第七章 一維波動(dòng)方程的傅氏解.pptVIP

數(shù)學(xué)物理方程緒論 知之者 不如好知者 好知者 不如樂知者 做一個(gè)快樂的求知者 與大家共勉 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù) 數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系 課程的內(nèi)容 數(shù)學(xué)和物理從來是沒有分開過的 四種方法 三個(gè)方程 二個(gè)特殊函數(shù) 分離變量法 行波法 積分變換法 格林函數(shù)法 波動(dòng)方程 熱傳導(dǎo) 拉普拉斯方程 貝賽爾函數(shù) 勒讓德函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程定義 用數(shù)學(xué)方程來描述一定的物理現(xiàn)象 哈密爾頓算子 讀作del 拉普拉斯算子 高數(shù)知識(shí)回顧 緒論 常微分方程只能描述質(zhì)點(diǎn)唯一隨時(shí)間的變化而發(fā)生改變的規(guī)律 含有某未知多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程 表示物理量在空間或時(shí)間中變化規(guī)律的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程 緒論 數(shù)學(xué)物理方程的基本任務(wù) 數(shù)學(xué)物理方程是以物理學(xué) 力學(xué)及工程技術(shù)中的具體問題為研究對(duì)象的 其基本任務(wù)有以下兩個(gè)方面 1 建立描繪某類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型 并提供這些問題的求解方法 2 通過理論分析 研究客觀問題變化發(fā)展的一般規(guī)律 緒論 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題 泛定方程 表達(dá)某類物理現(xiàn)象共同規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式 偏微分方程 定解條件 伴隨一個(gè)完整的物理過程發(fā)生的具體條件 一般包括初始條件與邊界條件 泛定方程 定解條件 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題 緒論 數(shù)學(xué)物理方程的顯著特點(diǎn) 1 它廣泛地運(yùn)用數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域的成果 自然現(xiàn)象是復(fù)雜的 多樣的 數(shù)學(xué)物理方程中所研究的問題也是復(fù)雜的 多樣的 所以要應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)工具來解決性質(zhì)不同的問題 2 數(shù)學(xué)物理方程源于工程實(shí)際問題 自然現(xiàn)象本身所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律 對(duì)人們尋求解決問題的思路有著重要的啟迪 數(shù)學(xué)物理方程中的許多重要求解方法 都可以在自然現(xiàn)象中找到它們的來源 數(shù)學(xué)物理方程的三個(gè)類型 二階線性偏微分方程的一般形式 第七章一維波動(dòng)方程的傅氏解 OnedimensionwaveequationanditsFouriersolution 學(xué)習(xí)要求1 理解弦振動(dòng)方程的建立方法2 理解邊值條件的意義3 理解初值條件的意義4 理解齊次方程混合問題的傅里葉解的解法5 理解傅氏解的意義6 了解其它波動(dòng)方程的建立7 理解強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解法 一 弦振動(dòng)方程的建立 1實(shí)例 用運(yùn)動(dòng)方程描述吉它 楊琴等彈奏弦樂器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 請(qǐng)認(rèn)真觀察下列樂器的弦 思考它有什么特點(diǎn) 電吉它 阮 阮源于中亞 通過龜茲傳入我國 在漢時(shí)稱為秦琵琶 晉代阮咸擅彈此琴 阮音箱圓形 十二個(gè)音柱 四弦 用假指甲或撥片彈 可用于獨(dú)奏 重奏和歌舞伴奏或參加民族樂隊(duì)演奏 有豐富的藝術(shù)表現(xiàn)力 月琴 月琴是從阮演變而來的樂器 自晉代起就在民間流行 約從唐代起就有月琴之名 取其形圓似月 聲如琴 來陳旸 樂書 月琴 形圓項(xiàng)長 上按四弦十三品柱 象琴之徽 轉(zhuǎn)軫應(yīng)律 晉阮咸造也 箏 唐趙磷 因話錄 記述 箏 秦樂也 乃琴之流 古瑟五十弦 自黃帝令素女鼓瑟 帝悲不止 破之 自后瑟至二十五弦 秦人鼓瑟 兄弟爭之 又破為二 箏之名自此始 柳琴 最早的柳琴 構(gòu)造較簡單 只有兩條絲弦 7個(gè)用高粱稈做成的品位 音域很窄 僅有一個(gè)半八度 還不便轉(zhuǎn)調(diào) 當(dāng)時(shí)的琴體較大 演奏時(shí)有一竹筒套在食指上 用拇指捏緊 靠手腕甩動(dòng)而撥弦發(fā)音 演奏形式別具一格 后以竹套質(zhì)脆易裂 使用挖空的牛角圓筒代替 琵琶 千呼萬喚始出來 猶抱琵琶半遮面 轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲 未成曲調(diào)先有情 弦弦掩抑聲聲思 似訴平生不得志 低眉信手續(xù)續(xù)彈 說盡心中無限事 輕攏慢捻抹復(fù)挑 初為霓裳后六幺 大弦嘈嘈如急雨 小弦切切如私語 嘈嘈切切錯(cuò)雜彈 大珠小珠落玉盤 間關(guān)鶯語花底滑 幽咽泉流冰下難 別有幽愁暗恨生 此時(shí)無聲勝有聲 銀瓶乍破水漿迸 鐵騎突出刀槍鳴 曲終收撥當(dāng)心畫 四弦一聲如裂帛 二胡 一根琴桿頂天立地 兩根琴弦連接?xùn)|西 內(nèi)弦如男人 沉穩(wěn)雄厚 外弦如女人 高亢明亮 在陰陽的融合中演繹著天地的絕唱 2數(shù)學(xué)物理模型的建立 1 緊拉弦 靜止的弦是一維的 弦上任意一點(diǎn)可用一維坐標(biāo)來描寫 松馳弦 緊拉弦 2 柔軟弦 弦在其橫向可發(fā)生位置移動(dòng) 振動(dòng) 弦 柔軟的 桿 剛性的 3 彈性弦 弦有完全恢復(fù)形變的能力 不折斷 不變形 4 均勻輕弦 質(zhì)量分布均勻且重力可以忽略 弦的質(zhì)量與弦長成正比 比例常數(shù)為線質(zhì)量密度 我們有下列關(guān)于質(zhì)量與重力的表達(dá)式 5 小振動(dòng)弦 弦的振幅與弦長相比很小 3振動(dòng)方程的建立 1 建立坐標(biāo)系 2 確定分析對(duì)象 在區(qū)間 x x x 所對(duì)應(yīng)的微小段弦 3 微小段弦的受力分析 1 外力 2 左邊弦施加的彈力 3 右邊弦施加的彈力 F 單位x坐標(biāo)長度所受的力 4 根據(jù)運(yùn)動(dòng)定律建立運(yùn)動(dòng)方程 5 一級(jí)近似處理 小振動(dòng) 令 則得到弦振動(dòng)方程 通過調(diào)弦的松緊調(diào)節(jié)T 不同的弦 值不同 大弦 大 小弦 小 a是反映弦特征的物理量 f是反映彈奏強(qiáng)弱的物理量 若f 0 則有自由弦振動(dòng)方程 對(duì)于弦振動(dòng)問題來說 一般弦的特定振動(dòng)狀態(tài)還依賴于初始時(shí)刻弦的狀態(tài)和通過弦兩端所受的外界影響 1 表征某過程初始時(shí)刻狀態(tài)的條件稱為初始條件 2 表征某過程的物理量在系統(tǒng)的邊界上所滿足的物理?xiàng)l件稱為邊界條件 二 定解條件的提出 第一類邊界條件 只與函數(shù)在空間特定位置的值有關(guān) 與其導(dǎo)數(shù)無關(guān) 在邊界上直接給出了未知函數(shù)u的數(shù)值 即第二類邊界條件 速度確定 在邊界上給出了未知函數(shù)u沿的外法線方向的方向?qū)?shù) 即第三類邊界條件 位移和速度的組合 在邊界上給出了未知函數(shù)u與u沿的外法線方向的方向?qū)?shù)的線性組合的值 即 這里的都是定義在邊界上的已知函數(shù) 若 則稱相應(yīng)的邊界條件為齊次邊界條件 否則就稱為非齊次邊界條件 偏微分方程中所含有的未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù) 稱為偏微分方程的階 如果一個(gè)偏微分方程中的每一項(xiàng)關(guān)于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo)數(shù) 包括高階偏導(dǎo)數(shù) 都為0次或1次的 則稱該方程為線性偏微分方程 否則就稱之為非線性偏微分方程 如果一個(gè)函數(shù)在研究區(qū)域中具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 將它代入該方程中能使方程成為恒等式 則稱這個(gè)函數(shù)為該方程在研究區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解或古典解 初始條件與邊界條件稱為定解條件 由泛定方程與相應(yīng)的定解條件構(gòu)成的問題就稱為數(shù)學(xué)物理中的定解問題 1 由泛定方程和初始條件構(gòu)成的問題稱為初值問題或柯西 Cauchy 問題 沒有邊界條件 2 由泛定方程和邊界條件構(gòu)成的問題稱為邊值問題 沒有初始條件 3 既有初始條件 又有邊界條件的定解問題稱為混合問題 1 邊值條件 問題 齊次 2 初值條件 問題 弦振動(dòng)的邊界條件 3 混合問題 2 0預(yù)備知識(shí) 常微分方程 二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 2 0預(yù)備知識(shí) 常微分方程 特征根 1 有兩個(gè)不相等的實(shí)根 兩個(gè)線性無關(guān)的特解 得齊次方程的通解為 齊次方程 特征方程 2 0預(yù)備知識(shí) 常微分方程 2 有兩個(gè)相等的實(shí)根 齊次方程的通解為 特解為 3 有一對(duì)共軛復(fù)根 齊次方程的通解為 特征根為 特解為 2 0預(yù)備知識(shí) 常微分方程 2 0預(yù)備知識(shí) 常微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性方程 對(duì)應(yīng)齊次方程 通解結(jié)構(gòu) 二階常系數(shù)非齊次線性方程 2 0預(yù)備知識(shí) 常微分方程 問題 研究一根長為 兩端 固定的弦作微小振動(dòng)的現(xiàn)象 給定初始位移和初始速度后 在無外力作用的情況下 求弦上任意一點(diǎn)處的位移 即求解下列定解問題式中 均為已知函數(shù) 第二節(jié) 齊次方程混合問題的傅里葉解 這個(gè)定解問題的特點(diǎn)是 泛定方程是線性齊次的 邊界條件也是齊次的 求解這樣的問題 可以運(yùn)用疊加原理 如果能夠找到泛定方程足夠個(gè)數(shù)的特解 則可以利用它們的線性組合去求定解問題的解 從物理學(xué)可知 樂器發(fā)出的聲音可以分解成各種不同頻率的單音 每個(gè)單音在振動(dòng)時(shí)形成的波形是正弦曲線 其振幅依賴于時(shí)間t 也就是說每個(gè)單音總可以表示成正弦形式 即 這種形式的特點(diǎn)是 二元函數(shù)是只含變量x的一元函數(shù)與只含變量t的一元函數(shù)的乘積 即它具有變量分離的形式 弦的振動(dòng)也是波 它也應(yīng)該具有上述的特點(diǎn) 分離變量法的基本思想 把數(shù)學(xué)物理方程定解問題中未知的多元函數(shù)分解成若干個(gè)一元函數(shù)的乘積 從而把求解偏微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為求解若干個(gè)常微分方程定解問題 令 代入泛定方程得 重新組合變量得 兩邊相等顯然是不可能的 除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù) 把這個(gè)常數(shù)記作 為一常數(shù) 得到 聯(lián)立坐標(biāo)泛定方程 這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程 且邊界條件也同樣進(jìn)行分離 若對(duì)于的某些值 常微分方程定解問題的非平凡解存在 則稱這種的取值為該問題的固有值 或特征值 同時(shí)稱相應(yīng)的非平凡解為該問題的固有函數(shù) 或特征函數(shù) 這樣的問題通常叫做施圖姆 劉維爾 Sturm Liouville 問題 或固有值問題 二階常系數(shù)微分方程 特征方程 根的三種情況 得常系數(shù)微分方程的通解 當(dāng) 0時(shí) 二階常系數(shù)微分方程的解為 代入邊值條件得 解得 這時(shí)振動(dòng)方程無非平凡解 你讓它自由 它居然不動(dòng) 當(dāng) 0時(shí) 二階常系數(shù)微分方程的解為 代入邊值條件得 解得 這時(shí)振動(dòng)方程無非平凡解 它居然還不動(dòng) 當(dāng) 0時(shí) 二階常系數(shù)微分方程的解為 代入邊值條件得 這樣我們就求得了方程的特征值 果然只能取特定的值 相應(yīng)的特征函數(shù)為 對(duì)應(yīng)每一特征值 n 方程 的解為 于是我們得到滿足方程邊界條件的可分離變量的一系列特解 式中 是任意常數(shù) 由于初始條件式中的與是任意給定的 一般情況下 任何一個(gè)特解都不會(huì)滿足初始條件式 但由于泛定方程是線性齊次的 根據(jù)疊加原理 級(jí)數(shù)仍是泛定方程的解 并且同時(shí)滿足邊界條件 為了選取 使得上式也滿足初始條件 在上式及其關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)式中 令 由初始條件得 方程右邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù) 這就提示我們把左邊的展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù) 然后比較傅里葉系數(shù) 得 傅里葉級(jí)數(shù) 補(bǔ)充 傅里葉級(jí)數(shù) 1 設(shè)是周期為的周期函數(shù) 則其中 2 設(shè)是周期為的周期函數(shù) 則其中 3 當(dāng)為奇函數(shù)時(shí) 為奇函數(shù) 為偶函數(shù) 正弦級(jí)數(shù)為 4 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí) 為偶函數(shù) 為奇函數(shù) 余弦級(jí)數(shù)為 和分別是函數(shù) 在區(qū)間上的傅里葉正弦級(jí)數(shù)展開式的系數(shù) 即 注 該解稱為古典解 在求解中我們假設(shè)無窮級(jí)數(shù)是收斂的 如上的方法稱為分離變量法 是齊次偏微分方程求解的一個(gè)有效方法 下面對(duì)該方法的步驟進(jìn)行總結(jié) 分離變量法求解的基本步驟 第一步 分離變量 第二步 求本征值和本征函數(shù)X x 第三步 求T t 的表達(dá)式 第四步 利用初始條件求得定解問題的解 分離變量流程圖 固有值 特征值 問題 二 傅里葉解的物理意義 取級(jí)數(shù)的一般項(xiàng) 并作如下變形 式中 最大振幅相位頻率 表示這樣一個(gè)振動(dòng)波 在所考察的弦上各點(diǎn)以同樣的頻率作簡諧振動(dòng) 各點(diǎn)的初相相同 其振幅與點(diǎn)的位置有關(guān) 此振動(dòng)波在任一時(shí)刻的波形都是一條正弦曲線 初相與最大振幅由初始條件確定 頻率與初值無關(guān) 這種振動(dòng)波還有一個(gè)特點(diǎn) 即在范圍內(nèi)有個(gè)點(diǎn)在整個(gè)過程中始終保持不動(dòng) 即在的那些點(diǎn) 這樣的點(diǎn)在物理上稱為的節(jié)點(diǎn) 這說明的振動(dòng)是在上的分段振動(dòng) 人們把這種包含節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)波稱為駐波 另外 駐波還在另外的一些點(diǎn)處振幅達(dá)到最大值 這樣的點(diǎn)叫做波腹 是一系列駐波 它們的頻率 相位和振幅都隨n而異 因此 可以說原定解問題的級(jí)數(shù)解是由一系列頻率不同 成倍增加 相位不同 振幅不同的駐波疊加而成的 每一個(gè)駐波的波形由固有函數(shù)和初值確定 頻率則由固有值確定 與初值無關(guān) 因此 分離變量法也稱為駐波法 兩端自由的均勻桿的自由縱振動(dòng) 例題1 例題2 磁致伸縮換能器 魚群探測(cè)換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿 它作縱振動(dòng) 研究兩端自由棒的自由縱振動(dòng) 即定解問題 解 設(shè)并代入方程得 分析 方程與邊界條件均為齊次 用分離變量法 根據(jù)分離變量法流程 分析如下 現(xiàn)用遍除各項(xiàng)即得 經(jīng)討論 當(dāng)時(shí)有解 于是得固有值問題 當(dāng)時(shí)有解 由定解條件得任意 于是有固有值和固有函數(shù) 現(xiàn)確定積分常數(shù) 由條件知 由第一式可得 而只有 因此第二式變?yōu)?于是有固有值和固有函數(shù) 現(xiàn)在需要求解 綜上所述 該問題的固有值和固有函數(shù)分別為 當(dāng)時(shí)有解 當(dāng)時(shí)