的編號進行分段；（3）確定起始的個體編號；（4）抽取樣本。3分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。總體分布的估計總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布?？傮w密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。正態(tài)分布正態(tài)分布：如果總體密度曲線是以下函數(shù)的圖象：， 式中的實數(shù)、(0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個總體是有無限容量的抽象總體。其分布叫做正態(tài)分布，常記作N(，2)。的圖象被稱為正態(tài)曲線。特別地，在函數(shù)中，當(dāng)=0，=1時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，這時，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是， 相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。當(dāng)我們不知道一個總體的分布時，往往總是從總體中抽取一個樣本，并用樣本的頻率分布去估計總體的分布，而且隨著樣本容量越大分組的組距越小，樣本的頻率分布就更加接近總體分布。當(dāng)樣本容量無限增大且分組的組距無限縮小時，頻率分布直方圖就會演變成一條光滑曲線，即反映總體分布的總體密度曲線。可以知道，反映總體分布的總體密度曲線的形狀是形形色色的，不同形狀的總體密度曲線是不同總體分布的反映，而正態(tài)分布以及反映這種分布的正態(tài)曲線是異彩紛呈的總體分布及總體密度曲線中的一類重要分布。 1正態(tài)分布的重要性 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布，其重要性我們可以從以下兩方面來理解：一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布。一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多，而每個因素所起的作用都不太大，則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布。例如，產(chǎn)品尺寸是一類典型的總體，對于成批生產(chǎn)的產(chǎn)品，如果生產(chǎn)條件正常并穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素，那么，產(chǎn)品尺寸的總體分布就服從正態(tài)分布。又如測量的誤差；炮彈落點的分布；人的生理特征的量：身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，很多分布可以用正態(tài)分布來近似描述，另外，一些分布又可以通過正態(tài)分布來導(dǎo)出，因此在理論研究中正態(tài)分布也十分重要。 2正態(tài)曲線及其性質(zhì) 對于正態(tài)分布函數(shù)： ，x（-，+） 由于中學(xué)知識范圍的限制，不必去深究它的來龍去脈，但對其函數(shù)圖像即正態(tài)曲線可通過描點（或計算機中的繪圖工具）畫出課本圖1-4中的圖（1）、（2）、（3），由此，我們不難自己總結(jié)出正態(tài)曲線的性質(zhì)。 3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N（0，1）是一種特殊的正態(tài)分布曲線，它是本小節(jié)的重點。由于它具有非常重要的地位，已專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”。對于抽像函數(shù)，課本中沒有給出具體的表達(dá)式，但其幾何意義非常明顯，即由正態(tài)曲線N（0，1）、x軸、直線所圍成的圖形的面積。再由N（0，1）的曲線關(guān)于y軸對稱，可以得出等式，以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(a，b)內(nèi)取值概率。 4一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化 由于一般的正態(tài)總體其圖像不一定關(guān)于y軸對稱，所以，研究其在某個區(qū)間的概率時，無法利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表進行計算。這時我們自然會思考：能否將一般的正態(tài)總體轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)總體N（0，1）進行研究。人們經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：對于任一正態(tài)總體，其取值小于x的概率。對于這個公式，課本中不加證明地給出，只用了“事實上，可以證明”這幾個字說明。這表明，對等式的來由不作要求，只要會用它求正態(tài)總體在某個特定區(qū)間的概率即可。 5“小概率事件”和假設(shè)檢驗的基本思想 “小概率事件”通常指發(fā)生的概率小于5%的事件，因為對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗20次，才能發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的。這種認(rèn)識便是進行推斷的出發(fā)點。關(guān)于這一點我們要有以下兩個方面的認(rèn)識：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，因為試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進行推斷時，我們也有5%的犯錯誤的可能。就是說，這里在概率的意義上所作的推理與過去確定性數(shù)學(xué)中的“若a則b”式的推理有所不同。 課本是借助于服從正態(tài)分布的有關(guān)零件尺寸的例子來介紹假設(shè)檢驗的基本思想。進行假設(shè)檢驗一般分三步： 第一步，提出統(tǒng)計假設(shè)。課本例子里的統(tǒng)計假設(shè)是這個工人制造的零件尺寸服從正態(tài)分布。 第二步，確定一次試驗中的取值a是否落入范圍（-3，+3）。 第三步，作出推斷。如果a（-3，+3），接受統(tǒng)計假設(shè)；如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設(shè)。 上面這種拒絕統(tǒng)計假設(shè)的推理，與我們過去學(xué)習(xí)過的反證法有類似之處。事實上，用反證法證明一個問題時，先否定待證命題的結(jié)論，這本身看成一個新的命題，從它出發(fā)進行推理，如果出現(xiàn)了矛盾，就把這個矛盾歸因于前述新命題不正確，從而將它否定。否定了新命題，也就等于證明了原命題的結(jié)論。線性回歸回歸分析：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。回歸直線方程：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n個觀測值的n個點大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個方程為y對x的回歸直線方程。 1相關(guān)關(guān)系 研究兩個變量間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個方面加以認(rèn)識： （1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系。例如正方形面積S與邊長x之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系。即對于邊長x的每一個確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對應(yīng)。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系。例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費等等都是相關(guān)關(guān)系。 （2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，身高與閱讀技能有很強的相關(guān)關(guān)系。然而學(xué)會新詞并不能使兒童馬上長高，而是涉及到第三個因素年齡，當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大身高也會高些。 （3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測量邊長時，由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機性。而對于具有線性關(guān)系的兩個變量來說，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對這兩個變量間的關(guān)系進行估計。 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況。因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，還可使我們對函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識上升到一個新的高度。 2回歸分析 本節(jié)所研究的回歸分析是回歸分析中最簡單，也是最基本的一種類型一元線性回歸分析。 對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面： （1）回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法。兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。 （2）散點圖是定義在具有相關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進行相關(guān)回歸分析。 （3）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點圖大至呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。 3相關(guān)系數(shù) 有時散點圖中的各點并不集中在一條直線的附近，仍可以按照求回歸直線方程的步驟求得回歸直線方程。顯然這種情形下求得的回歸直線方程沒有實際意義。那么，在什么情況下求得的回歸直線方程才能對相應(yīng)的一組觀測數(shù)據(jù)具有代表意義？課本中不加證明地給出了相關(guān)系數(shù)的公式。相關(guān)系數(shù)公式的作用在于，我們對一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度可作出定量的分析，而不是僅憑畫出散點圖，直覺地從散點圖的形狀粗淺地得出數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度。 4線性相關(guān)性檢驗 相關(guān)性檢驗是一種假設(shè)檢驗，它給出了一個具體檢驗y與x之間線性相關(guān)與否的具體辦法。限于要求，中學(xué)階段只要求掌握這種檢驗方法的操作步驟，而不要求對這種方法包含的原理進行深入研究。其具體檢驗的步驟如下： （1）在課本中的附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2（n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值。 （2）根據(jù)公式計算r的值。 （3）檢驗所得結(jié)果。 如果，那么可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，從而接受統(tǒng)計假設(shè)。 如果，表明一個發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗中竟發(fā)生了。這個小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。 有了相關(guān)性檢驗方法后，我們對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析，只須先對這組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性進行檢驗。如若具有線性相關(guān)性，則可依據(jù)求回歸直線方程的方法進行求解，而不必像前面那樣，先畫散點圖，再依照散點圖呈直線性后再求回歸直線方程。這樣就使得回歸直線方程更能真實地反映實際情況，具有應(yīng)用于實際的價值。 注意事項（）1由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質(zhì)：（1）pi0，i1，2，；（2）p1p21。2若隨機變量的分布列為：P (k)Cnk pk qn-k。（k0，1，2，n，0p1，q1p，則稱服從二項分布，記作B (n，p)，其中n、 p為參數(shù)，并記Cnk pk qn-k=b(k；n，p)。對二項分布來說，概率分布的兩個性質(zhì)成立。即：（1）P (k)Cnk pk qn-k0，k0，1，2，n；（2）P (k)Cnk pk qn-k(pq) n1。二項分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，它有著廣泛的應(yīng)用。（）1三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性。若樣本容量為n，總體的個體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時，每一個個體被抽到的概率都是。2三種抽樣方法的各自特點、適用范圍、相互聯(lián)系及共同點如下表：類 別共 同 點各 自 特 點相 互 聯(lián) 系適 用 范 圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成