數(shù)列求和的8種方法.doc

數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法： 利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n項和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 1 例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當(dāng) ，即n8時，題1.等比數(shù)列的前項和S2，則 題2若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= . 解： 原式= 答案：二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè). （設(shè)制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) （設(shè)制錯位）得 （錯位相減） 練習(xí)題1 已知 ，求數(shù)列an的前n項和Sn.答案：練習(xí)題2 的前n項和為_答案：三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 例6 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 . （反序） 又因為 +得 （反序相加）89 S44.5題1 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所以.練習(xí)、求值：練習(xí)。已知滿足,當(dāng)時,若求 解答：由知只要自變量即成立,又知1,則易求四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項和：，解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時， （分組求和）當(dāng)時，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設(shè) 將其每一項拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）例9 求數(shù)列的前n項和.解：設(shè) （裂項）則 （裂項求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.解： （裂項） 數(shù)列bn的前n項和 （裂項求和） 例11 求證：解：設(shè) （裂項） （裂項求和） 原等式成立例 求證 此為分?jǐn)?shù)數(shù)列求和問題,仍然用裂項求和法,難點在于分母出現(xiàn)了階乘,為此,需將數(shù)列的第項作一些恒等變形,以便將其分裂為兩項之差. 解 因為 （） 所以 . 練習(xí)題1. 答案：.練習(xí)題2。 =答案：六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設(shè)Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質(zhì)項）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項）S2002 （合并求和） 5例14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 （合并求和） 10練習(xí)、求和：練習(xí)題1 設(shè)，則_ 答案：2.練習(xí)題2 若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，則S17+S3350等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2 解：對前n項和要分奇偶分別解決，即： Sn= 答案：A練習(xí)題 3 1002-992+982-972+22-12的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通項及特征） （分組求和）例16 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項及特征） （設(shè)制分組） （裂項） （分組、裂項求和） 提高練習(xí)：1已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；八、組合數(shù)法求和 原數(shù)列各項可寫成組合數(shù)形式,則可利用公式求解. 例5求的和 由知可利用“組合數(shù)法”求和 解 .待定歸納法例9求數(shù)列2,4,6,2的前項和.因為數(shù)列的通項公式為它是關(guān)于的多項式,與之類似的數(shù)列求和問題我們熟悉的有 （1） （2）1 （3）以上各式中，左端的通項公式及右端的和展開后都是關(guān)于的多項式,對其次數(shù)進(jìn)行比較便可得到這樣的結(jié)論:若數(shù)列的通項公式是關(guān)于的多項式,則其前項和是比通項公式高一次的多項式.對本題來講,因為通項公式 是關(guān)于的三次多項式,所以我們猜想該數(shù)列的前項和是關(guān)于的四次多項式,故可設(shè).解 令滿足數(shù)學(xué)歸納法的各個步驟,即時上式均成立,有 又因為 比較、兩式同類項系數(shù)可得 解方程得 代入式有, 故 例10求數(shù)列5,6,9,16,31,62,的前項和考慮數(shù)列的各差數(shù)列: 原數(shù)列:5,6,9,16,31,62,一階差數(shù)列:1,3,7,15,31,二階差數(shù)列:2,4,8,16, 由于二階差數(shù)列是等比數(shù)列,可用逐差法求數(shù)列的通項,然后再求其前項和 解 設(shè)原數(shù)列為,一階差數(shù)列為,二階