江蘇專版2020版高考數(shù)學第六章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列教案文含解析蘇教版.docx

第二節(jié) 等差數(shù)列1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A，其中A叫做a，b的等差中項2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：ana1(n1)d.(2)前n項和公式：Snna1d.3等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列小題體驗1已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，若a12，S312，則a6_.解析：設等差數(shù)列的公差為d，由題意知，323d12，解得d2，故a62(61)212.答案：122已知等差數(shù)列an，a520，a2035，則an_.答案：15n3(2018南京、鹽城一模)設an是等差數(shù)列，若a4a5a621，則S9_.解析：因為an是等差數(shù)列，且a4a5a621，所以3a521，即a57，故S99a563.答案：631要注意概念中的“從第2項起”如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列2求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含 條件小題糾偏1首項為24的等差數(shù)列，從第10項開始為負數(shù)，則公差d的取值范圍是_答案：2已知數(shù)列為等差數(shù)列，若a13,11a55a8，則使其前n項和Sn取最小值的n_.解析：a13,11a55a8，d2，Snn24n(n2)24，當n2時，Sn最小答案：2 題組練透1在等差數(shù)列中，已知d，an，Sn，則a1_.解析：由題意，得由得a1n2，代入得n27n300，n10或n3(舍去)，a13.答案：32公差不為零的等差數(shù)列an中，a72a5，則數(shù)列an中第_項的值與4a5的值相等解析：設等差數(shù)列an的公差為d，因為a72a5，所以a16d2(a14d)，則a1 2d，所以ana1(n1)d(n3)d，而4a54(a14d)4(2d4d)8da11，故數(shù)列an中第11項的值與4a5的值相等答案：113(2018蘇北四市一模)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，且a23，S416，則S9_.解析：設等差數(shù)列an的公差為d，則由a23，S416，得解得因此S99281.答案：814(2019南京調(diào)研)記等差數(shù)列an前n項和為Sn.若am10，S2m1110, 則m_.解析：因為S2m1(2m1)am110，所以2m111，即m6.答案：6謹記通法等差數(shù)列基本運算的方法策略(1)等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”解決這些問題一般設基本量a1，d，利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式列方程(組)求解，體現(xiàn)方程思想(2)如果已知等差數(shù)列中有幾項的和是常數(shù)的計算問題，一般是等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列求和公式Sn結(jié)合使用，體現(xiàn)整體代入的思想 典例引領(lǐng)(2019啟東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)(1)設函數(shù)yf(x)的圖象的頂點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列an，求證：an為等差數(shù)列；(2)設函數(shù)yf(x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列bn，求bn的前n項和Sn.解：(1)證明：因為f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，所以an3n8，因為an1an3(n1)8(3n8)3，所以數(shù)列an為等差數(shù)列(2)由題意知，bn|an|3n8|，所以當1n2時，bn83n，Snb1bn；當n3時，bn3n8，Snb1b2b3bn521(3n8)7.所以Sn由題悟法等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于任意自然數(shù)n(n2)，anan1(n2，nN*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差數(shù)列通項公式法anpnq(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列填空題中的判定問題前n項和公式法驗證SnAn2Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立an是等差數(shù)列即時應用已知數(shù)列滿足：a12，an13an3n12n.設bn.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式解：(1)證明：bn1bn1，數(shù)列為等差數(shù)列(2)b10，bnn1，an(n1)3n2n.典例引領(lǐng)1已知an為等差數(shù)列，若a1a2a35，a7a8a910，則a19a20a21_.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差數(shù)列，設此數(shù)列公差為D.所以52D10，所以D.所以a19a20a21S21S1856D51520.答案：202已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a81，S160，當Sn取最大值時n的值為_解析：法一：由解得則Snn216n(n8)264，則當n8時，Sn取得最大值法二：因為an是等差數(shù)列，所以S168(a1a16)8(a8a9)0，則a9a81，即數(shù)列an的前8項是正數(shù)，從第9項開始是負數(shù)，所以(Sn)maxS8，故Sn取最大值時，n8.答案：8由題悟法1等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2求等差數(shù)列前n項和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Snan2bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解(2)鄰項變號法：當a10，d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；當a10，d0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.即時應用1設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn324(n6)，則數(shù)列an的項數(shù)為_解析：由題意知a1a2a636，anan1an2an5180， 得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，所以a1an36，又Sn324，所以18n324，所以n18.答案：182設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，S1016，S100S9024，則S100_.解析：依題意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差數(shù)列，設該等差數(shù)列的公差為d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d1016200.答案：2003已知在等差數(shù)列中，a131，Sn是它的前n項和，S10S22.(1)求Sn；(2)這個數(shù)列的前多少項的和最大，并求出這個最大值解：(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，S10S22，a11a12a220，0，即a11a222a131d0.又a131，d2，Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)由(1)知Sn32nn2，當n16時，Sn有最大值，Sn的最大值是256.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2018徐州、連云港、宿遷質(zhì)檢)已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若 3，則的值為_解析：設等差數(shù)列an的首項為a1，則由3，得3，所以d4a1，所以.答案：2(2019常州一中檢測)在等差數(shù)列中，若a2a124，則a2a7a12_.解析：a2a122a74，a72.則a2a7a123a76.答案：63(2018徐州期中)已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，S11132，a6a930，則a12的值為_解析：在等差數(shù)列中，設首項為a1，公差為d，由S11132，a6a930，得解得a1d2.a12a111d24.答案：244(2018蘇州質(zhì)量監(jiān)測)已知數(shù)列an滿足a115，且3an13an2.若akak10，則正整數(shù)k_.解析：3an13an2an1anan是等差數(shù)列，則ann.因為ak1ak0，所以0，所以k，又因為kN*，所以k23.答案：235等差數(shù)列an中，已知a50，a4a70，則an的前n項和Sn的最大值為_解析：因為所以所以Sn的最大值為S5.答案：S56(2018無錫期末)在等差數(shù)列中，若an0，a45，則的最小值為_解析：在等差數(shù)列中，an0，a45，a2a62a410，(a2a6)，當且僅當時取等號故的最小值為.答案：二保高考，全練題型做到高考達標1(2018張家港期末)在古巴比倫泥板(公元前2000年前1000年)有這樣一個數(shù)學問題：10兄弟分100個金幣，哥哥比弟弟依次多分已知每一個級差相等，還知道老八分得6個金幣(每個人分得的金幣可以是分數(shù))問：老三應該分得_個金幣解析：10兄弟分100個金幣，哥哥比弟弟依次多分，每一個級差相等，老八分得6個金幣，可將其看作一個等差數(shù)列，解得a1，d，a3a12d14，即老三應該分得14個金幣答案：142數(shù)列an的前n項和Sn2n23n(nN*)，若pq5，則apaq_.解析：當n2時，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1，當n1時，a1S15，符合上式，所以an4n1，apaq4(pq)20.答案：203(2018蘇州期末)已知an是等差數(shù)列，a515，a1010，記數(shù)列an的第n項到第n5項的和為Tn，則|Tn|取得最小值時n的值為_解析：由a515，a1010得an5n40，an55n15，Tn15(112n)，當112n1時，即n5或6時，|Tn|取最小值15.答案：5或64(2019泰州模擬)設等差數(shù)列的前n項和為Sn，且S44，S1224，則S8_.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，S4，S8S4，S12S8成等差數(shù)列，所以2(S84)424S8，解得S812.答案：125設數(shù)列an的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列bn的首項為1，公差不為0，若數(shù)列bn為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列bn的通項公式為_解析：設等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，k，因為b11，則nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因為對任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以數(shù)列bn的通項公式為bn2n1.答案：bn2n16(2019揚州模擬)已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，且S136，則3a92a10_.解析：由S136，得13a76，a7，3a92a103(a18d)2(a19d)a16da7.答案：7在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前 n項和為Sn ，當且僅當n8 時Sn 取得最大值，則d 的取值范圍為_解析：由題意，當且僅當n8時Sn有最大值，可得即解得1d.答案：8(2019啟東中學模擬)若等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，關(guān)于x的不等式x2xc0的解集為0,10，則使數(shù)列的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的值是_解析：關(guān)于x的不等式x2xc0的解集為0,10，0,010，010，解得d0，c0，a1.ana1(n1)d(n1)dd，令an0，解得n，因此使數(shù)列的前n項和Sn最大的正整數(shù)n的值是5.答案：59(2018啟東期末)已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，且a37，a5a726.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求證：數(shù)列為等差數(shù)列解：(1)設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，a37，a5a726.解得a13，d2，ana1(n1)d32(n1)2n1，Snn(n2)(2)證明：bnn2，bn1bnn3(n2)1，數(shù)列為等差數(shù)列10(2018南京、鹽城二模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn，cn滿足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1)若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若存在實數(shù)，使得對一切nN*，有bncn，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列解：(1)因為數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，所以ana12(n1)，a1n1.因為(n2)cn(a1n1)n2，所以cn1.(2)證明：由(n1)bnan1，得n(n1)bnnan1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，兩式相減，并化簡得an2an1(n2)bn1nbn.從而(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1)因為對一切nN*，有bncn，所以cn(bnbn1)，故bn，cn.所以(n1)an1， (n2)(an1an2)，得(an2an1)，即an2an12，故an1an2(n2)又2a2a2a1，則an1an2(n1)所以數(shù)列an是等差數(shù)列三上臺階，自主選做志在沖刺名校1設等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若a35，且S1，S5，S7成等差數(shù)列，則數(shù)列an的通項公式an_.解析：設等差數(shù)列an的公差為d，因為S1，S5，S7成等差數(shù)列，所以S1S72S5，則a17a121d2(5a110