高考數(shù)學必做61道圓錐曲線問題.pdf

1 高考高考數(shù)學數(shù)學必做必做 6161 道道圓錐曲線圓錐曲線問題問題 圓錐曲線圓錐曲線性質(zhì)性質(zhì)大全大全 一 一 神奇曲線 定義統(tǒng)一神奇曲線 定義統(tǒng)一 0 01 1 距離和差 軌跡距離和差 軌跡橢雙橢雙 0 02 2 距離定比 三線統(tǒng)一距離定比 三線統(tǒng)一 二 過二 過焦焦半徑半徑 相關(guān) 相關(guān)問題問題 0 03 3 切線切線焦徑焦徑 準線作法準線作法 0 04 4 焦點切線 焦點切線 射影射影是圓是圓 0 05 5 焦半徑圓 焦半徑圓 切于大圓 切于大圓 0 06 6 焦點弦 焦點弦圓 準線定位圓 準線定位 0 07 7 焦焦三角形三角形 內(nèi)內(nèi)心軌跡心軌跡 三 三 焦點焦點之弦 相關(guān)之弦 相關(guān)問題問題 08 焦焦點半徑 倒和點半徑 倒和定值定值 09 正交焦 正交焦弦弦 倒和定值 倒和定值 10 焦 焦弦弦中垂 焦交定長中垂 焦交定長 11 焦 焦弦弦投影 連線截中投影 連線截中 12 焦焦弦弦長軸 長軸 三三點共線點共線 13 對焦 對焦連線 互相垂直連線 互相垂直 14 相交焦相交焦弦弦 軌跡 軌跡準線準線 1515 相交焦弦 角分垂直 相交焦弦 角分垂直 16 定點定點交弦交弦 軌跡直線 軌跡直線 17 焦弦直線 焦弦直線 中 中軸軸分比分比 18 對偶對偶焦焦弦 比和弦 比和定值定值 2 四 相交四 相交之之弦弦 蝴蝶特征蝴蝶特征 1 19 9 橫點橫點交弦交弦 豎之豎之蝴蝶蝴蝶 2020 縱點交弦 橫之縱點交弦 橫之蝴蝶蝴蝶 2121 蝴蝶定理蝴蝶定理 一般情形 一般情形 五 切點五 切點之弦 之弦 相關(guān)問題相關(guān)問題 2 22 2 主軸分割 主軸分割 等比中項等比中項 2 23 3 定定點點割線 倒割線 倒和和兩兩倍倍 2 24 4 定點割線 定點割線 內(nèi)內(nèi)外定外定積積 2 25 5 主軸交點 切線平行主軸交點 切線平行 六 六 定點之弦 張定點之弦 張角角問題問題 2626 焦點之弦 張 焦點之弦 張角角相等相等 2727 定點之弦 張角仍等定點之弦 張角仍等 2828 對稱之點 三 對稱之點 三點共線點共線 2929 焦點切點 張角相等 焦點切點 張角相等 3030 傾角互補 連線定角 傾角互補 連線定角 七 七 動弦中點動弦中點 相關(guān) 相關(guān)問題問題 3131 動動弦弦中點 斜積定值中點 斜積定值 3232 切線 切線半徑半徑 斜積仍 斜積仍定定 3333 動 動弦中垂弦中垂 范圍特定 范圍特定 3434 定向定向中點中點 軌跡軌跡直徑直徑 3535 定點中點 定點中點 軌跡軌跡同型同型 八 八 向量內(nèi)積 向量內(nèi)積 定值問題定值問題 3636 焦弦張角 內(nèi)積定值焦弦張角 內(nèi)積定值 3 3737 存在定點 內(nèi)積仍 存在定點 內(nèi)積仍定定 九 其它重要性質(zhì)九 其它重要性質(zhì) 3838 光線反射光線反射 路徑路徑過焦過焦 3939 切線切線中中割割 切弦平行 切弦平行 4040 直周直周之之角角 斜過定點 斜過定點 4141 正交半徑 斜切定圓正交半徑 斜切定圓 4242 直徑端點直徑端點 斜積 斜積定值定值 4343 垂垂弦弦端點 交軌端點 交軌對偶對偶 4444 準線準線動動點點 斜率 斜率等差等差 4545 焦焦點點切線切線 距離距離等比等比 4646 共軛點 共軛點對 對 距離等積距離等積 4747 正交正交中點 中點 連線定點連線定點 4848 頂點切 頂點切圓圓 切線交準 切線交準 4949 平行焦徑平行焦徑 交點軌跡 交點軌跡 5050 內(nèi)接內(nèi) 內(nèi)接內(nèi)圓圓 切線永保 切線永保 5151 切線 切線正交正交 頂點頂點軌跡軌跡 5252 斜率定值 斜率定值 弦過定點弦過定點 5353 直線動點 切弦直線動點 切弦定點定點 5454 與圓 與圓四交四交 叉連互補 叉連互補 5555 交弦交弦積比 平行方等積比 平行方等 5656 補 補弦外弦外圓 切于同點圓 切于同點 5757 焦點焦點切切長 長 張角相等張角相等 5858 斜率積定 連線過定 斜率積定 連線過定 4 5959 切點連線 恒過定點切點連線 恒過定點 60 60 焦點準線焦點準線 斜率等差 斜率等差 1 1 61 61 焦點準線 斜率等差焦點準線 斜率等差 2 2 5 1 1 距離和差 軌跡橢雙 距離和差 軌跡橢雙 問題探究問題探究 1 1 已知動點Q在圓 A 22 4xy 上運動 定點 0 B 則 1 線段QB的垂直平分線與直線QA的交點P的軌跡是什么 2 若B MtM Q 直線l過點M與直線QA的交于點P 且0B M M P 則點Q的 實驗成果 動態(tài)課件 定圓上一動點與圓內(nèi)一定點 的垂直平分線與其半徑的交 點的軌跡是橢圓 定圓上一動點與圓外一定點 的垂直平分線與其半徑所在 直線的交點的軌跡是雙曲線 定直線 無窮大定圓 上一動 點與圓外一定點的垂直平分 線與其半徑所在直線的交點 的軌跡是拋物線 6 軌跡又是什么 2 2 距離定比 三線統(tǒng)一 距離定比 三線統(tǒng)一 問題探究問題探究 2 2 已知定點 1 0 A 定直線 1 l 3x 動點N在直線 1 l上 過點N且與 1 l垂直的直 實驗成果 動態(tài)課件 動點到一定點與到一定直線 的距離之比為小于1的常數(shù) 則動點的軌跡是橢圓 動點到一定點與到一定直線 的距離之比為大于1的常數(shù) 則動點的軌跡是雙曲線 動點到一定點與到一定直線 的距離之比為等于1的常數(shù) 則動點的軌跡是拋物線 7 線 2 l上有一動點 P 滿足 PA PN 請討論點 P 的軌跡類型 3 3 切線焦徑 準線作法 切線焦徑 準線作法 問題探究問題探究 3 3 已知兩定點 1 0 1 0 AB 動點P滿足條件8PAPB 另一動點 Q 滿足 0 0 PAPB QB PBQP PAPB 求動點 Q 的軌跡方程 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓上的一點處的切線與該 點的焦半徑的過相應(yīng)焦點的 垂線的交點的軌跡為橢圓相 應(yīng)之準線 雙曲線上的一點處的切線與 該點的焦半徑的過相應(yīng)焦點 的垂線的交點的軌跡為雙曲 線相應(yīng)之準線 拋物線上的一點處的切線與 該點的焦半徑的過相應(yīng)焦點 的垂線的交點的軌跡為拋物 線之準線 8 4 4 焦點切線 射影是圓 焦點切線 射影是圓 問題探究問題探究 4 4 已知兩定點 2 0 2 0 AB 動點P滿足條件2PAPB 動點 Q 滿足 0 P AP B QB PAPB 0 PAPB QP PAPB 求動點 Q 的軌跡方程 實驗成果 動態(tài)課件 焦點在橢圓切線上的射影 軌跡是以長軸為直徑的圓 焦點在雙曲線切線上的射 影軌跡是以實軸為直徑的 圓 焦點在拋物線切線上的射 影軌跡是切拋物線于頂點 處的直線 無窮大圓 9 5 5 焦半徑圓 切于大圓 焦半徑圓 切于大圓 問題探究問題探究 5 5 1 已知動點 P 在橢圓 22 1 43 xy 上 F 為橢圓之焦點 0PMFM 探究2 OMPF 是否為定值 2 已知點 P 在雙曲線 22 1 43 xy 上 F 為雙曲線之焦點 0PMFM 探究 實驗成果 動態(tài)課件 以焦半徑為直徑的圓必與 長軸為直徑的圓 此圓 簡 稱 大圓 與橢圓內(nèi)切 相切 以焦半徑為直徑的圓必與 實軸為直徑的圓 此圓 此 圓 簡稱 小圓 與雙曲 線外切 相切 以焦半徑為直徑的圓必與 切于拋物線頂點處的直線 此圓無窮大 實為頂點處 的切線 與曲線外切 相切 10 2 OMPF 是否為定值 6 6 焦點弦圓 準線定位 焦點弦圓 準線定位 問題探究問題探究 6 6 過拋物線yx4 2 上不同兩點 A B 分別作拋物線的切線相交于 P 點 0 PBPA 1 求點 P 的軌跡方程 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓中以焦點弦為直徑的 圓必與準線相離 雙曲線中以焦點弦為直徑 的圓必與準線相交 拋物線中以焦點弦為直徑 的圓必與準線相切 11 2 已知點 F 0 1 是否存在實數(shù) 使得0 2 FPFBFA 若存在 求出 的值 若不存在 請說明理由 7 7 焦三角形 內(nèi)心軌 焦三角形 內(nèi)心軌跡跡 問題探究問題探究 7 7 1 已知動點 P 在橢圓 22 1 43 xy 上 12 F F為橢圓之左右焦點 點G為 12 FPF 的內(nèi) 心 試求點G的軌跡方程 2 已知動點 P 在雙曲線 22 1 43 xy 上 12 F F為雙曲線之左右焦點 圓G是 12 FPF 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓焦點三角形的內(nèi)切圓圓心 軌跡是以原焦點為頂點的橢圓 雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓 心軌跡是以過雙曲線實頂點的 兩條平行且垂直于實軸的開線 段 長為 2b 拋物線焦點三角形 另一焦點在 無窮遠處 的內(nèi)切圓圓心軌跡是 以原拋物線焦點為頂點的拋物 線 12 的內(nèi)切圓 探究圓G是否過定點 并證明之 8 8 焦點半徑 倒和定值 焦點半徑 倒和定值 問題探究問題探究 8 8 已知橢圓 22 1 43 xy 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線交橢圓于 A B 兩點 是 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓的焦點弦的兩個焦半徑 倒數(shù)之和為常數(shù) 1 BF1 1 AF1 2 ep 雙曲線的焦點弦的兩個焦半 徑倒數(shù)之和為常數(shù) AB在同支 11 112 AFBFep AB在異支 11 112 AFBFep 拋物線的焦點弦的兩個焦半 徑倒數(shù)之和為常數(shù) 1 BF 1 AF 2 ep 13 否存在實常數(shù) 使ABFAFB 恒成立 并由此求AB的最小值 借用柯西不 等式 9 9 正交焦弦 倒和定值 正交焦弦 倒和定值 問題探究問題探究 9 9 已知橢圓 22 1 43 xy 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線 12 l l分別交橢圓于 A B 兩點 和 C D 兩點 且 12 ll 是否存在實常數(shù) 使ABCDAB CD 恒成 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓互相垂直的焦點弦倒數(shù)之 和為常數(shù) ep e CDAB2 2 1 1 2 雙曲線互相垂直的焦點弦倒數(shù) 之和為常數(shù) ep e CDAB2 2 1 1 2 拋物線互相垂直的焦點弦倒數(shù) 之和為常數(shù) ep e CDAB2 2 1 1 2 14 立 并由此求四邊形ABCD面積的最小值和最大值 1010 焦弦中垂 焦交定長 焦弦中垂 焦交定長 問題探究問題探究 1010 已知橢圓 22 1 43 xy 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線交橢圓于 A B 兩點 AB 中垂線交x軸于點 D 是否存在實常數(shù) 使 1 ABFD 恒成立 實驗成果 動態(tài)課件 設(shè)橢圓焦點弦 AB的中垂 線與長軸的交點為 D 則 FD與AB之比是離心率 的一半 設(shè)雙曲線焦點弦 AB 的中 垂線與焦點所在軸的交 點為 D 則FD與AB之 比是離心率的一半 設(shè)拋物線焦點弦 AB 的中 垂線與對稱軸的交點為 D 則FD與AB之比是離 心率的一半 15 1111 焦弦投影 連線截中 焦弦投影 連線截中 問題探究問題探究 1111 已知橢圓 22 1 43 xy 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線 1 l交橢圓于 A B 兩點 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓的焦點弦的端點在相 應(yīng)準線上的投影與焦點弦 端點的交叉連線與對稱軸 的交點平分焦點與準線和 對稱軸的交點線段 雙曲線的焦點弦的端點在 相應(yīng)準線上的投影與焦點 弦端點的交叉連線與對稱 軸的交點平分焦點與準線 和對稱軸的交點線段 拋物線的焦點弦的端點在 相應(yīng)準線上的投影與焦點 弦端點的交叉連線與對稱 軸的交點平分焦點與準線 與對稱軸的交點線段 16 直線 2 l4x 交x軸于點 G 點 A B在直線 2 l上的射影分別是 N M 設(shè)直線 AM BN 的交點為 D 是否存在實常數(shù) 使 1 GDDF 恒成立 1212 焦弦長軸 三點共線 焦弦長軸 三點共線 問題探究問題探究 1212 實驗成果 動態(tài)課 件 橢圓焦點弦端點 A B 與 長軸頂點 D 連線與相應(yīng)準 線的交點 N M 則 N C B 三點共線 M C A 三 點共線 雙曲線焦點弦端點 A B 與實軸頂點 D 連線與相應(yīng) 準線的交點 N M 則 N C B 三點共線 M C A 三點共線 拋物線焦點弦端點 A B 與頂點 D D 在無窮遠處 連線與準線的交點 N M 則 N C B 三點共線 M C A 三點共線 17 已知橢圓 22 1 43 xy 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線 1 l交橢圓于 A B 兩點 C D分別為橢圓的左右頂點 動點P滿足 PAAD PCCB 試探究點P的軌跡 1313 對焦連線 互相垂直 對焦連線 互相垂直 問題探究問題探究 1313 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓左焦點弦端點 A B 與 右頂點 D 連線 AD BD 交相 應(yīng) 準 線 于 點 N M 則 11 NFMF 雙曲線左焦點弦端點 A B 與右頂點 D 連線 AD BD 交 相應(yīng)準線于點 N M 則 11 NFMF 拋物線焦點弦端點 A B 與 頂點 D 無窮遠處 連線交 相應(yīng)準線于點 N M 則 NFMF 18 已知雙曲線 22 1 31 xy 1 F為雙曲線之左焦點 過點 1 F的直線 1 l交雙曲線于 A B 兩點 C D分別為雙曲線的左右頂點 動點P滿足 11 PAAD PCCB 動點Q滿 足 22 QAAC QBBD 試探究 1 PFQ 是否為定值 1414 相交焦弦 軌跡準線 相交焦弦 軌跡準線 問題探究問題探究 1414 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓的任意兩焦點弦端點所在直 線交點的軌跡是準線 本性質(zhì)還可解釋圓也有準線 在無 窮遠處 因為當焦點逐步向中心靠攏時準 線逐步外移 雙曲線的任意兩焦點弦端點所在 直線交點的軌跡是準線 拋物線的任意兩焦點弦端點所在 直線交點的軌跡是準線 19 已知橢圓 22 1 43 xy 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線 12 l l分別交橢圓于 A B 兩點 和 C D 兩點 直線 3 l4x 直線 AD 交直線 3 l于點 P 試判斷點 P B C 是否三點共線 并證明之 15 相交焦弦 角分垂直 相交焦弦 角分垂直 問題探究問題探究 1515 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓的任意兩焦點弦 AB CD 端點所在直線AD和BC交點P 必在準線上且交點 P 與焦點 2 F 的連線平分角 2 BF D 雙曲線的任意兩焦點弦 AB CD 端點所在直線 AD 和 BC 交 點 P 必在準線上且交點 P 與焦 點 1 F的連線平分角 1 AFC 拋物線的任意兩焦點弦 AB CD 端點所在直線 AC 和 BD 交 點 P 必在準線上且交點 P 與焦 點F的連線平分角 AFD 20 已知橢圓 22 1 43 xy 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線 12 l l分別交橢圓于 A B 兩點 和 C D 兩點 直線 3 l4x 直線 AD 交直線 3 l于點 P 試證明 11 PFAPFD 1616 定點交弦 軌跡直線 定點交弦 軌跡直線 問題探究問題探究 1616 實驗成果 動態(tài)課件 過橢圓長軸直線上任意一點 N 0 t 的兩條弦端點的直線的交 點的軌跡是一定直線 t a x 2 過雙曲線實軸直線上任意一點 N 0 t 的兩條弦端點的直線的 交點的軌跡是一定直線 t a x 2 過拋物線對稱軸上任意一定點 N 0 t 的兩條弦端點的直線的 交點的軌跡是一定直線tx 21 已知橢圓 22 1 84 xy 過點 2 0 N的直線 12 l l分別交橢圓于 A B 兩點 和 C D 兩 點 設(shè)直線 AD 與直線 CB 交于點 P 試證明點 P 的軌跡為直線4x 1717 焦弦直線 中軸分比 焦弦直線 中軸分比 問題探究問題探究 1717 已知橢圓 22 1 84 xy 點 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線 1 l分別交橢圓于 A B 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 橢圓的焦點弦所在直線被曲橢圓的焦點弦所在直線被曲 線及短軸直線所分比之和為線及短軸直線所分比之和為 定值 定值 雙曲線的焦點弦所在直線被雙曲線的焦點弦所在直線被 曲線及曲線及虛虛軸直線所分比之和軸直線所分比之和 為定值 為定值 過拋物線的焦點弦所在直線過拋物線的焦點弦所在直線 被曲線及頂點處的切線所分被曲線及頂點處的切線所分 比之和為定值 比之和為定值 22 兩點 設(shè)直線 AB 與y軸于點M 11 MAAF MBBF 試求 的值 1818 對偶焦弦 比和定值 對偶焦弦 比和定值 23 問題探究問題探究 1818 已 知 方 向 向 量 為已 知 方 向 向 量 為 1 3 e 的 直 線的 直 線l過 點過 點 0 2 3 A 和橢圓和橢圓 22 22 1 xy C ab 0 ab 的焦點 的焦點 且橢圓且橢圓C的中心的中心O和橢圓的右準和橢圓的右準線上的點線上的點B滿滿 足 足 0 OB eABAO 求橢圓 求橢圓C的方程 的方程 設(shè)設(shè)E為橢圓為橢圓C上任一點 過焦點上任一點 過焦點 12 F F的弦分別的弦分別 為為 ES ET 設(shè)設(shè) 111 EFFS 222 EFFT 求 求 12 的的 值 值 1919 橫點交弦 豎之蝴蝶 橫點交弦 豎之蝴蝶 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 過橢圓上任過橢圓上任一一點點 A 作兩焦點作兩焦點 的焦點弦的焦點弦 AC 和和 AB 其共線 其共線 向量向量模的模的比之和為定值 即比之和為定值 即 111 222 2 12 2 1 21 AFm FB AFm F B e mm e 為定值 過雙曲線上任過雙曲線上任一一點點 A 作兩焦作兩焦 點的焦點弦點的焦點弦 AC 和和 AB 其共 其共 線向量線向量模的模的比之和為比之和為定值 即定值 即 111 222 2 12 2 1 21 AFm FB AFm F B e mm e 為定值 注注 圖中測算不是向量 故 中間一式用的是差 由于拋物線的開放性 焦點只由于拋物線的開放性 焦點只 有一個 故準線相應(yīng)地替換了有一個 故準線相應(yīng)地替換了 焦點 即焦點 即 PA m1AF PB m2BF m1 m2 0 24 問題探究問題探究 1919 已知拋物線 2 2yx 過點 2 0 T的動直線l 交拋物線于A B兩點 過A B分別作切線 12 l l 點P在拋物線上 且PTx軸 3 l 是拋物線在 P 處的切線 若 4 l過點T且 43 ll交 12 l l 于 N M 交拋物線于 C D 試 探索CNDM 是否成立 2020 縱點交弦 橫之蝴蝶 縱點交弦 橫之蝴蝶 實驗成果 動態(tài)課 件 過橢圓長軸所在直線上任意一點 T 0 t 的兩條弦 AB 和 CD 端點 的直線 AD 和 BC 截過 T 點的垂 線段 NM 12 NMFF 相等 即 NT TM 過雙曲線實軸所在直線上任意一 點 T 0 t 的兩條弦 AB 和 CD 端點 的直線 AD 和 BC 截過 T 點的垂 線段 NM 12 NMFF 相等 即 NT TM 過拋物線對稱軸上任意一點 T 0 t 的兩條弦 AB 和 CD 端點 的直線 AC 和 BD 截過 T 點的垂 線段 NM NMFT 相等 即 NT TM 25 問題探究問題探究 2020 已知橢圓 22 1 84 xy 過點T 1 0 的直線 12 l l分別交橢圓于 A B 兩點 和 C D 兩 點 設(shè)直線 3 l過點 T 且 3 lx 軸 交 ACBD ll于點 N M 試證明TNTM 實驗成果 動態(tài)課件 過橢圓短軸上任意一點M的兩條 弦端點作兩條直線 一定截過 M 點與對稱軸垂直的直線為相等的 線段 PM MQ 過雙曲線虛軸上任意一點 N 0 t 的兩條弦端點作兩條直線 一定截 過 N 點與對稱軸垂直的直線為相 等的線段 PM MQ 過拋物線對稱軸上任意一點 N 0 t 的兩條弦端點作兩條直線 一定截過 N 點與對稱軸垂直的直 線為相等的線段 PM MQ 26 2121 蝴蝶定理 一般 蝴蝶定理 一般情形情形 實驗成果 動態(tài)課件 過橢圓直徑所在直線上任意一點T作的兩條弦 AB CD 過其端點作兩條直線 AC 和 BD 截 過 T 點與 N 點切線平行的直線段 被 T 點平 分 即 MT TR N 點為主軸 OT 與曲線的交 點 過雙曲線直徑所在直線上任意一點T作的兩條 弦 AB CD 過其端點作兩條直線 AC 和 BD 截過 T 點與 N 點切線平行的直線段 被 T 點 平分 即 MT TR N 點為主軸 OT 與曲線的 交點 過平行于拋物線對稱軸的直線上任意一點T作 兩條弦 AB CD 過其端點作兩條直線 AC BD 截過 T 點與 N 點切線平行的直線段 被 T 點平分 即 MT TR N 點為主軸 NT 與曲線 的交點 27 2222 主軸分割 等比中項 主軸分割 等比中項 問題探究問題探究 2222 已知橢圓 22 1 84 xy 過原點 0 0 O 點T 2 1 的直線l交橢圓于點 N 過點 T 的中 點弦為 AB 過 A B 分別作切線 12 l l且交于點 P 求證 2 OTOPON 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 過過橢圓中心橢圓中心 O O 與點與點 00 P xy的連線交的連線交橢圓橢圓于于 N N 交切 交切 點弦于點點弦于點 Q Q 則 則 2 OQ OPON 且 且 Q Q 點平分切點平分切 點弦點弦 ABAB 無論點 無論點 P P 在曲線的什么位置 上述結(jié)論均在曲線的什么位置 上述結(jié)論均 成立 且點成立 且點 P P 與直線與直線 00 1Ax xBy y 沿直線沿直線 POPO 作作 反向運動 反向運動 雙曲線中心雙曲線中心 O O 與點與點 00 P xy的連線交的連線交雙曲線雙曲線于于 N N 交 交 切點弦于點切點弦于點 Q Q 則 則 2 OQ OPON 且且 Q Q 點平分切點弦點平分切點弦 ABAB 無論點 無論點 P P 在曲線的什么位置 在曲線的什么位置 上述結(jié)論均成立 且點上述結(jié)論均成立 且點 P P 與直線與直線 00 1Ax xBy y 沿沿 直線直線 POPO 作反向運動 作反向運動 設(shè)過點設(shè)過點 P P 與與拋物線對稱軸平行拋物線對稱軸平行 中心在對稱軸方向的 無窮遠處 的直線的直線交交拋物線拋物線于于 N N 交切點弦于點 交切點弦于點 Q Q 則 則 2 O Q O PO N 且 且 Q Q 點平分切點弦點平分切點弦 ABAB 無 無 論點論點 P P 在曲線的什么位置 上述結(jié)論均成立 且點在曲線的什么位置 上述結(jié)論均成立 且點 P P 與直線與直線 00 y yp xx 作反向運動 作反向運動 28 2323 定點割線 倒和兩倍 定點割線 倒和兩倍 問題探究問題探究 2222 過拋物線 2 yx 外一點 2 0 P作拋物線的兩條切線 PA PB 切點分別為 A B 另 一直線l過點 P 與拋物線交于兩點 C D 與直線 AB 交于點 Q 試探求 PQPQ PCPD 的 值是否為定值 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 過過 橢 圓橢 圓 22 1AxBy 外 一 點外 一 點 00 P xy的任一直線與橢圓的兩個的任一直線與橢圓的兩個 交 點 為交 點 為 C C D D 與 橢 圓 切 點 弦 與 橢 圓 切 點 弦 00 1Ax xBy y 的交點為的交點為 Q Q 則 則 112 PCPDPQ 成立 反之亦成立 反之亦 然 然 雙 曲 線雙 曲 線 22 1AxBy 外 一 點外 一 點 00 P xy的任一直線與雙曲線的兩的任一直線與雙曲線的兩 個交點為個交點為 C C D D 與雙曲線切點弦 與雙曲線切點弦 00 1Ax xBy y 的交點為的交點為 Q Q 則 則 112 PCPDPQ 成立 反之亦成立 反之亦 然 然 2 2 PAPB b KK a 過拋物線外一點過拋物線外一點 P P 的任一直線與拋的任一直線與拋 物線的兩個交點為物線的兩個交點為 C C D D 與拋物線 與拋物線 切 點 弦 的 交 點 為切 點 弦 的 交 點 為Q Q 則 則 112 PCPDPQ 成立 反之亦成立 反之亦 然 然 29 2424 定點割線 定點割線 內(nèi)內(nèi)外定積外定積 問題探究問題探究 2323 過橢圓 22 1 43 xy 外一點 2 2 P作直線l與橢圓交于兩點 C D 點 Q 在線段 CD 上 且滿足CP QDPD CQ 試探求點 Q 的軌跡 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 過過橢圓橢圓 22 1AxBy 外一點外一點P P的任一直的任一直 線與橢圓的兩個交點為線與橢圓的兩個交點為 C C D D 點 點 Q Q 是此是此 直線上 另一點 且滿足直線上 另一點 且滿足 CP QDPD CQ 則點則點 Q Q 的軌跡即為的軌跡即為 切點弦切點弦 00 1Ax xBy y 反之亦然 反之亦然 過過雙曲線雙曲線 22 1AxBy 外一點外一點P P的任一的任一 直線與雙曲線的兩個交點為直線與雙曲線的兩個交點為 C C D D 點 點 Q Q 是 此 直 線 上 另 一 點 且 滿 足是 此 直 線 上 另 一 點 且 滿 足 CP QDPD CQ 則點則點 Q Q 的軌跡即為的軌跡即為 切點弦切點弦 00 1Ax xBy y 反之亦然 反之亦然 過拋物線外一點過拋物線外一點 P P 的任一直線與拋物線的任一直線與拋物線 的兩個交點為的兩個交點為 C C D D 點 點 Q Q 是此直線上另是此直線上另 一點 且滿足一點 且滿足CP QDPD CQ 則點則點 Q Q 的軌跡即為切點弦 反之亦然 的軌跡即為切點弦 反之亦然 30 2525 主軸交點 切線平行 主軸交點 切線平行 問題探究問題探究 2424 過拋物線 2 yx 外一點 2 0 P作拋物線的兩條切線 PA PB 切點分別為 A B 另 一直線l 2x 與拋物線交于點 N 與直線 AB 交于點 Q 求證 1 N 點處的切 線與直線 AB 平行 2 AQQB 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 橢圓橢圓 22 1AxBy 中心中心 O O 與橢與橢 圓外一點圓外一點 00 P xy的直線與橢的直線與橢 圓的交點處的切線平行于橢圓圓的交點處的切線平行于橢圓 的切點弦的切點弦 00 1Ax xBy y 雙曲線雙曲線 22 1AxBy 中心中心 O O 與與 雙曲線外一點雙曲線外一點 00 P xy的直線的直線 與雙曲線的交點處的切線平行與雙曲線的交點處的切線平行 于雙曲線的切點弦于雙曲線的切點弦 00 1Ax xBy y 過拋物線中心過拋物線中心 O O 這中心在無窮 這中心在無窮 遠處 與拋物線外一點遠處 與拋物線外一點 00 P xy 的直線與拋物線的交點處的切的直線與拋物線的交點處的切 線平行于拋物線的切點弦線平行于拋物線的切點弦 31 2626 焦點之弦 張角相等 焦點之弦 張角相等 問題探究問題探究 2626 已知橢圓 22 1 84 xy 點 1 F為橢圓之左焦點 過點 1 F的直線 1 l分別交橢圓于 A B 兩點 問是否在 x 軸上存在一點 P 使得斜率 0 PAPB kk 實驗成果 動態(tài)課 件 橢圓準線與長軸的交點 G 與 焦半徑端點 A B 連線 AG BG 所成角AGB 被長軸平分 雙曲線準線與長軸的交點 G 與焦半徑端點A B連線AG BG 所成角AGB 被長軸平分 拋物線準線與長軸的交點 G 與焦半徑端點A B連線AG BG 所成角AGB 被長軸平分 32 2727 定點之弦 張角仍等 定點之弦 張角仍等 問題探究問題探究 2 27 7 已知雙曲線 22 1 31 xy 過 0 N t點的直線 1 l交雙 曲線于 A B 兩點 問是否在 x 軸上存在一點 P 使得斜率0 PAPB kk 實驗成果 動態(tài)課件 過橢圓長軸上任意一定點N 0 t 的一條弦 AB 端點與對應(yīng)點 2 0 a G t 的連線所成角AGB 必被 對稱軸 NG 所在直線 平分 過實軸所在直線上任意一定點 N 0 t 的一條弦 AB 端點與對 應(yīng)點 2 0 a G t 的連線所成角AGB 被對稱軸 NG 所在直線 平分 過對稱軸上任意一定點 N 0 t 的一條弦 AB 端點與對應(yīng)點 0 Gt 的連線所成角AGB 被對 稱軸 NG 所在直線 平分 33 2828 對稱之點 三點共線 對稱之點 三點共線 問題探究問題探究 2 28 8 拋物線 2 4yx 直線l過點 0 F t并交拋物線于 M N 若 0 FNMF 直線 xt 與 x 軸交于點 E 試探究 ENEMEF 與的夾角是否為定值 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 過點過點 Q t 0 Q t 0 的直線交橢圓于的直線交橢圓于 ABAB 兩點 點兩點 點 A A 關(guān)于關(guān)于 x x 軸的對稱點軸的對稱點 A A 則點則點 A A B B 2 0 a P t 三點共線 三點共線 過點過點 Q t 0 Q t 0 的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于 ABAB 兩點 兩點 點點 A A 關(guān)于關(guān)于 x x 軸的對稱點軸的對稱點 A A 則點則點 A A B B 2 0 a P t 三點共線 三點共線 過點過點P t 0 P t 0 的任一直線交橢圓于的任一直線交橢圓于ABAB兩點 兩點 點點 A A 關(guān)于關(guān)于 x x 軸的對稱點軸的對稱點 A A 則點則點 A A B B P P t 0 t 0 三點共線 三點共線 34 2929 焦點切點 張角相等 焦點切點 張角相等 問題探究問題探究 2 29 9 過點 2 0 P作拋物線 2 4xy 的切線 PA 斜率不為 0 F為焦點 研究斜率 PFPAPB kkk與 的關(guān)系 實驗成果 動態(tài)課件 過橢圓外一點 P 作橢圓的兩 條切線 PA PB 點 P 與焦點 連線 12 PF PF 則 12 APFBPF 過雙曲線外一點 P 作雙曲線 的兩條切線 PA PB 點 P 與 焦 點 連 線 12 PF PF 則 12 APFBPF 過拋物線外一點 P 作拋物線 的兩條切線 PA PB 點 P 與 焦點連線 12 PF PF 另一焦點在 無窮遠處 則 12 APFBPF 35 3030 傾角互補 連線定角 傾角互補 連線定角 問題探究問題探究 3030 過點 1 2 P作直線 PA PB 分別交拋物線 2 4yx 于 A B 兩點 且斜率0 PBPA kk 1 探究直線 AB 的斜率是否為定值 2 試研究三角形 PAB 的面積是否有 最大值 實驗成果 動態(tài)課件 過橢圓上一定點傾角互補的兩直線與橢圓的 另兩交點的連線的傾角為定值 過雙曲線上一定點傾角互補的兩直線與橢圓 的另兩交點的連線的傾角為定值 過拋物線上一定點傾角互補的兩直線與橢圓 的另兩交點的連線的傾角為定值 36 3131 動弦中點 斜積定值 動弦中點 斜積定值 問題探究問題探究 3131 已知橢圓 22 1 84 xy 的動弦 AB 的中點為 M 試研究斜率 ABOM kk是否為定值 O 為 原點 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 圓的弦的斜率與其中點和圓中圓的弦的斜率與其中點和圓中 心連線的斜率積為定值心連線的斜率積為定值 1 PAPB KK 橢圓的弦的斜率與其中點和橢橢圓的弦的斜率與其中點和橢 圓中心連線的斜率積為定值圓中心連線的斜率積為定值 2 2 PAPB b KK a 雙曲線的弦的斜率與其中點和雙曲線的弦的斜率與其中點和 雙曲線中心連線的斜率積為定雙曲線中心連線的斜率積為定 值值 2 2 PAPB b KK a 37 3232 切線半徑 斜積仍定 切線半徑 斜積仍定 問題探究問題探究 3232 已知點 P 為橢圓 22 1 84 xy 上的動點 設(shè)點 P 的切線斜率為k 試研究斜率 OP kk是 否為定值 O 為原點 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 圓切線與圓切線與切線處切線處半徑的斜率積半徑的斜率積 為定值為定值 1 POL KK 橢圓切線與切點橢圓切線與切點和和中心連線的中心連線的 斜率積為定值斜率積為定值 2 2 POL b KK a 雙曲線切線與切點雙曲線切線與切點和和中心連線中心連線 的斜率積為定值的斜率積為定值 2 2 POL b KK a 38 3333 動弦中垂 范圍特定 動弦中垂 范圍特定 問題探究問題探究 3333 已知橢圓 22 1 84 xy 的動弦AB的中垂線交x軸于點 0 0 P x 試研究 0 x的取值范圍 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 橢圓的動弦橢圓的動弦 ABAB 的中垂線的中垂線 MQMQ 必必 不過焦點 不過焦點 ABAB 不垂直于長軸 不垂直于長軸 若 設(shè)若 設(shè) 0 Q t 則 必 有 則 必 有 cetce e 為離心率 為離心率 c 為半焦距 為半焦距 雙曲線的動弦雙曲線的動弦 ABAB 的中垂線的中垂線 MQMQ 必不過焦點 必不過焦點 ABAB不垂直于長軸 不垂直于長軸 若 設(shè)若 設(shè) 0 Q t 則 必 有 則 必 有 cetce e 為離心率 為離心率 c 為半焦距 為半焦距 拋物線的動弦拋物線的動弦 ABAB 的中垂線的中垂線 MQMQ 必不過焦點 必不過焦點 ABAB 不垂直于對稱不垂直于對稱 軸 軸 若設(shè)若設(shè) 0 Q t 則必有 則必有tp P 為焦準距 為焦準距 39 3434 定向中點 軌跡 定向中點 軌跡直徑直徑 問題探究問題探究 3434 1 對于給定的橢圓 怎樣用圓規(guī)和直尺找出橢圓的中心 對稱軸 頂點 焦點 準線 2 對于給定的雙曲線 怎樣用圓規(guī)和直尺找出雙曲線的中心 對稱軸 頂點 焦點 準線 漸近線 3 對于給定的拋物線 怎樣用圓規(guī)和直尺找出拋物線的對稱軸 頂點 焦點 準線 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 橢圓的定向弦橢圓的定向弦 ABAB 的中點軌跡的中點軌跡 是是過橢過橢圓中心的線段 圓中心的線段 雙曲線的定向弦雙曲線的定向弦 ABAB 的中點軌的中點軌 跡跡是過是過雙曲線中心的直線 雙曲線中心的直線 拋物線的定向弦拋物線的定向弦 ABAB 的中點軌的中點軌 跡為平行于拋物線對稱軸的跡為平行于拋物線對稱軸的 射線 射線 40 3535 定點中點 軌跡 定點中點 軌跡同型同型 問題探究問題探究 3 35 5 過點 00 P xy的直線交拋物線 2 2yx 于 AB 兩點 試探求 AB 中點的軌跡 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 橢圓的定點弦橢圓的定點弦 ABAB 的中的中 點軌跡為原橢圓內(nèi)的點軌跡為原橢圓內(nèi)的 橢圓弧橢圓弧 雙曲線的定點弦雙曲線的定點弦 ABAB 的的 中點軌跡為雙曲線中點軌跡為雙曲線 拋物線的定點弦拋物線的定點弦 ABAB 的的 中點軌跡為拋物線 中點軌跡為拋物線 41 3636 焦弦張角 內(nèi)積定值 焦弦張角 內(nèi)積定值 問題探究問題探究 3 36 6 已知橢圓 22 1 43 xy 直線過焦點F 1 0 交橢圓于 A B 兩點 是否存在一定點 P 使PA PB 為定值 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 在在橢橢圓圓焦點所在直線上必存在一定點 它與焦點所在直線上必存在一定點 它與 焦點弦端點所張的向量點積為定值 且在橢焦點弦端點所張的向量點積為定值 且在橢 圓 情形下定點坐標為圓 情形下定點坐標為 2 3 0 2 ce ce為半焦距 為離心率 2 24 1 4 c CA CBee 在在雙雙曲線焦點所在直線上必存在一定點 它曲線焦點所在直線上必存在一定點 它 與焦點弦端點所張的向量點積為定值 且在與焦點弦端點所張的向量點積為定值 且在 雙曲線情形下定點坐標為雙曲線情形下定點坐標為 2 3 0 2 ce ce為焦點坐標 離心率 2 24 1 4 c CA CBee 在在拋物拋物線線對稱軸對稱軸上必存在一定點 它與焦點上必存在一定點 它與焦點 弦端點所張的向量點積為定值 弦端點所張的向量點積為定值 在拋物線在拋物線 2 2ypx 情形下定點情形下定點 C 恰為頂點恰為頂點 2 3 4 p CA CB 42 3737 存在定點 內(nèi)積仍定 存在定點 內(nèi)積仍定 問題探究問題探究 3737 已知橢圓 22 1 41 xy 直線過點Q 1 0 交橢圓于 A B 兩點 是否存在一定點 P 使 PA PB 為定值 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 過橢圓長軸直線上任過橢圓長軸直線上任一定一定點點 0 P n的直線交橢圓于的直線交橢圓于 A B 兩 點 則 必 存 在 一 定 點兩 點 則 必 存 在 一 定 點 22 1 0 22 ce Qn n 它 與 它 與 AB 弦端點所張的向量點積為弦端點所張的向量點積為 定定值 值 ce為焦點坐標 離心率 過雙曲線實軸直線上任一定點過雙曲線實軸直線上任一定點 0 P n的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于 A B 兩點 則必存在一定點兩點 則必存在一定點 22 1 0 22 ce Qn n 它與 它與 AB 弦端點所張的向量點積為弦端點所張的向量點積為 定值 定值 ce為焦點坐標 離心率 過拋物線過拋物線 2 2ypx 對稱軸直對稱軸直 線上任一定點線上任一定點 0 P n的直線的直線 交拋物線于交拋物線于 A B 兩點 則必兩點 則必 存在一定點定點存在一定點定點 C 恰為頂點恰為頂點 2 3 4 p CA CB 43 3838 光線反射 路徑過焦 光線反射 路徑過焦 問題探究問題探究 3 38 8 要測試一只音響的聲音效果 請你設(shè)計出一個測試房間 使測試效果盡可能準 確 實驗成果 動態(tài)課件 由焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓曲 面反射后的光線必過另一焦 點 由焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲面 反射后的光線所在直線必過 另一焦點 由焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物面 反射后的光線必過另一焦點 另一焦點在無窮遠處 故 反射光線會平行于對稱軸 44 39 切線中割 切弦平行 切線中割 切弦平行 問題探究問題探究 3939 拋物線拋物線 2 yx 上一點上一點 1 1 H 點 點 P P 是以是以 H H 為切點的切線上一點 點為切點的切線上一點 點 M M 滿足滿足PMMH 過點 過點 P P 的直線的直線 1 l 交曲線于交曲線于 A D兩點 過兩點 過 M M D D 的直線的直線 2 l交曲線于交曲線于C點 過點 過 P P C C 的直線的直線 3 l交曲線于交曲線于B點 點 求證 求證 0 ABPH 實驗成果 動態(tài)課件 過橢圓外一定點與切點連線的中 點的任一直線交橢圓于兩點 這 兩點分別與定點的連線交橢圓于 另兩點 這兩點連線的斜率與切 線斜率相等 過雙曲線外一定點與切點連線的 中點的任一直線交雙曲線于兩 點 這兩點分別與定點的連線交 雙曲線于另兩點 這兩點連線的 斜率與切線斜率相等 過拋物線外一定點與切點連線的 中點的任一直線交拋物線于兩 點 這兩點分別與定點的連線拋 物線于另兩點 這兩點連線的斜 率與切線斜率相等 45 40 直周之角 斜過定點 直周之角 斜過定點 問題探究問題探究 4040 拋物線 2 yx 上一點P 1 1 A B 是拋物線上另兩點 且PA PB 0 PQPAPB 1 試探求點 Q 的軌跡 2 試探求直線 AB 是否過定點 實驗成果 動態(tài)課件 以橢圓上一定點 00 P xy為直角頂點的 橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點 且 定點恰在斜邊的中點軌跡上 若直角頂點在橢圓上運動時 其對應(yīng)的定 點 2222 00 2222 abab Gxy abab 在一新的 橢圓上運動 以雙曲線上一定點 00 P xy為直角頂點 的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定 點 且定點恰在斜邊的中點軌跡上 若直角頂點在雙曲線上運動時 其對應(yīng)的 定點 2222 00 2222 abab Gxy abab 在一新 的雙曲線上運動 以拋物線上一定點 00 P xy為直角頂點 的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定 點 且定點在斜邊的中點軌跡上 若直角頂點在拋物線上運動時 其對應(yīng)的 定點 00 2 G xpy 在一新的拋物線上 運動 46 41 正交半徑 斜切定 正交半徑 斜切定圓圓 問題探究問題探究 4141 1 設(shè)橢圓 E 22 22 1 xy ab a b 0 過 M 2 2 N 6 1 兩點 O 為坐標原點 I 求橢圓 E 的方程 II 是否存在圓心在原點的圓 使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A B 且OAOB 若 存在 寫出該圓的方程 并求 AB 的取值范圍 若不存在說明理由 2 已知雙曲線 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的離心率為3 右準線方程為 3 3 x 求雙曲線C的方程 設(shè)直線l是圓 22 2O xy 上動點 0000 0 P xyx y 處的切線 l與雙曲線C交于不同的 兩點 A B 證明AOB 的大小為定值 實驗成果 動態(tài)課件 直角三角形的直角頂點在中心 斜邊的 端點在橢圓上 則中心在斜邊上的射影 軌跡是圓 直角三角形的直角頂點在中心 斜邊的 端點在雙曲線上 則中心在斜邊上的射 影軌跡是圓 47 4242 直徑端點 斜積定值 直徑端點 斜積定值 問題探究問題探究 4242 已知定點 3 0 3 0 AB P 為動點且滿足 PA PB 的斜率 1 2 PAPB kk 試探求點 P 的軌跡 實驗成果實驗成果 動態(tài)課件動態(tài)課件 圓上動點對直徑端點的斜圓上動點對直徑端點的斜率率積積 為定值為定值 1 PAPB KK 橢圓上動點對直徑端點的斜率橢圓上動點對直徑端點的斜率 積為定值積為定值 2 2 PAPB b KK a 雙曲線上動點對直徑端點的斜雙曲線上動點對直徑端點的斜 率積為定值率積為定值 2 2 PAPB b KK a 48 4343 垂弦端點 交軌對偶 垂弦端點 交軌對偶 問題探究問題探究 4343 已知橢圓 22 1 84 xy 的動弦MN垂直交 x 軸于點 0 0 P x 橢圓的長軸端點分別為 12 B B 試探求直線 1 B NB M 2 與交點的軌跡 實驗成果 動態(tài)課件 橢圓 22 22 1 xy ab 中垂直于長軸的弦的端 點對長軸頂點的連線交點軌跡為與橢圓 共頂點的雙曲線 22 22 1 xy ab 雙曲線 22 22 1 xy ab 中垂直于實軸的弦的 端點對實軸頂點的連線交點軌跡為與雙 曲線共頂點的橢圓 22 22 1 xy ab 拋物線 2 2ypx 中垂直于對稱軸的弦的 端點對頂點的連線交點軌跡為與拋物線 共頂點的拋物線 2 2ypx 49 4444 準線動點 斜率等差 準線動點 斜率等差 問題探究問題探究 4444 過拋物線 2 2 ypx p 0 的對稱軸上的定點 0 0 M mm 作直線AB與拋物線相交于 A B兩點 試證明 A B兩點的縱坐標之積為定值 若點N是定直線 l xm 上的任意一點 分別記直線 AN MN BN的斜率為 321 kkk 試探 求 321 kkk 之間的關(guān)系 并給出證明 實驗成果 動態(tài)課件 過 x 軸上一定點 Q t 0 的直線交橢圓 22 22 1 xy ab 于兩點 A B 則在直線 2 a x t 上任一點P對弦AB端點及定點Q 的連線的斜率成等差 過 x 軸上一定點 Q t 0 的直線交雙曲線 22 22 1 xy ab 于兩點 A B 則在直線 2 a x t 上任一點P對弦AB端點及定點Q 的連線的斜率成等差 過 x 軸上一定點 M t 0 的直線交拋物線 2 2ypx 于兩點 A B 則在直線xt 上任一點 P 對弦 AB 端點及定點 M 的連 線的斜率成等差 50 4545 焦點切線 距離等比 焦點切線 距離等比 問題探究問題探究 4545 已知直線l是過橢圓 22 1 82 xy 上一點 2 1 P的切線 1 求兩焦點 12 F F到切線l的距離積 2 當l是橢圓的任一切線時 試問兩焦點 12 F F到切線l的距離積是否為定值 實驗成果 動態(tài)課件