Jordan標準型在非齊線性常微分方程中的應(yīng)用.pdf

第15卷 第3期 湖 南 城 市 學 院 學 報 自然科學版 Vol 15 No 3 2006年9月 Journal of Hunan City University Natural Science Sept 2006 JordanJordanJordanJordan標準型在非齊線性常微分方程中的應(yīng)用 徐千里 1 2 徐水清 3 1 湖南城市學院 數(shù)學與計算科學系湖南 益陽 4130492 湖南涉外經(jīng)濟學院長沙 4102053 湖南益陽市 資陽區(qū)國基試驗學校湖南 益陽 413049 摘 要利用等價方程組Jordan標準型與常數(shù)變易公式研究了一類n階常系數(shù)非齊線性常微分方 程 cos sin xx P D ya xeb xe 得到了它的一種新的求解方法最后給出了一個詳細的實例 關(guān)鍵詞非齊線性常微分方程等價方程組基解矩陣標準型常數(shù)變易公式 中圖分類號O175 1 文獻標識碼A 文章編號1672 7304 2006 03 0034 03 考察n階常系數(shù)非齊線性常微分方程 cos sin xx P D ya xb xee 1 這 里 1 11 nn nn P DDa DaDa 是 微分多項式算子 11 n a a 和 都是任意常數(shù) a x與 b x都是連續(xù)函數(shù) 方程 1 簡單優(yōu)美有趣 顯然它滿足初值問題 解的存在惟一性定理的條件但是求常系數(shù)非齊 線性微分方程特解的常用方法待定系數(shù)法與 Laplace 變換法已經(jīng)不再適用且在常微分方程 教程中十分罕見至少這種教材很少作者只在 文 1 中 見 到 過 兩 個 例 子一 個 是 43sin x yyye777 它 有 一 個 特 解 32 cossin xxxx p yeeee 一個是 32cos x yyye 777 它 有 一 個 特 解 p y 2 cos xx ee 作者發(fā)現(xiàn)矩陣指數(shù)函數(shù) Ax e與常數(shù) 變易法在方程 1 的求解問題中起著關(guān)鍵的作用 同時能引出一系列的工作 方程 1 的這些情況 自然引起人們的興趣與 關(guān)注 本文目的是要尋找求解方程 1 的一種新的 方法 1 研究方法與預(yù)備定理 研究方程 1 有兩種思路一種思路是利用 高階線性微分方程的理論與常系數(shù)高階線性微分 方程的求解方法如常數(shù)變易法齊次化原理 算子解法等 可以得到方程 1 的特解和通解 另 一種思路就是將它化為與之等價的一階線性微分 方程組計算相應(yīng)的齊線性方程組的基解矩陣 利用常數(shù)變易法將其結(jié)果轉(zhuǎn)化到方程 1 上去 從 而獲得方程 1 的特解與通解 第二種思路比第一 種思路更加具有一般性也更為重要 因 為 矩 陣 函 數(shù) x eA是 用 矩 陣 無 窮 級 數(shù) 0 kk k A x k 8 定義的要用這個定義來計算 x eA除了 一些極個別特殊情形外是很不方便的而從實 用上看 必須要得到 x eA的一種用初等函數(shù)表達的 有限形式為此就需要從常微分方程與矩陣論中 去尋找能夠提供基解矩陣 x eA的有限形式的方 法提供基解矩陣 x eA有限形式的一些常用方法 1 Putzer方法 2 3 2 有限級數(shù)法 即待定系數(shù)法 4 5 3 Lagrange插值法 4 5 4 Jordan標準型 2 5 文獻 6 利用Putzer方法求出了 x eA的有限 形式文獻 7 利用有限級數(shù)法求出了 x eA的有限 形式 對方程 1 作了詳細的研究 給出了相應(yīng)的 兩個互不相同的求解方程 1 的新方法 本文則利 用Jordan標準型給出 x eA的有限形式從而得到 了求解方程 1 的與文獻 6 文獻 7 的方法都不 相同的一種新方法為此需要下面幾個定理 定理定理定理定理 1 1 1 1 2 5 設(shè) AA 1 n n CPJP為A的 Jordan標準型分解則 1xJx PPee A 定理定理定理定理 2 2 2 2 5 設(shè)友矩陣A 為 1221 01000 00100 00001 nnn A aaaaa 9 則 1 當A有n個不同的特征值 12 n 時 Jordan標準型J及相似變換矩陣P分別為 收稿日期2006 01 15 作者簡介徐千里 1942 男湖南益陽人副教授主要從事常微分方程動力系統(tǒng)與分支問題研究 徐千里等Jordan標準型在非齊線性常微分方程中的應(yīng)用 第 15 卷 35 1 2 n J 9 111 12 222 12 12 111 nnn n n n P 9 2 A的最小多項式m 等于A的特征多 項式 且 nn 1n2 12 m det I aa A 1nn aa 定理定理定理定理 3 3 3 3 5 n階常系數(shù)非齊線性常微分方程 的初值問題 0 1 11 1 1 0000 0 nn nn nn x ya yaya yf x y xyy xyyy 70 0 1 770 02 2 的解 p y是n階常系數(shù)非齊線性常微分方程組的 初值問題 00 0 0 TX AXf x x X xX d d 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 3 的解 XX x 的第一個分量即 1 0 0 1 0 0 p yX x AB 0 0 0 0 0 x T xxxs x Xf ss eed C AA 4 其中 12 n a aa 是任意常數(shù) f x為連續(xù)函 數(shù)A是多項式 1 1 nn a 1nn aa 的友矩陣 120 T n Xx x xxxxX x 10200 T n x xxxxx 1 0000 T n yyyX 9 7 公式 4 稱為高階常系數(shù)非齊線性微分方程 的常數(shù)變易公式 有了上述 3 個定理 就可以獲得求解方程 1 的而又不同于文獻 6 文獻 7 一種新方法 2 實例 例例例例 1 求 2 22 2 cos2sin xxxx yyyyeeee777777 5 的通解 解 因為方程 5 的特征方程是 32 22 2 1 1 所以方程 5 的余函數(shù)是 2 123 xxx c yccceee 下面來求方程 5 的一個特解 p y為此考慮 初值問題 2 000 22 2 cos2sin sin1 cos1sin1 cos1 xxxx yyyy yyy eeee 777 7770 0 1 0777 02 6 令 123 xy xy xy777 則初值問題 6 可 以化為與之等價的初值問題 12 23 2 3123 0 22 2 cos2sin 0 sin1 cos1sin1 cos1 xxxx T xx xx xxxxe XX eee 7 0 0 0 0 7 0 0 0 1 70 0 0 0 0 0 0 2 7 考慮方程組 7 的相應(yīng)的齊線性方程組 12 23 3123 22 xx xx xxxx 7 0 0 0 0 7 1 0 0 0 7 0 2 8 方程組 8 的系數(shù)矩陣是 010 001 212 A 9 現(xiàn)在要計算方程組 8 的基解矩陣 x eA因為 A是多項式 32 22F 的友矩陣A 有三個不同的特征值 12 2 1 與 3 1 由 定理 2 知A的Jordan標準型J與相似變換矩 陣P分別為 2 1 1 J 9 111 21 1 411 P 9 從而 1 11 0 33 11 1 22 111 326 P 9 由定理 1得到方程組 8 的基解矩陣為 1xJx PPee A 2 11 0 33 11100 11 21 1001 22 41100 111 326 x x x e e e 9 9 9 2 2 2 11 0 33 11 21 22 4 111 326 xxx xxx xxx eee eee eee 9 9 湖 南 城 市 學 院 學 報自然科學版 2006年第3期 36 22 22 22 1111111 3322326 2111211 3322326 4111411 3322326 xxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx eeeeeeee eeeeeeee eeeeeeee 9 由常數(shù)變易公式 4 初值問題 6 的解 p y是 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 x xxs p yX xXee C AA 22 1 0 0 2 cos2sin 3 T ssssxx seeeedee 9 2 11111 sin1 cos1sin1 32232 xxxxx eeeee 2 0 1111 cos1 6326 x xxsxsxs eeee 9 C 22 11 2 cos2sin cos1 33 ssssxx seeee dee 9 22 0 1312 sin1 3263 x xxxxs eeee C 23 00 11 sincos 33 xx xxxssxs esedeeede CC 222 0 112 sin 263 x xsxsxsxs ee deee C 22 1111 cos cos1 3333 xssxxx edeeee 2 3112 sin1sin sin1 2633 xxxxxx eeeeee 222 0 2211 coscos1cos 3333 x xxxxssx seeeeeede C 22 0 11 sin1 cos 26 x xxxsxss eeeede C 22 0 214 cos1 sin 333 x xxxxsxx eeeeede C 22 0 1111 cos cos1 3333 x xssxxx seeedeee C 2 3112 sin1sin sin1 2633 xxxxxx eeeeee 222 22111 coscos1 sin1 33326 xsxxxx eeeeee 22 cos1sin 2 sin1 xxxxxx eeeeee 222 21 2cos2cos1 cos1 33 xxxxxx eeeeee 222 1444 sin sin1coscos1 3333 xxxxxxx eeeeeee 22222 1122 2 3333 xxxxxxx eeeeeee 22 14131 cos1 33326 xxxxxx eeeeee 22 2111 2 3326 xxxxxxx eeeeeee 2222 424 sin1 2 cos 333 xxxxxx eeeeee 11 sinsin 33 xxxxxx eeeeee 所以方程 5 的通解為 2 123 sin xxxxx cp yyyccceeeee 參考文獻 1 Roberts C EOrdinary differential equations M New York Prentice Hall inc1979 196 201 380 2 王高雄 周之銘 朱思銘常微分方程 M 第2版北京 高 等教育出版社 1991 207 235 3 都長青 焦寶聰 焦炳照常微分方程 M 第2版北京 首 都師范大學出版社 2001 222 232 4 楊克劭 包學游矩陣分析 M 哈爾濱 哈爾濱工業(yè)大學出 版社 1995 187 214 5 黃有度 狄成恩 朱士信矩陣論及其應(yīng)用 M 合肥 中國 科學技術(shù)大學出版社 1995 136 158 168 179 6 徐千里 湯灝Puter方法在常系數(shù)非齊線性常微分方程中的 應(yīng)用 J 湖南城市學院學報 2003 24 6 49 53 7 徐千里 徐水清Langrase插值法在一類非齊線性常微分方 程的應(yīng)用 J 湖南城市學院學報 自然科學版 2005 14 4 34 36 Application ofApplication ofApplication ofApplication of JordanJordanJordanJordan Canonical Form to Nonhomogeneous Canonical Form to Nonhomogeneous Canonical Form to Nonhomogeneous Canonical Form to Nonhomogeneous Linear Ordinary Differential Equations Linear Ordinary Differential Equations Linear Ordinary Differential Equations Linear Ordinary Differential Equations XU Qian li 1 2 XU Shui qing3 1 Department of Mathematics and Computer science Hunan City University Yiyang Hunan 413049 China 2 Hunan College of International Economics Changsha 410205 China 3 Guoji Campus School Ziyang District Yiyang Hunan 413049 China Abstract Abstract Abstract Abstract In this paper thenthorder nonhomogeneous linear ordinary differential equations with constant coefficints cos sin xx P D ya xb xee Where 1 11 nn nn P DDa DaDa is differential polynomial operator 1 a 2 a n a and are arbitrary constants a xand b xare continuous functions and it is investigated by using equivalent system Jordancanonical form and variation of constants formula A new method of finding its solution is obtained Finally an illustrative example is presented in detail KeKeKeKey words y words y words y words Nonhomogeneous linear ordinary differential equation equivalent system fundamental solution matrix Jordancanonical form variation of constants formula 責任編校向旭宇 Jordan標準型在非齊線性常微分方程中的應(yīng)用Jordan標準型在非齊線性常微分方程中的應(yīng)用 作者 徐千里 徐水清 XU Qian li XU Shui qing 作者單位 徐千里 XU Qian li 湖南城市學院 數(shù)學與計算科學系 湖南 益陽 413049 湖南涉外經(jīng)濟學院 長沙 410205 徐水清 XU Shui qing 湖南益陽市資陽區(qū)國基試驗學校 湖南 益陽 413049 刊名 湖南城市學院學報 自然科學版 英文刊名 JOURNAL OF HUNAN CITY UNIVERSITY NATURAL SCIENCE 年 卷 期 2006 15 3 被引用次數(shù) 0次 參考文獻 7條 參考文獻 7條 1 Roberts C E Ordinary differential