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函數(shù)專題之解析式問題求函數(shù)解析式的方法把兩個變量的函數(shù)關(guān)系,用一個等式來表示,這個等式叫函數(shù)的解析式,簡稱解析式。求函數(shù)解析式的題型有:(1)已知函數(shù)類型,求函數(shù)的解析式:待定系數(shù)法;(2)已知求或已知求:換元法、配湊法;(3)已知函數(shù)圖像,求函數(shù)解析式;(4)滿足某個等式,這個等式除外還有其他未知量,需構(gòu)造另個等式:解方程組法;(5)應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。一 【待定系數(shù)法】(已知函數(shù)類型如:一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)若已知的結(jié)構(gòu)時,可設(shè)出含參數(shù)的表達(dá)式,再根據(jù)已知條件,列方程或方程組,從而求出待定的參數(shù),求得的表達(dá)式?!纠?】已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),且滿足關(guān)系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。分析:所求的函數(shù)類型已定,是一次函數(shù)。設(shè)f(x)=ax+b(a0)則f(x+1)=?,f(x-1)=?解:設(shè)f(x)=ax+b(a0),由條件得:3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+17,f(x)=2x+7【例2】求一個一次函數(shù)f(x),使得fff(x)=8x+7分析:所求的函數(shù)類型已定,是一次函數(shù)。設(shè)f(x)=ax+b(a0)則fff(x)=ffax+b=fa(ax+b)+b=?解:設(shè)f(x)=ax+b(a0),依題意有aa(ax+b)+b+b=8x+7+b(+a+1)=8x+7,f(x)=2x+1【評注:】待定系數(shù)法是一種重要的數(shù)學(xué)方法,它只適用于已知所求函數(shù)的類型求其解析式。二 【換元法】(注意新元的取值范圍)已知的表達(dá)式,欲求,我們常設(shè),從而求得,然后代入的表達(dá)式,從而得到的表達(dá)式,即為的表達(dá)式。三【配湊法(整體代換法)】若已知的表達(dá)式,欲求的表達(dá)式,用換元法有困難時,(如不存在反函數(shù))可把看成一個整體,把右邊變?yōu)橛山M成的式子,再換元求出的式子?!纠}】已知f(x-1)= -4x,解方程f(x+1)=0分析:如何由f(x-1),求出f(x+1)是解答此題的關(guān)鍵解1:f(x-1)=-2(x-1)-3,f(x)=-2x-3f(x+1)=-2(x+1)-3=-4,-4=0,x=2解2:f(x-1)=-4x,f(x+1)=f(x+2)-1=-4(x+2)=-4,-4=0,x=2解3:令x-1=t+1,則x=t+2,f(t+1)=-4(t+2)=-4f(x+1)=-4,-4=0,x=2評注:只要抓住關(guān)鍵,采用不同方法都可以達(dá)到目的。解法1,采用配湊法;解法2,根據(jù)對應(yīng)法則采用整體思想實(shí)現(xiàn)目的;解法3,采用換元法,這些不同的解法共同目的是將f(x-1)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為f(x+1)的表達(dá)式?!拘〗Y(jié):】待定系數(shù)法、換元法、配湊法是求函數(shù)解析式常用的方法,其中,待定系數(shù)法只適用于已知所求函數(shù)類型求其解析式,而換元法與配湊法所依據(jù)的數(shù)字思想完全相同-整體思想。四 【消元法】【構(gòu)造方程組】(如自變量互為倒數(shù)、已知f(x)為奇函數(shù)且g(x)為偶函數(shù)等)若已知以函數(shù)為元的方程形式,若能設(shè)法構(gòu)造另一個方程,組成方程組,再解這個方程組,求出函數(shù)元,稱這個方法為消元法。五【賦值法】(特殊值代入法)在求某些函數(shù)的表達(dá)式或求某些函數(shù)值時,有時把已知條件中的某些變量賦值,使問題簡單明了,從而易于求出函數(shù)的表達(dá)式。Iuytr=76怕見他上網(wǎng)、可以為題5若,且,求值.六利用給定的特性求解析式.題6設(shè)是偶函數(shù),當(dāng)x0時, ,求當(dāng)x0時,的表達(dá)式.練習(xí)6對xR, 滿足,且當(dāng)x1,0時, 求當(dāng)x9,10時的表達(dá)式.七相關(guān)點(diǎn)法題8已知函數(shù),當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在y=的圖象上運(yùn)動時,點(diǎn)Q()在y=g(x)的圖象上,求函數(shù)g(x).訓(xùn)練例題(1)已知f(1)x2,求f(x)的解析式。(2)已知f(x)x3,求f(x)的解析式。(3)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),且滿足關(guān)系式3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x)的解析式。分析:此題目中的“f”這種對應(yīng)法則,需要從題給條件中找出來,這就要有整體思想的應(yīng)用。即:求出f及其定義域.(1)解法一:【換元法】設(shè)t11,則t1,x(t1)2f(t)(t1)22(t1)t21(t1)f(x)x21(x1)解法二:【湊配法】由f(+1)=x+2=-1,f(x)=-1(x1)【評注:】f(t)與f(x)只是自變量所用字母不同,本質(zhì)是一樣的。求出函數(shù)解析式時,一定要注明定義域,函數(shù)定義中包括定義域這一要素。(2)x3(x)(x21)(x)(x)23f(x)(x)(x)23f(x)x(x23)x33x當(dāng)x0時,x2或x2f(x)x33x(x2或x2)(3)設(shè)f(x)axb則3f(x1)2f(x1)3ax3a2b2a2baxb5a2x17a2,b7f(x)2x7評述:“換元法”“配湊法”及“待定系數(shù)法”是求函數(shù)解析式常用的方法,以上3個題目分別采用了這三種方法。值得提醒的是在求出函數(shù)解析式時一定要注明定義域。(4)已知,求;(5)已知,求;(6)已知是一次函數(shù),且滿足,求;(7)已知滿足,求解:(4),(或)(5)令(),則,(6)設(shè),則,(7), 把中的換成,得 ,得,注:第(4)題用配湊法;第(5)題用換元法;第(6)題已知一次函數(shù),可用待定系數(shù)法;第(7)題用方程組法 (8)甲地到乙地的高速公路長1500公里,現(xiàn)有一輛汽車以100公里小時的速度從甲地到乙地,寫出汽車離開甲地的距離S(公里)表示成時間t(小時)的函數(shù)。分析:從已知可知這輛汽車是勻速運(yùn)動,所以易求得函數(shù)解析式,其定義域由甲乙兩地之間的距離來決定。解:汽車在甲乙兩地勻速行駛,S100t汽車行駛速度為100公里小時,兩地距離為1500公里,從甲地到乙地所用時間為t小時答:所求函數(shù)為:S100t t0,15(9)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克,如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2,糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%,那么x年后若人均一年占有y千克糧食.求出函數(shù)y關(guān)于x的解析式。分析:此題用到平均增長率問題的分式,由于學(xué)生尚未學(xué)到,所以還應(yīng)推導(dǎo)。解:設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口為A,則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口數(shù)為A(11.2),2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A(11.2)2經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A(11.2)x。再設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B,則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的糧食產(chǎn)量為B(14),2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B(14)2,經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B(14)x,因某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食為360 kg,即360,所以x年后的人均一年占有糧食為y,即y(xN*)評述:根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式,是應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的基礎(chǔ),在設(shè)定或選定自變量后去尋求等量關(guān)系,求得函數(shù)解析式后,還要注意函數(shù)定義域要受到實(shí)際問題的限制。(10)我國是水資源比較貧乏的國家之一,各地采取價格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的,某地用水收費(fèi)的方法是:水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)損耗費(fèi)若每月用水量不超過最低限量時,只付基本費(fèi)8元和每月每戶的定額損耗費(fèi)元;若用水量超過時,除了付同上的基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外,超過部分每付元的超額費(fèi)。已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過5元。該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)如下表所示:月份用水量水費(fèi)(元)1239152291933根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),求、。解:設(shè)每月用水量為,支付費(fèi)用為元,則有由表知第二、第三月份的水費(fèi)均大于13元,故用水量15,22均大于最低限量,于是就有,解之得,從而 再考慮一月份的用水量是否超過最低限量,不妨設(shè),將代入(2)式,得,即,這與(3)矛盾。從而可知一月份的付款方式應(yīng)選(1

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