數(shù)值分析習題

.第一章 緒論習題主要考察點：有效數(shù)字的計算、計算方法的比較選擇、誤差和誤差限的計算。1 若誤差限為,那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計算）2 具有4位有效數(shù)字的近似值是多少？（有效數(shù)字的計算）3 已知，是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，問，有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計算）4 設，的相對誤差為，求的誤差和相對誤差？（誤差的計算）5測得某圓柱體高度的值為，底面半徑的值為，已知，求圓柱體體積的絕對誤差限與相對誤差限。（誤差限的計算）6 設的相對誤差為,求的相對誤差。（函數(shù)誤差的計算）7計算球的體積，為了使體積的相對誤差限為，問度量半徑時允許的相對誤差限為多大？（函數(shù)誤差的計算）8 設，求證：（1）（2）利用（1）中的公式正向遞推計算時誤差逐步增大；反向遞推計算時誤差逐步減小。（計算方法的比較選擇）第二章 插值法習題主要考察點：拉格朗日插值法的構造，均差的計算，牛頓插值和埃爾米特插值構造，插值余項的計算和應用。1 已知，求的拉氏插值多項式。（拉格朗日插值）2 已知，用線性插值求的近似值。（拉格朗日線性插值）3 若為互異節(jié)點，且有試證明。（拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)）4 已知，用拋物線插值計算的值并估計截斷誤差。（拉格朗日二次插值）5 用余弦函數(shù)在，三個節(jié)點處的值，寫出二次拉格朗日插值多項式, 并近似計算及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項估計值比較。（拉格朗日二次插值）6 已知函數(shù)值，求函數(shù)的四階均差和二階均差。（均差的計算）7 設求之值，其中，而節(jié)點互異。（均差的計算）8 如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的牛頓插值多項式。（牛頓插值多項式的構造）9求一個次數(shù)小于等于三次多項式，滿足如下插值條件：，。（插值多項式的構造）10 構造一個三次多項式，使它滿足條件（埃爾米特插值）。11 設。(1)試求在上的三次埃爾米特插值多項式，使得，以升冪形式給出。(2)寫出余項的表達式。（埃爾米特插值及其余項的計算）。12 若，試證明：（插值余項的應用）13 設求使；又設 ，則估計余項的大小。（插值誤差的估計）第三章 函數(shù)逼近習題主要考察點：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多項式的構造。1 設，求于上的線性最佳平方逼近多項式。（最佳平方逼近）2 令，且設,求使得為于 上的最佳平方逼近多項式。（最佳平方逼近）3證明：切比雪夫多項式序列在區(qū)間上帶權正交。（正交多項式的證明）4求矛盾方程組：的最小二乘解。（最小二乘法）5 已知一組試驗數(shù)據(jù)22.53455.544.5688.59試用直線擬合這組數(shù)據(jù). (計算過程保留3位小數(shù))。（最小二乘線性逼近）6 用最小二乘原理求一個形如的經(jīng)驗公式,使與下列數(shù)據(jù)相擬合。19253138 441932.34973.397.8（最小二乘二次逼近）第四章 數(shù)值積分習題主要考察點：代數(shù)精度的計算，構造插值型求積公式（梯形，辛甫生公式），復化求積的計算，高斯公式的構造。1給定求積公式試確定使它的代數(shù)精度盡可能高。（代數(shù)精度的應用和計算）2 求積公式，試確定系數(shù),及，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，并給出代數(shù)精確度的次數(shù)。（代數(shù)精度的應用和計算）3數(shù)值積分公式，是否為插值型求積公式，為什么？又該公式的代數(shù)精確度為多少？（插值型求積公式特征）4如果，證明用梯形公式計算積分所得到的結(jié)果比準確值大，并說明其幾何意義。（梯形求積）5用的復化梯形公式計算積分，并估計誤差。（復化梯形求積）6設,則用復化辛甫生公式計算，若有常數(shù)使 ，則估計復化辛甫生公式的整體截斷誤差限。（復化辛甫生公式）7已知高斯求積公式 將區(qū)間0,1二等分，用復化高斯求積法求定積分的近似值。（高斯公式）8 試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為高斯型的？（代數(shù)精度的應用和計算，高斯點的特征）9設是0,1區(qū)間上帶權的最高次冪項系數(shù)為1的正交多項式系（1）求。（2）構造如下的高斯型求積公式。（高斯求積）第五章 線性方程組的直接解法習題主要考察點：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追趕法解線性方程組。1用高斯消去法解方程組。 （高斯消去法的應用）2用LU分解法求解線性方程組。（LU分解法的應用）3設，求A的LU分解。（LU分解法的應用）4試用“追趕法”解方程組，其中：，（追趕法的應用）5設，求（條件數(shù)的計算）6求證：，（范數(shù)的性質(zhì)）7求證：。（范數(shù)的性質(zhì)）8對矩陣，求，和。（范數(shù)，條件數(shù)的計算）9方程組，其中，是對稱的且非奇異。設有誤差，則原方程組變化為，其中為解的誤差向量，試證明：，其中和分別為的按模最大和最小的特征值。（范數(shù)的性質(zhì)，誤差的分析）10證明：若為嚴格對角占優(yōu)矩陣，則非奇異。（嚴格對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)）第六章 線性方程組的迭代解法習題主要考察點：雅可比、高斯-塞德爾迭代法解線性方程組，及其收斂性討論。1證明：迭代格式收斂，其中。（迭代法收斂性判斷）2若用雅可比迭代法求解方程組迭代收斂的充要條件是。（雅可比迭代法的收斂性）3 用雅可比、高斯-塞德爾迭代法，求解方程組是否收斂？為什么？若將方程組改變成為再用上述兩種迭代法求解是否收斂？為什么？（雅可比、高斯-塞德爾迭代法的收斂性）4證明解線性方程組的雅可比迭代收斂，其中。（雅可比迭代收斂性判斷）5已知方程組，其中，(1) 試討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解此方程組的收斂性。(2) 若有迭代公式，試確定的取值范圍，使該迭代公式收斂。（雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法和一般迭代法的收斂性討論）6給出矩陣，（為實數(shù)），試分別求出的取值范圍：(1) 使得用雅可比迭代法解方程組時收斂；(2) 使得用高斯-塞德爾迭代法解方程組時收斂。（雅可比、高斯-塞德爾迭代法及收斂性討論）7設，(1) 設是由雅可比迭代求解方程組所產(chǎn)生的迭代向量，且，試寫出計算的精確表達式。(2) 設是的精確解，寫出誤差的精確表達式。(3) 如構造如下的迭代公式解方程組，試確定的范圍，使迭代收斂。（雅可比迭代及其收斂判斷）8對于給定的線性方程組（1）討論雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法的收斂性。（2）對收斂的方法，取初值，迭代兩次，求出。（雅可比,高斯-塞德爾迭代法的計算和比較）9 證明對稱矩陣當為正定矩陣，且只有當時，用雅可比迭代法求解方程組才收斂。（雅可比迭代法的收斂性）第七章 非線性方程求根習題主要考察點：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根，迭代法求根的收斂性和收斂速度的討論。1用二分法求方程的正根，要求誤差小于0.05。（二分法）2說明方程 在區(qū)間1，2內(nèi)有惟一根，并選用適當?shù)牡ㄇ螅ň_至3位有效數(shù)），并說明所用的迭代格式是收斂的。（迭代法）3設有解方程的迭代法 (1)證明均有（為方程的根）。(2)此迭代法的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。 (3) 取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值。（和收斂性討論）4設，試證明：由 ，得到的序列收斂于。（收斂性證明）5 設方程在0,1內(nèi)的根為，若采用迭代公式，試證明：均有為方程的根)；此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。（迭代法和收斂性討論）6 方程在附近有根，把方程寫成3種不同的等價形式：(1) ，對應迭代格式：(2) ，對應迭代格式：(3) ，對應迭代格式：討論這些迭代格式在時的收斂性。若迭代收斂，試估計其收斂速度，選一種收斂格式計算出附近的根到4位有效數(shù)字。（收斂速度的計算和比較）7設 (1) 寫出解 的牛頓迭代格式；(2) 證明此迭代格式是線性收斂的。（牛頓迭代的構造與收斂速度）8 設計一個計算的牛頓迭代法，且不用除法（其中）。（牛頓迭代法）9 用牛頓法求的近似值，取或11為初始值，計算過程保留4位小數(shù)。（牛頓迭代的構造）10設是非線性方程的m重根，試證明：迭代法具有至少2階的收斂速度。（收斂速度證明）11設是非線性方程的m重根，證明：用牛頓迭代法求只是線性收斂。（收斂速度證明）12設，在附近有直到階的連續(xù)導數(shù)，且，試證：迭代法在附近是階收斂的。（收斂速度證明）第九章 常微分方程數(shù)值解習題主要考察點：歐拉方法的構造，單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論，線性多步法中亞當姆斯方法的構造和討論。1 用改進的歐拉公式，求以下微分方程的數(shù)值解（取步長），并與精確解作比較。（改進的尤拉公式的應用）2用四階龍格庫塔法求解初值問題，取, 求時的數(shù)值解. 要求寫出由直接計算的迭代公式，計算過程保留3位小數(shù)。（龍格庫塔方法的應用）3 用梯形方法解初值問題，證明其近似解為，并證明當時，它收斂于原初值問題的準確解。4對于初值問題，證明當時，歐拉公式絕對穩(wěn)定。（顯式和隱式歐拉公式的穩(wěn)定性討論）5證明梯形公式無條件穩(wěn)定。（穩(wěn)定性討論）6設有常微分方程的初