高考求函數(shù)解析式方法及例題.doc

函數(shù)專題之解析式問題求函數(shù)解析式的方法把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫函數(shù)的解析式，簡稱解析式。求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式：解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。一 【待定系數(shù)法】（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）若已知的結(jié)構(gòu)時，可設(shè)出含參數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的參數(shù)，求得的表達(dá)式?！纠?】已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且滿足關(guān)系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。分析：所求的函數(shù)類型已定，是一次函數(shù)。設(shè)f(x)=ax+b(a0)則f(x+1)=?，f(x-1)=?解：設(shè)f(x)=ax+b(a0)，由條件得：3a(x+1)+b-2a(x-1)+b=ax+5a+b=2x+17，f(x)=2x+7【例2】求一個一次函數(shù)f(x)，使得fff(x)=8x+7分析：所求的函數(shù)類型已定，是一次函數(shù)。設(shè)f(x)=ax+b(a0)則fff(x)=ffax+b=fa(ax+b)+b=?解：設(shè)f(x)=ax+b（a0)，依題意有aa(ax+b)+b+b=8x+7+b(+a+1)=8x+7，f(x)=2x+1【評注：】待定系數(shù)法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它只適用于已知所求函數(shù)的類型求其解析式。二 【換元法】（注意新元的取值范圍）已知的表達(dá)式，欲求，我們常設(shè)，從而求得，然后代入的表達(dá)式，從而得到的表達(dá)式，即為的表達(dá)式。三【配湊法（整體代換法）】若已知的表達(dá)式，欲求的表達(dá)式，用換元法有困難時，（如不存在反函數(shù)）可把看成一個整體，把右邊變?yōu)橛山M成的式子，再換元求出的式子?！纠}】已知f(x-1)= -4x，解方程f(x+1)=0分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此題的關(guān)鍵解1：f(x-1)=-2(x-1)-3，f(x)=-2x-3f(x+1)=-2(x+1)-3=-4，-4=0，x=2解2：f(x-1)=-4x，f(x+1)=f（x+2)-1=-4(x+2)=-4，-4=0，x=2解3：令x-1=t+1，則x=t+2，f(t+1)=-4(t+2)=-4f(x+1)=-4，-4=0，x=2評注：只要抓住關(guān)鍵，采用不同方法都可以達(dá)到目的。解法1，采用配湊法；解法2，根據(jù)對應(yīng)法則采用整體思想實(shí)現(xiàn)目的；解法3，采用換元法，這些不同的解法共同目的是將f(x-1)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為f(x+1)的表達(dá)式?！拘〗Y(jié)：】待定系數(shù)法、換元法、配湊法是求函數(shù)解析式常用的方法，其中，待定系數(shù)法只適用于已知所求函數(shù)類型求其解析式，而換元法與配湊法所依據(jù)的數(shù)字思想完全相同-整體思想。四 【消元法】【構(gòu)造方程組】（如自變量互為倒數(shù)、已知f（x）為奇函數(shù)且g（x）為偶函數(shù)等）若已知以函數(shù)為元的方程形式，若能設(shè)法構(gòu)造另一個方程，組成方程組，再解這個方程組，求出函數(shù)元，稱這個方法為消元法。五【賦值法】(特殊值代入法)在求某些函數(shù)的表達(dá)式或求某些函數(shù)值時，有時把已知條件中的某些變量賦值，使問題簡單明了，從而易于求出函數(shù)的表達(dá)式。Iuytr=76怕見他上網(wǎng)、可以為題5若，且，求值.六利用給定的特性求解析式.題6設(shè)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時， ，求當(dāng)x0時，的表達(dá)式.練習(xí)6對xR， 滿足，且當(dāng)x1，0時， 求當(dāng)x9，10時的表達(dá)式.七相關(guān)點(diǎn)法題8已知函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在y=的圖象上運(yùn)動時，點(diǎn)Q()在y=g(x)的圖象上，求函數(shù)g(x).訓(xùn)練例題(1)已知f（1）x2，求f(x)的解析式。(2)已知f（x）x3，求f(x)的解析式。(3)已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，且滿足關(guān)系式3f（x1）2f（x1）2x17，求f(x)的解析式。分析：此題目中的“f”這種對應(yīng)法則，需要從題給條件中找出來，這就要有整體思想的應(yīng)用。即：求出f及其定義域.(1)解法一：【換元法】設(shè)t11，則t1，x（t1）2f（t）（t1）22（t1）t21（t1）f（x）x21（x1）解法二：【湊配法】由f(+1)=x+2=-1，f(x)=-1(x1)【評注：】f(t)與f(x)只是自變量所用字母不同，本質(zhì)是一樣的。求出函數(shù)解析式時，一定要注明定義域，函數(shù)定義中包括定義域這一要素。(2)x3（x）（x21）（x）（x）23f（x）（x）（x）23f（x）x（x23）x33x當(dāng)x0時，x2或x2f（x）x33x（x2或x2）(3)設(shè)f（x）axb則3f（x1）2f（x1）3ax3a2b2a2baxb5a2x17a2，b7f（x）2x7評述：“換元法”“配湊法”及“待定系數(shù)法”是求函數(shù)解析式常用的方法，以上3個題目分別采用了這三種方法。值得提醒的是在求出函數(shù)解析式時一定要注明定義域。（4）已知，求；（5）已知，求；（6）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（7）已知滿足，求解：（4），（或）（5）令（），則，（6）設(shè)，則，（7）， 把中的換成，得 ，得，注：第（4）題用配湊法；第（5）題用換元法；第（6）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（7）題用方程組法 (8)甲地到乙地的高速公路長1500公里，現(xiàn)有一輛汽車以100公里小時的速度從甲地到乙地，寫出汽車離開甲地的距離S(公里)表示成時間t(小時)的函數(shù)。分析：從已知可知這輛汽車是勻速運(yùn)動，所以易求得函數(shù)解析式，其定義域由甲乙兩地之間的距離來決定。解：汽車在甲乙兩地勻速行駛，S100t汽車行駛速度為100公里小時，兩地距離為1500公里，從甲地到乙地所用時間為t小時答：所求函數(shù)為：S100t t0，15(9)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2，糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%，那么x年后若人均一年占有y千克糧食.求出函數(shù)y關(guān)于x的解析式。分析：此題用到平均增長率問題的分式，由于學(xué)生尚未學(xué)到，所以還應(yīng)推導(dǎo)。解：設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口為A，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口數(shù)為A(11.2)，2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A（11.2）2經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A(11.2)x。再設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的糧食產(chǎn)量為B(14),2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（14）2，經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（14）x，因某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食為360 kg，即360，所以x年后的人均一年占有糧食為y，即y（xN*)評述：根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式，是應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定自變量后去尋求等量關(guān)系，求得函數(shù)解析式后，還要注意函數(shù)定義域要受到實(shí)際問題的限制。（10）我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采取價格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的，某地用水收費(fèi)的方法是：水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)損耗費(fèi)若每月用水量不超過最低限量時，只付基本費(fèi)8元和每月每戶的定額損耗費(fèi)元；若用水量超過時，除了付同上的基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外，超過部分每付元的超額費(fèi)。已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過5元。該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)如下表所示：月份用水量水費(fèi)（元）1239152291933根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求、。解：設(shè)每月用水量為，支付費(fèi)用為元，則有由表知第二、第三月份的水費(fèi)均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量，于是就有，解之得，從而 再考慮一月份的用水量是否超過最低限量，不妨設(shè)，將代入（2）式，得，即，這與（3）矛盾。從而可知一月份的付款方式應(yīng)選（1