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Mathematic簡單教程 1 初等代數(shù)1.有理式的運算1. 多項式的展開(常用命令見表1.1) 表1.1 多項式的展開命令命令 說明Expandpoly展開多項式polyFactorpoly對多項式poly作因式分解FactorTermspoly提取數(shù)字公因子Exponentpoly,x多項式poly中x的最高次數(shù)Coefficientpoly,expr多項式poly中項expr的系數(shù)Polyn或Partpoly,n多項式poly的第n項Lengthpoly多項式poly的總項數(shù) In1:= f=Expand(x+y+3)2 Out1:= 9+6x+x2+6y+2xy+y2 In2:= Factorf Out2:= (3+x+y)2 In3:= Exponentf,x Out3:= 2 In4:= Coefficientf,x Out4:= 6+2y2. 有理式的運算(常用命令見表1.2)In5:= Factor(x3+2x+1)/(x3+x2+x+1)Out5:= (1+2x+x3)/(1+x)(1+x2)In6:= Apart%In6:= 1-1/(1+x)+1/(1+x2) 表1.3 有理式運算的常用命令 命令 說明Expanumberexpr展開分子Expandexpr展開分母Expandexpr展開分子,每項除以分母ExpandAllexpr分子,分母完全展開Numeratorexpr取出分式約簡后的分子Denominatorexpr取出分式約簡后的分母Togetherexpr通分Apartexpr分解為部分分式之和Cancelexpr約分Factorexpr將分子分母作因式分解,并約分3. 多項式的代數(shù)運算（常用命令見表1.3）表1.3 多項式代數(shù)運算的常用命令 命令 說明PolynomialQuotientp，q，xX的多項式p與q相除的商式PolynomialRemainderp，q，xX的多項式p與q相除的余式PolynomialGCDp1，p2，多項式p1，p2，的最大公因式PolynomialLCMp1，p2，多項式p1，p2，的最小公倍式In7：=PolynomialQuotient1+x2,x+1,xOut7:=-1+xIn8: =PolynomialGCDx2+2X+1,x3+1,x5+1Out8:=1+x1.2 方程求解表1.4 方程（組）求解的基本命令 命令 說明Solve方程或方程組，變量求方程組的精確解Nsolve方程或方程組，變量求方程（組）的（全部）進似解Findroot方程，變量，初值用Newton法求方程的一個近似解Findroot方程，變量，初值1，初值2用割線法求方程的一個解Findroot方程組，變量1，變量2，初值1，初值2，用Newton法求方程組的一組近似解Reduce方程，變量推導方程的解In1：=Solvea*x+b=0，xOut1=x-b/aIn2：=Reducea*x+b=0，xOut2= b=0&a=0a0&x=-b/aIn3: = FindRootSinx=0,x,3Out3= x-3.14159In4:= FindRootSinx=0,x,6,6.5Out4= x-6.28319In5:= FindRoot2x+y2=4,x2+Siny=1,x,0,y,02微積分In1: = LimitSinx/x，x-0 Out1=1In2:=DISinn*x,xOut2=nCosnx微積分的常用命令如表1.5所示，下面是一些例子。表1。5微積分的常用命令命令說明Limitfx,x-x0求極限D(zhuǎn)f,x求導數(shù)df/dx(或偏導數(shù))Df,x1,x2,求偏導數(shù)（f）Df,x,n 求高階導數(shù)dnf/dxn(或) Df,x,NonConstants-v1,v2.求導數(shù)df/dx,其中v1,v2是x的函數(shù)Dtf全微分 Dtf,x 全導數(shù)df/dxDtf,x1,x2全導數(shù)d/dx1d/dx2(f)Dtf,x,Constants-c1,c2 求導數(shù)df/dx，其中c1,c2.看作常數(shù)Integratef,x不定積分 Integratef,x,y. 不定積分Integratef,x,a,b 定積分Nintegratef,x,a,b 數(shù)值積分Integratef,x,a,b,y,c,d 二重積分NIntegratef,x,a,b,y,c,d數(shù)值積分Seriesf,x,x0,n展開冪級數(shù)Dsolveeqns,yx,x解常微分方程NDSolveeqns,yx,x,xmin,xmax求常微分方程在區(qū)間xmin,xmax的數(shù)值In3:=DSinn*x,x,3Out3=-n3Cosn xIn4:=DtSinn*x,xOut4=Cosn x(n +xDtn,x)In5:=DtSinn*x,x,Constants-nOut5= nCosn xIn6:= IntegrateLogx,xOut6= -x +xLogxIn7:=IntegrateTanx*Tany,x,0,1,y,0,1Out7 = LogCos12In8:= NintegrateExp-x2/2,x,0,InfinityOut8= 1.25331In9:= Dsolveyx-yx= =1,yx,x Out9= yx-1 +ExC1In10:= SeriesArcTanx,x,o,5Out10= x-x3/3 +x5/5 +0x63 線性代數(shù)31向量與矩陣的定義（常用命令見表1。6） 表1。6 向量與矩陣的定義的常用命令命令說明Arraya,n定義一個n維向量Arraya,m,n定義一個m行n列矩陣Tablefi,i,imin,imax,di元素為fI的向量TablefI,j,I,imin,imax,di,j,jmin,jmax,dj元素為fI,j的矩陣IdentityMatrixnn階單位矩陣In1:= A=Arraya,2,2; A1,1=2;a1,2=3;a2,1=4;a2,2=5;AOut2= 2,3,4.5 In3:= B=Table1.0,2,2Out3= 1.,1.1.,1.3.2 向量與矩陣的運算向量與矩陣都可以看作為集合，因此有關集合的運算都能適用于向量與矩陣。另外，向量與矩陣還有表1。7中的一些運算：表1。7 向量與矩陣的運算的常用命令命令說明A+cA為矩陣或向量， a為標量，A+c表示A中每個元素與c相加A+B(B-A)矩陣的加（減）法A，B為同階矩陣或向量c*A矩陣的數(shù)乘（ c為標量）u.v向量的內(nèi)積A.B矩陣的乘法DetA矩陣的行列式TransposeA矩陣的轉(zhuǎn)置InverseA矩陣求逆EigenvaluesA矩陣的特征值EigenvectorsA矩陣的特征向量EigensystemA矩陣的特征值與特征向量構成的集合FA將函數(shù)fx作用于矩陣A的每一元素In4:= R=A-2*B Out4= 0.,1.,2.,3.In5:= InverseR Out5= -1.5.,0.5,1,0In6:= EigenvectorsR Out6= -0.270323,-0.96277,-0.871928,0.489634In5:= ExpR Out6= 1.,2.71828,7.38906,20.0855 4 計算方法41插值Mathematica軟件中的插值有兩種形式：InterpoiatingPoiynomialdata，var 多項式插值Interpoiationdata 一般插值其中data為被插值的數(shù)據(jù)，形式為x1，y1，x2，y2，xn，ynvar為插值變量，一般可取為xIn1：= d=Tablex，Logx，x，1.0，3.0；InterpolatingPolynomiald，xOut2= （0.693147-0.143841（-2.+x）（-1.+x）In3：= dat=Tablex，Sinx，x，0.2，0.1；F=InterpolationdatOnt4= InterpolatingFuntion0.，2.，在上面的第二個例子中，輸出結果表示一個0，2上的插值函數(shù)，此插值函數(shù)無法給出表達式.我們可以比較函數(shù)Sinx與所得到的插值函數(shù)的誤差.In5：= PloySinx-fx，x，0，2-圖1.1擬合誤差圖有圖1.1可以看出，兩個函數(shù)的誤差相當小（數(shù)量級為10-6）.4.2擬合下面的命令用來對數(shù)據(jù)data進行最小二乘擬合.Fitdata，funs，vars其中data為要擬合的數(shù)據(jù)，funs為擬合函數(shù)的基，vars為擬合的變量.In6：= Cleard；D=Tablex,Logx,x,1,10,1;Fitd,1,x,x2,xOut8= -0.355396+0.529707x-0.0272091x24.3最優(yōu)化下面的命令用來求函數(shù)fx在x0附近的極小值.FindMinimumfx，x，x0In9：= t=FindMinimumSinx，x，5Out9= -1.，x-4.71239若要在程序中引用上面的結果中的函數(shù)的極小值或x的值，可以用下面的命令：In10：= t1Out10= -1.In11：= x/.t2，1（*在此處等價與x/.x-4.71239*）Out11= 4.17239 6編程6.1分支結構在復雜的計算中常需要根據(jù)表達式的情況（它是否滿足一些條件）確定是否做某些處理，或在滿足不同條件是做不同的處理。Mathematica軟件提供了一些描述條件分支的結構，它們常用在程序里，用于控制程序的執(zhí)行情況。If語句Mathematica軟件中If語句有三種形式。形式一：iftest,expr當test的值為True時，對expr求值，將它的值作為整個語句的值；當test的值為False時，則給出空值Null .形式二：Iftest,expr1,expr2當tesrt的值為 True時，求xpr1的值作為整個語句的值；當test的值為False時，求expr2的值作為整個語句的值。形式三:Iftest,expr1,expr2,expr3當tesrt的值為 True時，求xpr1的值作為整個語句的值；當test的值為False時，求expr2的值作為整個語句的值;當test求不出值為Tre與Fallse時, 求expr3值作為整個語句的值。In1:= absx_=Ifx=0,x,-xIn1中定義出的函數(shù)absx即為絕對值函數(shù)Absx.In2:= fx_:=Ifx.5,3,2,1In3:= f6Out3= 3In4:= f5Out4= 2In5:= faOut5= 12 .Which語句Whichtest1,expr1,test2,expr2,該語句依次出每個條件的值,當出第一個值為True的條件時,求出應表達式的值作為整個語句的值.例In6:= gx_:=Whichx=8,8,x=6,6,x=4,4,True,0 用”True”作為which語句的最后一個條件,可以處理”其它”情況.在此處即為,當x4時，gx_取值為62循環(huán)結構高級程序語言都提供了重復執(zhí)行的循環(huán)語句。在Mathematica軟件這也提供了一些類似的循環(huán)控制結構。1 Whiletest,expr在計算時，條件test先被求值。若求出值為True,則對表達式求值，然后再重復上述過程；一旦test 的值不是True，整個循環(huán)結構計算結束。例如下面的程序可用來計算與100!K=1;s=0;p=1;Whilek=100,s=s+k;p=p*k;k+;Print“s=”,s,”p=”,p2.Forstart,test,incr,body在計算時，其初始表達式start首先求值，然后進入循環(huán)，依次計算條件test，步進表達式incr與循環(huán)體body 。一旦test的值不是True, 整個循環(huán)結構計算結束。我們可以將上面的呈現(xiàn)用For循環(huán)的形式改寫如下：s=0;p=1;Fork=1,k=100,k+,s=s+k;p=p*k;Print“s=”,s,”p=”,p3.Doexpr,I,imin,imax,di在循環(huán)變量I依步長di從imin取道imax時，重復計算表達式expr.上述程序可用Do循環(huán)的形式寫為：s=0;p=1;fork=1,k=100,k+,s=s+k;p=p*k;Print“s=”,s,”p=”,p6.3過程在高級程序設計語言中提供了子程序功能，用來將某些語句串在一起以實現(xiàn)某種目的。Mathematca軟件中的過程也有類似的功能。在Mathematca軟件中主要有兩種過程。1,expr1;expr2;expn這一過程的輸出值為最后一個表達式exprn的值。下面的程序用來檢驗一個正整數(shù)是否可以寫成兩個素數(shù)的和。如果正整數(shù)x不能寫成兩個素數(shù)的和，則px是一個空集；如正整數(shù)x能寫成兩個素數(shù)的和，則px給出兩個素數(shù)構成的集合，這兩個素數(shù)的和為x.px_:= m=2;n=Floorx/2;s=; Whiles=&m=n, IfPrimeQm&7PrimeQx-m,s=m,x-m; m+; s2.Modulex=x0,y,e