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第二章行列式 行列式是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的工具 利用它可以用來判斷一個(gè)n階矩陣是否可逆 可以導(dǎo)出一個(gè)矩陣的逆矩陣公式以及著名的克拉姆法則 這一章我們先給出二 三階行列式的定義 在此基礎(chǔ)上歸納出一般n階行列式的定義 然后討論行列式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 2 1行列式及其性質(zhì) 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上 行列式是通過解線性方程組的求解而引出的 以二元線性方程組 的求解為例 為了消去未知數(shù)x2 兩式分別乘以 定義1 2 1 式中橫寫的叫行 豎寫的叫列 其中的數(shù)稱為行列式的元素如為二階行列式的第一行第二列的元素 二階行列式的運(yùn)算規(guī)則 定義2 三階行列式有3行3列 32個(gè)元素 其右端的算式由3 個(gè)項(xiàng)組成 其中每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積 所有乘積項(xiàng)前所帶的符號(hào)為正負(fù)號(hào)各半 即各為項(xiàng) 與二階行列式相似 它可以由一個(gè)很簡(jiǎn)單的規(guī)則來說明 這就是三階行列式的對(duì)角線法則 即如下所示 實(shí)對(duì)角線上三個(gè)元素之乘積前冠以正號(hào) 虛對(duì)角線上三個(gè)元素之乘積前冠以負(fù)號(hào) 再把這些乘積加起來 就得到 2 2 式 2 3 上述三階行列式的值 也可以表示為 我們來分析一下 2 4 式 首先 2 4 式右端的三項(xiàng)是D3中第一行的三個(gè)元素分別乘一個(gè)二階行列式 而使乘的二階行列式是劃去該元素所在的行與所在的列所組成 其次 每一項(xiàng)之前都要乘以 1和j正好是的行標(biāo)和列標(biāo) 按照這一規(guī)律 我們可以用三階行列式定義出四階行列式 以此類推 我們可以給出n階行列式的定義 定義3 這種利用低階行列式逐次地給出高一階行列式的定義的方法 稱為遞歸 推 定義法 定義4 為了簡(jiǎn)化上述定義中的展開式的書寫 我們引入代數(shù)余子式

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