關(guān)于幾類(lèi)特殊矩陣特征值的討論.doc

精品文檔 1 歡迎下載 學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) BachelorBachelor s s ThesisThesis 論文題目 關(guān)于幾類(lèi)特殊矩陣特征值的討論 作者姓名 學(xué)號(hào) 2008111010243 所在院系數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 學(xué)科專(zhuān)業(yè)名稱(chēng)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 導(dǎo)師及職稱(chēng)傅朝金 教授 論文答辯時(shí)間2012 年 5 月 5 日 編號(hào) 2012110243 研究類(lèi)型理論研究 分類(lèi)號(hào) O151 21 精品文檔 2 歡迎下載 學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 誠(chéng)信承諾書(shū) 中文題目 關(guān)于幾類(lèi)特殊矩陣特征值的討論 外文題目 Discussion on some special classes of matrix eigenvalue 學(xué)生姓名學(xué)生學(xué)號(hào) 2008111010243 院系專(zhuān)業(yè) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生班級(jí)0802 班 學(xué)學(xué) 生生 承承 諾諾 我承諾在學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 恪守學(xué) 術(shù)規(guī)范 本人學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 內(nèi)容除特別注明和引用外 均為本 人觀點(diǎn) 不存在剽竊 抄襲他人學(xué)術(shù)成果 偽造 篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況 如有違規(guī)行為 我愿承擔(dān)一切責(zé)任 接受學(xué)校的處理 學(xué)生 簽名 年 月 日 精品文檔 3 歡迎下載 指導(dǎo)教師承諾指導(dǎo)教師承諾 我承諾在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定 恪守學(xué)術(shù)道德規(guī)范 經(jīng)過(guò)本人核查 該生學(xué)士學(xué)位論文 設(shè)計(jì) 內(nèi)容除 特別注明和引用外 均為該生本人觀點(diǎn) 不存在剽竊 抄襲他人學(xué)術(shù)成 果 偽造 篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象 指導(dǎo)教師 簽名 年 月 日 目錄目錄 1 引言 1 2 矩陣的特征值與特征向量的定義及其性質(zhì) 1 3 特值與特征征向量的求法 2 3 1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 2 3 2 已知矩陣 求與之相關(guān)的矩陣的特征值 2A 4 與矩陣相關(guān)矩陣的特征值 2A 5 矩陣與的特征值的關(guān)系 5ABBA 6 矩陣的 KRONECKER 積的特征值 7 7 行 列 轉(zhuǎn)置矩陣的特征值 8 7 1 定義和命題 8 7 2 主要結(jié)果 9 精品文檔 4 歡迎下載 8 矩陣的特征值與矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣的特征值之間的關(guān)系 10AAA 8 1 當(dāng)時(shí) 矩陣的特征值的特點(diǎn) 10 A Af B A 8 1 1 酉矩陣的特征值 11 8 1 2 正交矩陣的特征值 11 8 2 當(dāng)時(shí) 矩陣的特征值的特點(diǎn) 13 Af A A 關(guān)于幾類(lèi)特殊矩陣特征值的討論 湯 指導(dǎo)教師 傅朝金 教授 湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 中國(guó) 黃石 435002 摘要 物理 力學(xué) 工程技術(shù)中的許多問(wèn)題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值與特征 向量問(wèn)題 矩陣的特征值概念以及求矩陣的特征值是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一 這個(gè)知識(shí)點(diǎn)也是考研的熱點(diǎn) 本文將與幾類(lèi)特殊矩陣的特征值有關(guān)的結(jié)論總結(jié) 出來(lái)并加以證明 使得某些在平時(shí)學(xué)習(xí)中零散的結(jié)論綜合在一起 發(fā)現(xiàn)這些結(jié) 論的內(nèi)在規(guī)律 有效地利用這些規(guī)律 就可以方便的求出矩陣的特征值 關(guān)鍵詞 矩陣 特征值 特征向量 中圖分類(lèi)號(hào) O151 21 Discussion on some special classes of matrix eigenvalue TANG Yuting Tutor FU Chaojin College of Mathematics and Statistics Hubei Normal 精品文檔 5 歡迎下載 University Huangshi Hubei 435002 AbstractAbstract Many problems in the physics mechanics engineering mathematics are attributed to the matrix the eigenvalues and eigenvectors The concept of the eigenvalue of matrix and how to calculate the matrix eigenvalue is an important part of Higher Algebra and this knowledge is also the hot spots of Entrance Examination This article summes up and proves the conclusions of some special classes of matrix characteristics making some conclusions that are scattered in the normal learning integrated and finding the inherent law of these conclusions If you can use these laws effectively you can easily calculate the eigenvalues of the matrix Keywords Keywords matrix eigenvalue eigenvectors CLCCLC number number O151 21 精品文檔 1 歡迎下載 關(guān)于幾類(lèi)特殊矩陣的特征值的結(jié)論 1 引言 在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的過(guò)程中 矩陣與特征值是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn) 而這個(gè)知識(shí)點(diǎn)也 是考研的熱點(diǎn) 所以本文將與幾類(lèi)特殊矩陣的特征值有關(guān)的結(jié)論總結(jié)出來(lái)并加以證明 使得某些在平時(shí)學(xué)習(xí)中零散的結(jié)論綜合在一起 發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律 有效地利 用這些規(guī)律 就可以方便的求出矩陣的特征值 為了方便討論 規(guī)定 表示矩陣的逆矩陣 表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣 1 A A A A 表示矩陣的行列式 表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣 表示階單位矩陣 AAA AEn 2 矩陣的特征值與特征向量的定義及其性質(zhì) 定義 1 設(shè)是階方陣 如果對(duì)于數(shù)域中的一個(gè)數(shù) 存在一個(gè)維非零向量AnPln 使得 那么稱(chēng)為的一個(gè)特征值 為矩陣的屬于特征值的一個(gè)XAXXl lAXAl 特征向量 性質(zhì) 1 若為矩陣屬于特征值的特征向量 當(dāng)不全為零時(shí) 12 XXAl 12 k k 仍是矩陣的屬于特征值的特征向量 1122 k Xk X Al 性質(zhì) 2 若是矩陣的互不相同的特征值 其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是 12 m lll A 則線(xiàn)性無(wú)關(guān) 即屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān) 12 XX m X 12 m XXX 性質(zhì) 3 若矩陣的個(gè)特征值為 則 ij n n Aa n 12 n lll 112212nnn aaalll 12n Al ll 精品文檔 2 歡迎下載 3 特征值與特征向量的求法 3 1 求數(shù)字方陣的特征值與特征向量 對(duì)于一般的數(shù)字方陣可以按以下步驟求矩陣的特征值與特征向量 1 計(jì)算特征多項(xiàng)式 fAEA l l 2 計(jì)算特征方程在數(shù)域中的全部根 它們就是矩陣0EAl P 12 m lll 的特征值 A 3 對(duì)于每一個(gè)特征值 求出齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 i l 0 iE A Xl 則是矩陣的屬于特征值的一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 12 t iiir XXX 12 t iiir XXX A i l 則矩陣的屬于特征值的所有特征向量是 其中A i l 1122 tt iiiiirir k Xk Xk X 是數(shù)域中任意常數(shù) 且不全為零 12 t iiir kkk P 12 t iiir kkk 1 2 im 3 2 已知矩陣 求與之相關(guān)的矩陣的特征值A(chǔ) 已知矩陣 求與之相關(guān)的矩陣的特征值 可以運(yùn)用后面要敘述的結(jié)論進(jìn)行方便A 的求解 而特征向量可直接按 3 1 中的 3 求解 4 與矩陣相關(guān)矩陣的特征值A(chǔ) 命題 1 設(shè)是階方陣的特征值 是屬于特征值的特征向量 則有l(wèi)nAXl 1 是 是常數(shù) 的特征值 且是的屬于的特征向量 klkAkXkAkl 2 是的特征值 且是的屬于的特征向量 2 l 2 AX 2 A 2 l 3 是的特征值 且是的屬于的特征向量 k l k AX k A k l 4 是的特征值 l A 5 當(dāng)可逆時(shí) 是的特征值 且是的屬于的特征向量 A 1 l 1 A X 1 A 1 l 6 當(dāng)可逆時(shí) 是的特征值 且是的屬于的特征向量 A 1 Al AX A 1 Al 7 設(shè) 則是的特征值 且是 1 110 mm mm f xa xaxa xa fl f AX 精品文檔 3 歡迎下載 的屬于的特征向量 f A fl 證明 1 因?yàn)?所以 故是AXXl kA Xk AXk XkXll kl 是常數(shù) 的特征值 且是的屬于的特征向量 kAkXkAkl 2 因?yàn)?所以 故是的特征AXXl 22 A XA AXA XAXXlll 2 l 2 A 值 且是的屬于的特征向量 X 2 A 2 l 3 用第一數(shù)學(xué)歸納法證明 對(duì)進(jìn)行歸納證明 方法同 2 k 4 因?yàn)?所以與的特征值相同 EAEAEAlll A A 5 因?yàn)榭赡?所以 而 即A0l 111 XA AXAAXAXl 所以是的特征值 且是的屬于的特征向量 11 A XXl 1 l 1 A X 1 A 1 l 6 因?yàn)?所以由 1 可知 是的特征值 且是的屬于 1 AA A 1 Al AX A 的特征向量 1 Al 7 因?yàn)?所以 AXXl 1 110 mm mm f A Xa AaAa Aa E X 11 110110 mmmm mmmm f A Xa A XaAXa AXa EXaaaaXlll 故 即是的特征值 且是的屬于的特征 f A XfXl fl f AX f A fl 向量 命題 2 設(shè)是階方陣的個(gè)特征值 設(shè) 12 n lll nAn 1 110 mm mm f xa xaxa xa 則是的所有特征值 12 n ffflll f A 證明 用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)的階數(shù)進(jìn)行歸納證明 存在可逆矩陣 使得nT 1 21 n TAT l l l 當(dāng)時(shí) 則存在可逆矩陣及 使 1n 1 Al 1E 1 1E 1 1 EAEl 精品文檔 4 歡迎下載 假設(shè)當(dāng)階數(shù)為時(shí) 結(jié)論成立 1n 那么當(dāng)階數(shù)為時(shí) 取的特征值及的一個(gè)特征向量 將擴(kuò)充為的nA 1 l 1 l 1 X 1 X n P 一組基 令 則可逆 且使得 此 12 n XXX 112 n TXXX 1 T 1 T 11 11 1 0 TAT A l 處 1 A 為階矩陣 11nn 由歸納假設(shè)知 存在可逆矩陣 使得 2 T 2 31 21 2 n TAT l l l 其中是的個(gè)特征值 23 n lll 1 A1n 令 則 那么 3 2 10 0 T T 1 1 3 2 10 0 T T ll 1111 11 3113 122212 10 10 0000 TTAT T ATTTAT l l l 1 1 211 31131313 n TTA TTTTA TT L L OM 由上可知 與相似 則是的個(gè)特征值 記為 l l l 1 2 n L L OM Alll 12 n LAn 12 n lll 令 則 結(jié)論得證 13 TTT 1 21 n TAT l l l 由結(jié)論可知 對(duì)階方陣 存在可逆矩陣 使得nAT 精品文檔 5 歡迎下載 1 21 n ATT l l l 則 且是的所 1 21 n f f f ATT f l l l 12 n ffflll f A 有特征值 5 矩陣與的特征值的關(guān)系A(chǔ)BBA 命題 3 設(shè)是矩陣 是矩陣 則的特征多項(xiàng)式與的Amn Bnm AB AB flBA 特征多項(xiàng)式有如下關(guān)系 BA fl 1 nm ABBA ffllll 證明 先把要證明的 1 式改寫(xiě)為 2 nm mn EABEBAllll 用構(gòu)造法 設(shè) 令 0l 1 n m EB H AE l 對(duì)兩邊取行列式得 11 1 0 0 nnn mmm EBEEB EABAEAE ll l 11 m mm HEABEAB ll l 3 再對(duì)兩邊取行列式得 111 0 0 nnn mmm EEBEBAB AEAEE lll 11 n nn HEBAEBA ll l 4 故由 3 4 得 11 mn nm mnmn EABEBAEABEBA ll llllll 精品文檔 6 歡迎下載 5 上述等式是假設(shè)了 但 5 式兩邊均為的次多項(xiàng)式 有無(wú)窮多個(gè)值0l lnm 使它們成立 從而 5 式一定是恒等式 故命題 3 得證 0l 由命題 3 可以得到以下幾個(gè)推論 推論 1 當(dāng) 均為階方陣時(shí) 與有相同的特征值 ABnABBA 證明一 由命題 3 可知 nn EABEBAllll 當(dāng)時(shí) 0l EABEBAll 當(dāng)時(shí) 0l 11 nn EABABA BB ABAEBAll 故與有相同的特征值 ABBA 證明二 當(dāng)有零特征值 即 AB0l 因?yàn)?01100 nn EBABAB AA BEAB 所以 也是的特征值 0l BA 當(dāng)有非零的特征值 設(shè)是任意非零的特征值 則存在特征向量 使ABlAB 0X X 得 0ABXX Xl 用同時(shí)左乘上式兩邊得 令 則可得 B 0BA BXBXXl YBX BAYYl 其中 否則由假設(shè)得 這與矛盾 所以是0Y 0XABXAYl 0 0Xl Y 屬于特征值的特征向量 而是的任意非零特征值 所以的任意非零特征BAllABAB 值都是的特征值 BA 綜上所述的任意特征值都是的特征值 ABBA 同理可證的任意特征值都是的特征值 BAAB 所以與有相同的特征值 ABBA 推論 2 設(shè)是矩陣 是矩陣 且 則與有相同的非零Amn Bnm mn ABBA 特征值 證明 不妨設(shè) 由命題 3 的證明的 5 式知mn nmn m mnmn EABEBAEABEBAlllllll 上述等式是假設(shè)了 但上式兩邊均為的次多項(xiàng)式 有無(wú)窮多個(gè)值使它成0l ln 立 從而上式一定是恒等式 0l 精品文檔 7 歡迎下載 所以與有相同的非零特征值 且階數(shù)較高的還有個(gè)零特征值 ABBABAnm 6 矩陣的 Kronecker 積的特征值 命題 4 設(shè) 分別為的特征值 則為的特征 m mn n ACBC l m A Bl mAB 值 證明 設(shè) 故 0 0 mn XCXYCY 0XY ABXYAXBYXYXYlml m 所以為的特征值 l mAB 由命題 4 可得以下推論 推論 1 設(shè) 及分別為矩陣的特征值 m mn n ACBC 12 m lll 12 n m mm A B 則為的特征值 其中 st l mAB 1 2 sm 1 2 tn 推論 2 設(shè) 及分 m mn ns s ACBCPC 12 m lll 12 n m mm 12 s rrr 別為矩陣的特征值 則為的特征值 其中 A B P ijk l mrABP 1 2 im 1 2 jn 1 2 ks 命題 5 設(shè) 分別為的特征值 設(shè) m mn n ACBC rs lm A B 為復(fù)數(shù)形式 則個(gè)數(shù)是 0 l ij ij i j f x yc x y 0 l ij ij i j f A Bc AB mn rs flm 的特征值 其中 f A B1 2 rm 1 2 sn 證明 設(shè)為的特征值的特征向量 為的特征值的特征向量 則有 r XA r l s YA s m 其中 則 ii rrrrrr AXXA XXll jj ssssss BYYB YYmm 0 r X 0 s Y 0 l ij rsijrs i j f A BXYcABXY 0 l ij ijrs i j cABXY 0 l ij ijrs i j cA XB Y 精品文檔 8 歡迎下載 0 l ij ijrsrs i j cXYl m rsrs fXYlm 即是的特征值 其中 rs flm f A B1 2 rm 1 2 sn 由命題 5 可以得以下推論 推論 設(shè) 分別為的特征值 則是矩陣的 m mn n ACBC rs lm A B rs lm A B Kronecker 積的特征值 其中 nm AEBE 1 2 rm 1 2 sn 7 行 列 轉(zhuǎn)置矩陣的特征值 在本節(jié)中 為了方便討論 規(guī)定表示矩陣的轉(zhuǎn)置 表示次對(duì)角線(xiàn)上的 T AA n JJ 元素全為 1 其余元素全為 0 的階方陣 即n 001 010 100 J 7 1 定義和命題 行 列 轉(zhuǎn)置矩陣是一種特殊的矩陣 在整個(gè)矩陣?yán)碚擉w系中具有十分重要的作 用 高等代數(shù)主要討論了矩陣的轉(zhuǎn)置 對(duì)矩陣的行 列 轉(zhuǎn)置很少涉及 所以下面給 出矩陣行 列 轉(zhuǎn)置的定義以及一些相關(guān)的結(jié)論 定義 2 設(shè) 則矩陣的行轉(zhuǎn)置矩陣與列轉(zhuǎn)置矩陣分別記為 m n ij AaR A RC AA 即 12 1 12 21 21222 11121 mmmn mmmn R n n aaa aaa A aaa aaa 11 111 22 121 1 1 11 1 11 nn nn C mnmnm mnm nm aaa aaa A aaa aaa 若 則稱(chēng)為行 列 對(duì)稱(chēng)矩陣 RC AA AA A 若 則稱(chēng)為行 列 反對(duì)稱(chēng)矩陣 RC AA AA A 精品文檔 9 歡迎下載 若 則稱(chēng)為行列對(duì)稱(chēng)矩陣 RC AA A 由定義 2 可以得到以下命題 命題 6 1T JJJ 2RC JJJE 命題 7 設(shè) 則有以下結(jié)論 m nn k ARBR 1 RC mn AJ A AAJ 2 RC RC AA AA 3 RC RC kAkAkAkAkR 4 TCTR RTCT AAAA 5 RC RC ABA BABAB 7 2 主要結(jié)果 命題 8 設(shè)為階方陣 則與相似 則與有相同的特征值 n n AR n R A C A R A C A 證明 由命題 6 與命題 7 知 又因?yàn)闉殡A可逆矩陣 RC AJAJAJJJA J Jn 且 從而 所以與相似 則與有相同的特 1 JJ 1RCC AJA JJA J R A C A R A C A 征值 推論 設(shè)為階方陣 則有以下結(jié)論 n n AR n 1 當(dāng)是行對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí) 則與有相同的特征值 A C AA A C A 2 當(dāng)是列對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí) 則與有相同的特征值 A R AA A C A 命題 9 設(shè)為階方陣 則與有相同的特征多項(xiàng)式和特征值 n n AR n R A C A 證明 設(shè)是的任意特征值 則l R A R EAEJAEEJAElll 222 J JJAJJJJAJ Jll 2 C JJJAJEAll 即 RC EAEAll 所以與有相同的特征多項(xiàng)式 從而有相同的特征值 R A C A 精品文檔 10歡迎下載 推論 設(shè)為階方陣 則有以下結(jié)論 n n AR n 1 當(dāng)是行對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí) 則與有相同的特征多項(xiàng)式和特征值 AA R A 2 當(dāng)是列對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí) 則與有相同的特征多項(xiàng)式和特征值 AA C A 命題 10 設(shè)為階方陣 則有相同的可逆性 n n AR n RC A AA 證明 由命題 6 與命題 7 知 即 RC AJAJ AA JAJA RC AAJ A 所以當(dāng)可逆時(shí) 又因 從而 均A0A 0J 0 RC AAJ A RC A AA 可逆 當(dāng)不可逆時(shí) 從而 則均不逆 A0A 0 RC AAJ A RC A AA 綜上所述有相同的可逆性 RC A AA 命題 11 設(shè)為階方陣 且可逆 則與相似 從而有相同 n n AR nA 1 R A 1 C A 的特征值 證明 由命題 10 知 當(dāng)可逆時(shí) 均可逆 根據(jù)命題 6 和命題 7 可得A RC AA 1 11 R AJAJAE 1 1 C JAJJJA J 11 111CC JAJJAJ 所以與相似 從而有相同的特征值 1 R A 1 C A 8 矩陣的特征值與矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣的特征值之間的關(guān)系A(chǔ)AA 8 1 當(dāng)時(shí) 矩陣的特征值的特點(diǎn) A Af B A 命題 12 設(shè) 當(dāng) 為矩陣的 1 110 mm mm f xa xaxa xa A Af B lA 特征值 為矩陣的特征值 且至少存在一個(gè)非零向量 是屬于特征值的特hBXXl 征向量 也是屬于特征值的 特征向量 則即 h fl lh flh 精品文檔 11歡迎下載 證明 等式兩邊同時(shí)取共軛轉(zhuǎn)置得AXXl AXXl AXXl X AXl 將與等式兩邊相乘得 即X AXl AXXl X AAXXXll 因?yàn)榫仃嚌M(mǎn)足 故由命題 1 中 7 可知X A AXXXll A A Af B X f B XX fXfX XXXhhll 又因?yàn)?則 故 1 2 0 n x x X x 12n Xx xx 1 122 0 nn X Xx xx xx x 將兩邊同時(shí)消去得 即 fX XX Xhl l X X fl lh flh 推論 當(dāng) 時(shí) 為矩陣的特征值 則有 即 A AkE kR lAkl l kl 證明 設(shè)為矩陣的特征值 為屬矩陣的特征值的特征向量 且為屬lAXAlX 矩陣的特征值 1 的特征向量 令 由命題 12 知 E f xk 1fkl l 即 kl 8 1 1 酉矩陣的特征值 定義 3 對(duì)階復(fù)矩陣 如果滿(mǎn)足 則稱(chēng)為酉矩陣 nAAA AAAE A 命題 13 酉矩陣的特征值的模為 1 A 證明 令命題 12 的推論中的 有 所以 1k A AE 1l 8 1 2 正交矩陣的特征值 定義 4 如果階實(shí)數(shù)矩陣滿(mǎn)足 則稱(chēng)為正交矩陣 nAA AAAE A 命題 14 正交矩陣的特征值的模為 1 A 證明 由定義知正交矩陣是酉矩陣 由命題 13 可得正交矩陣的特征值的模為A 1 推論 1 正交矩陣的實(shí)特征值只能為 1 或A1 精品文檔 12歡迎下載 證明 為正交矩陣的特征值 由命題 14 知 由于為實(shí)數(shù) 故只能lA1l ll 為 1 或 1 由上可知 由于正交矩陣的特征值的模為 1 且 故正交矩陣的特征A1A A 值可能為 3 種 1 或 且復(fù)特征值是成對(duì)出現(xiàn)的 即同時(shí)1 cossin i ei q qq l l 為矩陣 的特征值 A 推論 2 階正交矩陣的行列式與其特征值之間的關(guān)系如下nA 1 若 則一定有特征值 1A A1 2 若 且為奇數(shù) 則一定有特征值 1 1A nA 證明一 運(yùn)用命題 12 及其推論進(jìn)行證明 設(shè)階正交矩陣在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的個(gè)特征值分別為 由于nAn 12 n lll 則的特征值由兩類(lèi)構(gòu)成 一類(lèi)是模為 1 的共軛虛數(shù) 另一類(lèi)是 1 或 12 n Al ll A 1 1 由 可知的特征值中除了成對(duì)出現(xiàn)共軛虛數(shù)外 一定有實(shí)特征值1A A 否則特征值會(huì)出現(xiàn)如下結(jié)構(gòu) 此時(shí)1 1122 1 1 1 kk llllll 1122 11 kk Al l l ll l 則矛盾 所以一定有特征值 A1 2 由 且為奇數(shù) 可知的特征值中除了成對(duì)出現(xiàn)的共軛虛根外 還1A nA 應(yīng)存在奇數(shù)個(gè)實(shí)特征根 為了保證 這奇數(shù)個(gè)實(shí)特征根不能全為 至少有一1A 1 個(gè) 1 所以一定有特征值 1 A 證明二 從正交矩陣的定義出發(fā) 可以證明如下 1 用特征值的定義證明 AEAA AEAAEA A EAAEA AEA 故 則一定有特征值 20EA 0EA A1 精品文檔 13歡迎下載 2 用同樣的方法可以證明 EAA AAAE AAE A 1 n AEAAE AEA 因?yàn)闉槠鏀?shù) 故 則一定有特征值 1 n20EA 0EA A 8 2 當(dāng)時(shí) 矩陣的特征值的特點(diǎn) Af A A 命題 15 設(shè) 為矩陣的特征值 且 1 110 mm mm f xa xaxa xa lA 則有 Af A fll 證明 為矩陣的屬于特征值的特征向量 則有 等式兩邊同時(shí)取XAlAXXl 共軛轉(zhuǎn)置得 AXXl AXXl X AXl 因?yàn)闉榫仃嚨奶卣髦?由命題 1 中 7 可知是的特征值 且是lA fl f AX 的屬于的特征向量 則有 等式兩邊同時(shí)左乘得 f A fl f A XfXl X X f A XX fXX A XfX Xll 因?yàn)?所以 X AXl X XfX Xll 又因?yàn)?則 故 1 2 0 n x x X x 12n Xx xx 1 122 0 nn X Xx xx xx x 將兩邊同時(shí)消去得 X XfX Xll X X fll 定義 5 對(duì)階復(fù)矩陣 若 則稱(chēng)為埃爾米特 Hermite 稱(chēng)陣 nAAA A 推論 1 為埃爾米特 Hermite 稱(chēng)陣 則的特征值全為實(shí)數(shù) AA 證明 因?yàn)闉殡A埃爾米特 Hermite 稱(chēng)陣 則 AnAA 令 則 設(shè)為矩陣的特征值 由命題 15 知 f xx Af A lA 精品文檔 14歡迎下載 故為實(shí)數(shù) 即的特征值全為實(shí)數(shù) flll lA 定義 6 對(duì)階實(shí)數(shù)矩陣 若 則稱(chēng)為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 nAAA A 推論 2 為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣 則的特征值全為實(shí)數(shù) AA 證明 由定義知 實(shí)對(duì)稱(chēng)陣是埃爾米特矩陣 由命題 15 的推論 1 知 的特征值A(chǔ) 為全實(shí)數(shù) 定義 7 對(duì)階實(shí)數(shù)矩陣 若 則稱(chēng)為實(shí)反對(duì)稱(chēng)陣 nAAA A 推論 3 為實(shí)反對(duì)稱(chēng)陣 則的特征值為 0 或純虛數(shù) AA 證明 因?yàn)闉殡A實(shí)反對(duì)稱(chēng)矩陣 則 AnAA 令 則 設(shè)為矩陣的特征值 由命題 15 知 f xx Af A lA flll 因?yàn)?所以為 0 或純虛數(shù) ll l 精品文檔 15歡迎下載 參考文獻(xiàn) 1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 高等代數(shù) M 第 3 版 北京 高等教育出版 社 2003 290 293 296 297 377 378 2 郭竹梅 關(guān)于幾類(lèi)特殊矩陣特征值的結(jié)論及應(yīng)用 J 宜春學(xué)院學(xué)報(bào) 2011 33 4 31 32 3