高考數(shù)學(xué)考前押題 拋物線(1).docVIP

2014高考數(shù)學(xué)考前押題：拋物線拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1. o為坐標(biāo)原點(diǎn),f為拋物線c:y2=4x的焦點(diǎn),p為c上一點(diǎn),若|pf|=4,則pof的面積為()(a)2 (b)2 (c)2 (d)4解析:設(shè)p(xp,yp)(yp0)由拋物線定義知,xp+=4,xp=3,yp=2,因此spof=2=2.故選c.答案:c2.已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)o,并且經(jīng)過點(diǎn)m(2,y0).若點(diǎn)m到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則|om|等于()(a)2 (b)2(c)4 (d)2解析:由題意設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則m到焦點(diǎn)的距離為xm+=2+=3,p=2,y2=4x.=42,|om|=2.故選b.答案:b3.已知f是拋物線y2=x的焦點(diǎn),a,b是該拋物線上的兩點(diǎn),|af|+|bf|=3,則線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()(a) (b)1 (c) (d)解析:|af|+|bf|=xa+xb+=3,xa+xb=.線段ab的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為=.故選c.答案:c4.拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()(a)1 (b)2 (c)4 (d)8解析:拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選c.答案:c5.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)p到該拋物線焦點(diǎn)的距離是()(a)4(b)6(c)8(d)12解析:如圖所示,拋物線的焦點(diǎn)為f(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,由拋物線的定義知:|pf|=|pe|=4+2=6.故選b.答案:b6.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=;準(zhǔn)線方程為.解析:因?yàn)閽佄锞€方程為y2=2px,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,又焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=2,準(zhǔn)線方程為x=-1.答案:2x=-17.如圖所示是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2 m,水面寬4 m.水位下降1 m后,水面寬m.解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0),則a(2,-2),將其坐標(biāo)代入x2=-2py,得p=1.x2=-2y.當(dāng)水面下降1 m,得d(x0,-3)(x00),將其坐標(biāo)代入x2=-2y得=6,x0=,水面寬|cd|=2 m.答案:28.動(dòng)點(diǎn)p到點(diǎn)f(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,則點(diǎn)p的軌跡方程是.解析:由拋物線的定義知,點(diǎn)p的軌跡是以f為焦點(diǎn),定直線x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.答案:y2=8x9.已知過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)f的直線交該拋物線于a、b兩點(diǎn),|af|=2,則|bf|=.解析:設(shè)a(x0,y0),由拋物線定義知x0+1=2,x0=1,則直線abx軸,|bf|=|af|=2.答案:2拋物線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用1.已知拋物線y2=2px(p0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn),若線段ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()(a)x=1(b)x=-1(c)x=2(d)x=-2解析:y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則y1+y2=2p,=p=2,拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選b.答案:b2.設(shè)m(x0,y0)為拋物線c:x2=8y上一點(diǎn),f為拋物線c的焦點(diǎn),以f為圓心、|fm|為半徑的圓和拋物線c的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是()(a)(0,2) (b)0,2(c)(2,+)(d)2,+)解析:x2=8y,焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.由拋物線的定義知|mf|=y0+2.以f為圓心、|fm|為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以f為圓心、|fm|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交,又圓心f到準(zhǔn)線的距離為4,故42.故選c.答案:c3.在拋物線y=x2+ax-5(a0)上取橫坐標(biāo)為x1=-4,x2=2的兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓5x2+5y2=36相切,則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()(a)(-2,-9)(b)(0,-5)(c)(2,-9) (d)(1,-6)解析:當(dāng)x1=-4時(shí),y1=11-4a;當(dāng)x2=2時(shí),y2=2a-1,所以割線的斜率k=a-2.設(shè)直線與拋物線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,由y=2x+a得切線斜率為2x0+a,2x0+a=a-2,x0=-1.直線與拋物線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-4),切線方程為y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圓5x2+5y2=36的圓心到切線的距離d=.由題意得=,即(a-2)2+1=5.又a0,a=4,此時(shí)y=x2+4x-5=(x+2)2-9,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-9).故選a.答案:a4.已知拋物線c:y2=2px(p0)的準(zhǔn)線為l,過m(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)a,與c的一個(gè)交點(diǎn)為b,若=,則p=.解析:如圖所示,由ab的斜率為,知=60,又=,m為ab的中點(diǎn).過點(diǎn)b作bp垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)p,則abp=60,bap=30.|bp|=|ab|=|bm|,m為焦點(diǎn),即=1,p=2.答案:2 直線與拋物線位置關(guān)系1.)已知點(diǎn)a(2,0),拋物線c:x2=4y的焦點(diǎn)為f,射線fa與拋物線c相交于點(diǎn)m,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)n,則|fm|mn|等于()(a)2 (b)12 (c)1 (d)13解析:過點(diǎn)m作mm垂直于準(zhǔn)線y=-1于點(diǎn)m,則由拋物線的定義知|mm|=|fm|,所以=sinmnm,而mnm為直線fa的傾斜角的補(bǔ)角.因?yàn)橹本€fa過點(diǎn)a(2,0)、f(0,1),所以kfa=-=tan ,所以sin =,所以sinmnm=,即|fm|mn|=1.故選c.答案:c2.設(shè)拋物線c:y2=4x的焦點(diǎn)為f,直線l過f且與c交于a,b兩點(diǎn).若|af|=3|bf|,則l的方程為()(a)y=x-1或y=-x+1(b)y=(x-1)或y=-(x-1)(c)y=(x-1)或y=-(x-1)(d)y=(x-1)或y=-(x-1)解析:設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),又f(1,0),則=(1-x1,-y1), =(x2-1,y2),由題意知=3,因此即又由a、b均在拋物線上知解得直線l的斜率為=,因此直線l的方程為y=(x-1)或y=-(x-1).故選c.答案:c3已知拋物線c:y2=8x與點(diǎn)m(-2,2),過c的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與c交于a、b兩點(diǎn),若=0,則k等于()(a)(b) (c) (d)2解析:法一設(shè)直線方程為y=k(x-2),a(x1,y1)、b(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,x1+x2=,x1x2=4,由=0,得(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+k(x1-2)-2k(x2-2)-2=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故選d.法二如圖所示,設(shè)f為焦點(diǎn),取ab中點(diǎn)p,過a、b分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為g、h,連接mf,mp,由=0,知mamb,則|mp|=|ab|=(|ag|+|bh|),所以mp為直角梯形bhga的中位線,所以mpagbh,所以gam=amp=map,又|ag|=|af|,|am|=|am|,所以amgamf,所以afm=agm=90,則mfab,所以k=-=2.答案:d4.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線為l,p為拋物線上一點(diǎn),pal,a為垂足,如果直線af的斜率為-,那么|pf|等于()(a)4(b)8 (c)8 (d)16解析:如圖所示,直線af的方程為y=-(x-2),與準(zhǔn)線方程x=-2聯(lián)立得a(-2,4).設(shè)p(x0,4),代入拋物線y2=8x,得8x0=48,x0=6,|pf|=x0+2=8,選b.答案:b5.(2009年大綱全國卷,文11)已知直線y=k(x+2)(k0)與拋物線c:y2=8x相交于a、b兩點(diǎn),f為c的焦點(diǎn),若|fa|=2|fb|,則k等于()(a)(b) (c)(d)解析:將y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xa,xb,則xa+xb=-4,xaxb=4.又|fa|=xa+2,|fb|=xb+2,|fa|=2|fb|,2xb+4=xa+2.xa=2xb+2.將代入得xb=-2,xa=-4+2=-2.故xaxb=4.解之得k2=.而k0,k=,滿足0.故選d.答案:d6.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)f的直線交該拋物線于a,b兩點(diǎn).若|af|=3,則|bf|=.解析:由題意知,拋物線的焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(1,0),又|af|=3,由拋物線定義知,點(diǎn)a到準(zhǔn)線x=-1的距離為3點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為2.將x=2代入y2=4x得y2=8,由圖知點(diǎn)a的縱坐標(biāo)y=2,a(2,2),直線af的方程為y=2(x-1).由解得或由圖知,點(diǎn)b的坐標(biāo)為,|bf|=-(-1)= .答案:7.已知拋物線c的頂點(diǎn)為o(0,0),焦點(diǎn)為f(0,1).(1)求拋物線c的方程;(2)過點(diǎn)f作直線交拋物線c于a,b兩點(diǎn),若直線ao,bo分別交直線l:y=x-2于m,n兩點(diǎn),求|mn|的最小值.解:(1)由題意可設(shè)拋物線c的方程為x2=2py(p0),則=1,所以拋物線c的方程為x2=4y.(2)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),直線ab的方程為y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.從而|x1-x2|=4.由解得點(diǎn)m的橫坐標(biāo)xm=.同理,點(diǎn)n的橫坐標(biāo)xn=.所以|mn|=|xm-xn|=8=.令4k-3=t,t0,則k=.當(dāng)t0時(shí),|mn|=22.當(dāng)t0).點(diǎn)m(x0,y0)在拋物線c2上,過m作c1的切線,切點(diǎn)為a,b(m為原點(diǎn)o時(shí),a,b重合于o).當(dāng)x0=1-時(shí),切線ma的斜率為-.(1)求p的值;(2)當(dāng)m在c2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段ab中點(diǎn)n的軌跡方程(a,b重合于o時(shí),中點(diǎn)為o).解:(1)因?yàn)閽佄锞€c1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y=,且切線ma的斜率為-,所以a點(diǎn)坐標(biāo)為.故切線ma的方程為y=-(x+1)+.因?yàn)辄c(diǎn)m(1-y0)在切線ma及拋物線c2上,于是y0=-(2-)+=-, y0=-=-. 由得p=2.(2)設(shè)n(x,y),a,b,x1x2,由n為線段ab中點(diǎn)知x=, y=. 切線ma,mb的方程為y=(x-x1)+ , y=(x-x2)+ . 由得ma,mb的交點(diǎn)m(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=,y0=.因?yàn)辄c(diǎn)m(x0,y0)在c2上,即=-4y0,所以x1x2=-. 由得x2=y,x0.當(dāng)x1=x2時(shí),a,b重合于原點(diǎn)o,ab中點(diǎn)n為o,坐標(biāo)滿足x2=y.因此ab中點(diǎn)n的軌跡方程為x2=y.9.已知拋物線c頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)f(0,c)(c0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設(shè)p為直線l上的點(diǎn),過點(diǎn)p作拋物線c的兩條切線pa,pb,其中a,b為切點(diǎn).(1)求拋物線c的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)p(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線ab的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)p在直線l上移動(dòng)時(shí),求|af|bf|的最小值.解:(1)拋物線c的焦點(diǎn)f(0,c)(c0)到直線l:x-y-2=0的距離為,=,得c=1,f(0,1),即拋物線c的方程為x2=4y.(2)設(shè)切點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),由x2=4y得y=x,切線pa:y-y1=x1(x-x1),有y=x1x-+y1,而=4y1,即切線pa:y=x1x-y1,同理可得切線pb:y=x2x-y2.兩切線均過定點(diǎn)p(x0,y0),y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,由此兩式知點(diǎn)a,b均在直線y0=xx0-y上,直線ab的方程為y0=xx0-y,即y=x0x-y0.(3)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,則|af|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x2-2y,y1y2=y2,|af|bf|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=22+,當(dāng)y=-,x=時(shí),即p時(shí),|af|bf|取得最小值.10.如圖,等邊三角形oab的邊長為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線e:x2=2py(p0)上.(1)求拋物線e的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線e相切于點(diǎn)p,與直線y=-1相交于點(diǎn)q,證明以pq為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).(1)解:依題意,|ob|=8,boy=30.設(shè)b(x,y),則x=|ob|sin 30=4,y=|ob|cos 30=12.因?yàn)辄c(diǎn)b(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p12,解得p=2.故拋物線e的方程為x2=4y.(2)證明:由(1)知y=x2,y=x.設(shè)p(x0,y0),則x00,y0=,且l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以q為.設(shè)m(0,y1),令=0對(duì)滿足y0=(x00)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1), =,由=0,得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式對(duì)滿足y0=(x00)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以pq為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)m(0,1).11.如圖所示,在直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)p到拋物線c:y2=2px(p0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)m(t,1)是c上的定點(diǎn),a,b是c上的兩動(dòng)點(diǎn),且線段ab被直線om平分.(1)求p,t的值;(2)求abp面積的最大值.解:(1)由題意知得(2)由(1)知m(1,1),直線om的方程為y=x,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),線段ab的中點(diǎn)為q(m,m).由題意知,設(shè)直線ab的斜率為k(k0).由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k2m=1,所以直線ab的方程為y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.從而|ab|=|y1-y2|=.設(shè)點(diǎn)p到直線ab的距離為d,則d=.設(shè)abp的面積為s,則s=|ab|d=|1-2(m-m2)|.由=4m-4m20,得0m1.令u=,0u,則s=u(1-2u2).設(shè)s(u)=u(1-2u2),00)過點(diǎn)a(1,-2).(1)求拋物線c的方程,并求其準(zhǔn)線方程.(2)是否存在平行于oa(o為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線c有公共點(diǎn),且直線oa與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.解:(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的拋物線c的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因?yàn)橹本€l與拋物線c有公共點(diǎn),所以=4+8t0,解得t-.另一方面,由直線oa與l的距離d=可得=,解得t=1.因?yàn)?1,1,所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用1.已知f是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),p是圓x2+y2-8x-8y+31=0上的動(dòng)點(diǎn),則|fp|的最小值是()(a)3(b)4(c)5(d)6解析:圓x2+y2-8x-8y+31=0的圓心c坐標(biāo)為(4,4),半徑為1,|pf|cf|-1,當(dāng)p、c、f三點(diǎn)共線時(shí),|pf|取到最小值,由y2=4x知f(1,0),|pf|min=-1=4.故選b.答案:b2.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)f與雙曲線-=1的右焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為k,點(diǎn)a在拋物線上且|ak|=|af|,則a點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()(a)2 (b)3(c)2 (d)4解析:由-=1得c2=4+5=9.雙曲線右焦點(diǎn)為(3,0),拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),拋物線方程為y2=12x.設(shè)d為點(diǎn)a(x0,y0)到準(zhǔn)線的距離,由拋物線定義知d=|af|=x0+3,由題意得|y0|=x0+3,代入拋物線方程得(x0+3)2=12x0,解得x0=3.故選b.答案:b 拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用1.在直角坐標(biāo)系xoy中,有一定點(diǎn)a(2,1),若線段oa的垂直平分線過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),則該拋物線的準(zhǔn)線方程是.解析:線段oa的斜率k=,中點(diǎn)坐標(biāo)為.所以線段oa的垂直平分線的方程是y-=-2(x-1),令y=0得到x=.即拋物線的焦點(diǎn)為.所以該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-.答案:x=-2.已知點(diǎn)a(4,4)在拋物線y2=px(p0)上,該拋物線的焦點(diǎn)為f,過點(diǎn)a作直線l:x=-的垂線,垂足為m,則maf的平分線所在直線的方程為.解析:點(diǎn)a在拋物線上,所以16=4p,所以p=4,所以拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,垂足m(-1,4),由拋物線的定義得|af|=|am|,所以maf的平分線所在的直線就是線段mf的垂直平分線,kmf=-2,所以maf的平分線所在的直線方程為y-4=(x-4),即x-2y+4=0.答案:x-2y+4=0 直線與拋物線的位置關(guān)系1.已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動(dòng)弦ab,則ab中點(diǎn)到x軸的最短距離為()(a)(b)(c)1 (d)2解析:易知,ab的斜率存在,設(shè)ab方程為y=kx+b.由得x2-4kx-4b=0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)根,x1+x2=4k,x1x2=-4b,又|ab|=6,=6,化簡得b=-k2,設(shè)ab中點(diǎn)為m(x0,y0),則y0=+b=2k2+-k2=k2+=(k2+1)+ -12-1=2.當(dāng)且僅當(dāng)k2+1=,即k2=時(shí),y0取到最小值2.故選d.答案:d2.)已知e(2,2)是拋物線c:y2=2px上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線c交于a,b兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)e),直線ea,eb分別交直線x=-2于點(diǎn)m,n.(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)已知o為原點(diǎn),求證:mon為定值.解:(1)點(diǎn)e(2,2)在拋物線y2=2px上,4=2p2,p=1.拋物線方程為y2=2x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)顯然,直線l斜率存在,且不為0.設(shè)l斜率為k,則l方程為y=k(x-2).由得ky2-2y-4k