流體力學(xué)(流體運動學(xué)).ppt

第三章流體運動學(xué)流體運動的描述方法流場的基本概念流體微團的運動連續(xù)性方程 引言 靜止 包括相對靜止 是流體的一種特殊的存在形態(tài) 運動 或流動 才是流體更普遍的存在形態(tài) 也更能反映流體的本質(zhì)特征 因此相對流體靜力學(xué)而言 研究流體的運動規(guī)律及其特征具有更加深刻的意義 這也為流體動力學(xué) 研究在外力作用下流體的運動規(guī)律 打下了理論的基礎(chǔ) 3 l流體運動的描述方法把流體流動占據(jù)的空間稱為流場 在流場中 每個質(zhì)點均有確定的速度和壓力 都是空間坐標和時間的連續(xù)函數(shù) 流場也可以理解為速度場和壓力場的綜合 表征流體運動的量 如速度 壓力等統(tǒng)稱為運動要素 一 拉格朗日法拉格朗日法研究對象是單個流體質(zhì)點 研究其運動要素 位置 速度 等的變化過程 顯然是一種質(zhì)點系法 拉格朗日法著眼于流體各質(zhì)點本身的運動情況 也就是要表示出每個流體質(zhì)點自始自終的運動過程 把任一流體質(zhì)點在初始時刻t0時的坐標 a b c 作為該質(zhì)點的標志 則不同的 a b c 就表示流動空間的不同質(zhì)點 這樣 不同的 a b c 變數(shù)表示流場中的不同質(zhì)點 運動開始前 質(zhì)點的起始坐標為 a b c 經(jīng)過時間t 它運動到 x y z x y z表示任一流體質(zhì)點經(jīng)過時間t的位置 是 a b c 及t的函數(shù) 即 這種通過描述每一質(zhì)點的運動達到了解流體運動的方法 稱為拉格朗日法 表達式中的自變量 a b c 稱為拉格朗日變量 流體質(zhì)點的速度為 流體質(zhì)點的加速度 流體質(zhì)點的壓力p和密度 也同樣是 a b c 和的函數(shù) 二 歐拉法物理學(xué)中場定義為物理量在空間的分布 如速度場 壓力場等 流體力學(xué)中 流場是指流體質(zhì)點運動經(jīng)過的全部空間 歐拉法以流場為研究對象 以空間點為著眼點 研究空間點上各質(zhì)點的運動要素及其變化規(guī)律 來獲得整個流場的運動特性 歐拉法不是跟蹤個別質(zhì)點 而是在同一時間研究流場中各質(zhì)點的流速 壓力的變化 質(zhì)點的流速 壓力和密度均是空間坐標 x y z 和時間t的函數(shù) 變量x y z t統(tǒng)稱為歐拉變量 即 加速度可用速度對時間的導(dǎo)數(shù)來表示 由全導(dǎo)數(shù)公式有 dx dy dz表示在無窮小一段時間內(nèi)流體質(zhì)點的位移分量 由位移分量對時間的導(dǎo)數(shù)得出速度分量表達式 則 式中 右邊第一項表示流體質(zhì)點在某一點 x y z 的速度隨時間的變化率 稱為當?shù)丶铀俣?時變加速度 后三項之和則表示流體質(zhì)點在同一時間內(nèi) 因坐標位置變化而形成的加速度 稱為位變加速度 遷移加速度 同理可得 用矢量表示 哈密爾頓算子 Hamiton 式中 對比拉格朗日法和歐拉法的不同變量 就可以看出兩者的區(qū)別 前者以a b c為變量 是以一定質(zhì)點為對象 后者以x y z為變量 是以固定空間點為對象 只要對流動的描述是以固定空間 固定斷面 或固定點為對象 應(yīng)采用歐拉法 而不是拉格朗日法 3 2流場的基本概念恒定流與非恒定流跡線和流線一維 二維 三維流動流管 流束及總流過流斷面 流量和平均流速均勻流和非均勻流 3 2流場的基本概念一 恒定流與非恒定流 定常流與非定常流 恒定流動是指流場中流動參數(shù)不隨時間變化而改變的流動 它滿足下列條件 其速度和壓強表示為 若流場的流動參數(shù)的全部或其中之一與時間變化有關(guān) 即隨時間變化而改變 則這類流場的流動稱為非恒定流 其速度和壓強的描述為 實際中 恒定流只是相對的 絕對的恒定流是不存在的 本課程主要研究恒定流動問題 二 跡線和流線1 跡線跡線是流體質(zhì)點在一段時間過程中運動的軌跡線 跡線的特點是 對于每一個質(zhì)點都有一個運動軌跡 所以跡線是一族曲線 如圖所示AB曲線是質(zhì)點M的跡線 在這一跡線上取微元長度ds表示該質(zhì)點M在dt時間內(nèi)的微小位移 則其速度為 速度的分量為 3 1 上式為跡線的微分方程 表示質(zhì)點M的軌跡 dx dy dz為ds在各坐標軸上的投影 由上式得 2 流線流線是在同一時刻流場中連續(xù)不同位置質(zhì)點的流動方向線 流線的特點 流線上各質(zhì)點的流速都與流線相切 流線不能相交 即某瞬時通過流場中固定點只能有一條流線 恒定流時 流線與跡線重合 流線是光滑曲線不能轉(zhuǎn)折 邊界急劇變化處 液體質(zhì)點受慣性作用會脫離固體邊界 主流與邊界之間產(chǎn)生旋渦區(qū) 而且隨著邊界的變化 流線有疏有密 流線密 表示流速大 流線疏 表示流速小 流線微分方程在流線上過任意點取微元有向線段 過該點的速度與該點切線重合 即 則有 設(shè)得 流線的微分方程表達式為 跡線與流線的比較 流線由無窮多個質(zhì)點組成的 它是表示這無窮多個流體質(zhì)點在某一固定瞬間運動的曲線 跡線則表示在一段時間過程中同一流體質(zhì)點運動的曲線 流線與跡線方程是不相同的 跡線方程式以時間t為自變量 由此決定其運動軌跡 流線方程式中 時間t是給定量 隨時間t不同 流線方程式也不相同 在恒定流中 流線與跡線相重合 即流線和跡線是一致的 沒有區(qū)別 積分得 例 流體運動的速度函數(shù)為ux x t uy y t uz 0求t 0時過M 1 1 點的流線和跡線 解 流線的微分方程為 當t 0時 x 1 y 1代入上式得 C 1 當t 0時 過M 1 1 點的流線是 即 等邊雙曲線方程 則 那么 將 3 4 式代入 1 式得 跡線的微分方程 1 2 式為非齊次常系數(shù)的線性常微分方程 由 1 式得 3 4 2 1 分部積分公式 同理 得 用分部積分得 5 將 5 式代入 3 式得 當t 0時 x 1 y 1代入上式得A B 0 當t 0時 過M 1 1 質(zhì)點的跡線為 消去t后得 直線方程 由此可見 當流動與時間t有關(guān)時 流線和跡線是不相重合的 三 一維 二維 三維流動流體的運動要素是空間坐標和時間的函數(shù) 按照流體運動要素與空間坐標有關(guān)的個數(shù) 維數(shù) 可以把流體分為一維流 二維流 三維流 一維 一元 流動 若流場中的運動參數(shù)僅與一個空間自變量有關(guān) 這種流動稱為一維流動 即 二維 二元 流動 若流動參數(shù)與兩個空間自變量有關(guān) 則稱之為二維流動 在直角坐標系中 二維空間是個平面 因而二維流動又稱平面流動 三維 三元 流動 運動參數(shù)與三個空間自變量有關(guān) 則稱為三維流動 空間流動 四 流管 流束及總流1 流管在流場中取任意封閉曲線 通過這個閉合曲線上各點作流線 這些流線所圍成的管 稱為流管 2 流束充滿在流管內(nèi)部的全部流體 稱為流束 斷面無窮小的流束 稱為微小流束或元流 3 總流在流動周界內(nèi)全部微小流束 元流 的總和稱為總流 2 流量單位時間內(nèi)流經(jīng)過流斷面的流體量 稱為流量 通常用體積流量Q 質(zhì)量流量M和重力流量G表示 其相應(yīng)的單位是m3 s kg s和N s 1 過流斷面 過水斷面 垂直于所有流線的流體橫斷面稱為過流斷面 如果流線互相平行 這時過流斷面為平面 否則過流斷面為曲面 五 過流斷面 流量和平均流速 設(shè)微小流束過流斷面積為dA 經(jīng)過時間dt 微小流束以流速u相對于斷面1 1的位移為udt 則該時段內(nèi)通過微小流束斷面1 1的流體體積 將等式兩邊同除dt 可得微小流束的體積流量 總流的體積流量Q則應(yīng)是微小流束流量dQ對總流過流斷面面積A的積分 即 3 平均流速平均流速是一種設(shè)想的速度 即假設(shè)總流同一過流斷面上各點的速度都相等 大小均等于斷面平均流速v 那么 以斷面平均流速通過的流量等于該過流斷面上各點實際流速所通過的流量 即 則 把v定義為斷面平均流速 總流的流量等于斷面平均流速v與過流斷面面積A的乘積 即Q vA 六 均勻流和非均勻流均勻流 流線是平行直線的流動 即則也就是說均勻流中位變加速度 遷移加速度 為零 均勻流中各過流斷面上的流速分布圖沿程不變 過流斷面是平面 沿程各過流斷面的形狀和大小都保持一樣 例 等直徑直管中的液流或者斷面形狀和水深不變的長直渠道中的水流都是均勻流 非均勻流 流線不是平行直線的流動 即非均勻流中流場中相應(yīng)點的流速大小或方向或同時二者沿程改變 即沿流程方向速度分布不均 漸變流 緩變流 流速沿流程變化緩慢 流線間的夾角很小 近似為相互平行的直線 急變流 流速沿程變化急劇 流線間的夾角很大 非均勻流 3 3流體微團的運動微團運動的分解微團運動的組成分析無旋流動和有旋流動 流體質(zhì)點是可以忽略線性尺度效應(yīng)的最小單元 流體微團則是由大量流體質(zhì)點所組成的具有線性尺度效應(yīng)的微小流體團 一 微團運動的分解從理論力學(xué)知道 剛體的運動可以分解為平移和繞某瞬時軸的轉(zhuǎn)動之和 流體微團基本運動形式除了平移和轉(zhuǎn)動之外 還有變形運動 剛體運動 平移 轉(zhuǎn)動流體微團運動 平移 轉(zhuǎn)動 變形怎樣把平移 轉(zhuǎn)動和變形這三種基本運動顯示出來 自19世紀40年代 英國數(shù)學(xué)家斯托克斯 Stokes 1845 德國力學(xué)家亥姆霍茲 Helmhotz H 1858 先后提出速度分解定理 從理論上解決了這個問題 在流場中取一微團 設(shè)其上一點P的流體的速度分量為ux x y z uy x y z uz x y z 在同一瞬間 微團上另一點Q的速度分量為 三元函數(shù)的泰勒級數(shù)為 一元函數(shù)的泰勒級數(shù)為 Q點速度按泰勒級數(shù)展開 并略去二階向量以上的各項 在此 則 1 由上式可見 Q點的速度可以用P點的速度及九個速度分量的偏導(dǎo)數(shù)來表示 用上列類似的配項方法 其余二式得 上式的第一式右方加減 及 并重新加以組合得 為了簡化起見 引用下列符號 代入前式 則 2 上式即為流體微團的速度分解公式 亦稱亥姆霍茲 Helmhotz 速度分解定理 二 微團運動的組成分析從形式上看 速度分解定理把比較簡單的式 1 變?yōu)榻Y(jié)果反而更復(fù)雜的式 2 但這不是沒有原因的 為了便于討論 僅以二維流動為例來分析矩形微團ABCD的運動 設(shè)微團的邊長為dx及dy A點的速度 ux uy 按二元泰勒級數(shù) 展開 忽略二階以上微量 得微團ABCD各點的速度分量 A點坐標 0 0 速度 ux uy x方向f x0 y0 ux速度 y方向f x0 y0 uy速度 C點坐標 dx 0 即h dx k 0 x方向f x0 y0 ux速度 y方向f x0 y0 uy速度 B點坐標 0 dy 即h 0 k dy D點坐標 dx dy 即h dx k dyx方向f x0 y0 ux速度 y方向f x0 y0 uy速度 設(shè)流體微團從初始位置ABCD 經(jīng)過dt時間后 矩形平面ABCD將變成A1B D C 的形狀和位置 各點各方向速度分量 整個變化過程可以看作是由以下幾種基本運動形成所組成 1 平移運動A點的速度分量ux uy是矩形微團其它各點相應(yīng)速度分量的組成部分 若不考慮B C D各點的速度與A點相差部分 則經(jīng)過dt時間后 微團平移到新的位置A1B1D1C1 其形狀及大小沒有改變 由此可知ux uy是微團在x y方向的平移速度 同理 對于空間流場 ux uy uz為平移速度 在x方向上C點速度分量要比A點大 ux x dx D點比B點大 ux x dx 故邊長AC和BD在x方向要拉長 或縮短 ux x dxdt 拉長為正 縮短為負 即A1C1拉長到A1C2 B1D1拉長到B1D2 同理 邊長AB和CD在y方向拉長 縮短 均為 uy y dydt 2 變形運動 1 線變形線變形是直線線段單位長度單位時間的線變形 由于矩形微團ABCD各角點在x方向的速度分量的不相同 線變形 線變形速率 為 3 同理 這里稱 xx為微團在x方向的線變形或線變率 yy為y方向的線變形 zz為z方向的線變形 由于線變形使微團ABCD變成A1B2D2C2 2 角變形如圖 因C點在y方向的速度分量比A點在y方向的速度分量有增量 uy x dx 使AC邊 即A1C2邊逆時針偏轉(zhuǎn)d 角 同理B點在x方向比A點在x方向有速度增量 ux y dy 使AB邊 即A1B2邊順時針偏轉(zhuǎn)d 角 考慮到d 和d 是很小的角 所以 分母中第二項與第一項比是高階微量 可略去不計 于是 因此 A1C2邊和A1B2邊的旋轉(zhuǎn)角速度分別為 通常把微團的旋轉(zhuǎn)角速度之和的一半稱為角變形 角變形速率 角變形 同理 xy表示微團在xoy平面上的角變形 或稱為繞z軸的剪切角速度 繞x軸的剪切角速度 繞y軸的剪切角速度 上式說明角變形是流體微團中某一直角減少速度的一半 3 旋轉(zhuǎn)運動在一般情況下 d d 流體微團在xoy平面上除了產(chǎn)生剪切變形外 還有繞z軸的旋轉(zhuǎn) 對角線A1D1經(jīng)過dt時間轉(zhuǎn)到A1D 旋轉(zhuǎn)的角度為d B A1C 的等分角線A1D 由此可見 z代表流體微團繞z軸的旋轉(zhuǎn)角速度 繞x軸的旋轉(zhuǎn)角速度 繞y軸的旋轉(zhuǎn)角速度 結(jié)論 流場中任何微團的運動一般都可以認為由平移 變形及轉(zhuǎn)動所組成 同理 此運動稱為無旋流動或有勢流動 三 無旋流動和有旋流動流體運動根據(jù)流體微團有無旋轉(zhuǎn)角速度而劃分為有旋 有渦 流動和無旋 無渦 運動兩種 1 無旋 無渦 流動在流動空間中 流體微團僅有平移和變形運動 而沒有旋轉(zhuǎn)運動 即在流動空間中有 2 有旋 有渦 流動在流場中 流體微團存在旋轉(zhuǎn)運動 即 x y z三者中 至少有一個不為零 則稱為有旋流動 一般來講 無旋流存在于無粘性的理想流體中 有旋流存在于有粘性的實際流體中 但實際流體運動在某些情況下也可以是無旋流 如實際流體的層狀滲流便是 流動究竟是有旋還是無旋 要根據(jù)流體微團本身是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)來決定 而不是根據(jù)流體微團的軌跡形狀來決定 判斷流體是否有旋與判斷剛體運動是否轉(zhuǎn)動是完全不同的 剛體只要質(zhì)點作圓周運動 那么處處有旋 如果作直線運動 那么就處處無旋 而且對于剛體 圓心一點有旋 則點點有旋 而流體則不同 圓心一點有旋 其它點不一定有旋 一點不能代表全體 必須逐點檢驗 如圖所示的運動中微團運動軌跡是一條直線 但微團本身卻發(fā)生了轉(zhuǎn)動 這種運動是有旋流動 如圖所示的流動中 微團的軌跡是一個圓 但微團本身并沒有旋轉(zhuǎn) 因此這種流動是無旋流動 例 判別下列流動是有旋流動還是無旋流動 1 已知速度場ux ay uy uz 0 其中a為常數(shù) 流線是平行于x軸的直線 2 已知速度場ur 0 u b r 其中b是常數(shù) 流線是以原點為中心的同心圓 是無旋流動 解 1 本題為平面流動 只需判別 z是否為零 是有旋流動 2 取直線坐標 任意點P x y 的速度分量 則稱 為渦量 與速度場u對應(yīng) 也構(gòu)成一個場 稱之為渦量場 上式中 為哈密爾頓 Hamilton 算子 其定義為 3 渦量定義設(shè)有速度場u 令 在直角坐標系中 根據(jù)定義式可寫出渦量分量式為 或 則此流場為無旋流動 渦量是表明流體旋轉(zhuǎn)運動的一個物理量 若流體流動中 0 即 x y z三個分量中只要有一個不為零 則稱該流場中流體流動為有旋流動 又稱為旋渦運動 若流場中處處有 0 則該流場中流體流動稱為無旋流動 即流場滿足下列方程 3 4連續(xù)性方程三維流動的連續(xù)性方程微小流束的連續(xù)性方程總流連續(xù)性方程 一 三維流動的連續(xù)性方程 continuityequation 在流場中任取一點C x y z 為中心的微小六面體 其邊長為dx dy dz 六面體中心點C的流速為u u ux uy uz 流體密度為 由于流體的連續(xù)性 在dt時間內(nèi) 六面體的質(zhì)量差值 流入量 流出量在x方向質(zhì)量差值用泰勒級數(shù)展開得 1 2面速度 密度 密度 3 4面速度 密度 流出3 4面的質(zhì)量為 在dt時間內(nèi) 流入1 2面的質(zhì)量為 六面體x方向流體質(zhì)量的差值為 同理 y方向 z方向 在dt時間內(nèi) 流體流入六面體與流出六面體質(zhì)量之差總值為 流體密度隨時間的變化也影響六面體中的質(zhì)量 設(shè)在t時刻流體密度為 在t dt時刻密度為 在dt時間內(nèi)由于密度變化而使六面體中增加的流體質(zhì)量為 根據(jù)質(zhì)量守恒定律 dt時間內(nèi)流入與流出六面體的流體質(zhì)量之差必等于六面體在該時間內(nèi)流體質(zhì)量的增量 即 則得 上式為可壓縮流體非恒定流的連續(xù)性方程 可壓縮流體恒定流 的連續(xù)性方程為 不可壓縮流體 常數(shù) 恒定流或非恒定流的連續(xù)性方程為 例1 已知空氣流動速度場為ux 6 x y2 uy 2y z3 uz x y 4z試分析這種流動狀況是否連續(xù) 解 根據(jù)連續(xù)性方程 所以 說明空氣的流動是不連續(xù)的 例2 下面的平面流場 流動是否連續(xù) ux x3siny uy 3x2cosy解 因為 所以 這個流動是連續(xù)的 二 微小流束的連續(xù)性方程在總流中 任取一流段1 2的微小流束 其過流斷面面積分別為dA1和dA2 相應(yīng)的流速為u1和u2 密度分別為 1和 2 經(jīng)過dt時間 從1 1斷面流入的流體質(zhì)量為 從2 2斷面流出的流體質(zhì)量為 流入和流出微小流束的質(zhì)量差值為 設(shè)在t時刻微小流束內(nèi)的流體密度為 t dt時刻 密度為 在dt時間由于密度變化而使微小流束增加的流體質(zhì)量為 根據(jù)質(zhì)量守恒定律 dt時