圓映射的同步與鎖模.ppt

圓映像 circlemap 2012 3 16 同步與鎖頻的概念 同步 Syncronazation 與鎖頻 frequency locking 是指兩個或數(shù)個振子間的同步振動現(xiàn)象 線性振子振動方程 三個特征量 振幅A 頻率 與相位 頻率是固有的 振幅與相位決定于初始條件 非線性振子 三個特征量 振幅 頻率與相位都與系統(tǒng)緊密相關(guān)的 并且最終達到的振動狀態(tài)與初始條件無關(guān) 如果兩個非線性振子間發(fā)生耦合 就會發(fā)生 一個振子的狀態(tài)依賴于另一個振子的振幅 或者一個振子的振動頻率鎖定在另一個振子的振動頻率上 或者兩個振子同步地以一個共同的頻率振動 同步與鎖頻 設(shè) 1與 2為兩個振子固有頻率 P與Q互為質(zhì)整數(shù) 當改變系統(tǒng)參數(shù)使 或有理數(shù)說明一個振子與另一振子出現(xiàn)了同步 稱為鎖頻 Frequency locking 也稱鎖相 Phase locking 同步與鎖頻是存在耦合的多個非線性振動系統(tǒng)的固有特性 因此鎖頻有一定的范圍 范圍大小與兩個振子間的耦合強度有關(guān) 如果耦合很弱 鎖頻范圍很小 兩個振子基本上在獨立振動 大多數(shù)振動頻率運動是非鎖頻的 它們處于準周期 Qusi priodicity 或稱擬周期 運動狀態(tài) 隨著耦合的增強 鎖頻范圍增大 兩振子的振動便密切相關(guān) 發(fā)生鎖頻 當耦合強度達到某個閾值之后便可能進入混沌狀態(tài) 這是與倍周期分岔或陣發(fā)性混沌不同的的進入混沌的道路 稱為準周期道路 圓映射 阿諾德在1965年為考慮非線性耦合振子的鎖頻的映像引入了映像 正弦圓映像 這映射叫做標準映射 standardmap 它含有K 兩個參量 K代表非線性耦合的強度 則代表兩個振動的頻率之比 1 當不考慮標準圓映射中的非線性項時 K 0 則標準圓映射簡化為線性映射 2 由于正弦函數(shù)是非線性的 當K 0就是存在非線性時的迭代情況 標準映射迭代運算 1 K 0線性情況先取 2 5 0 4 為有理數(shù) 初始值q0 0 3出發(fā) 得經(jīng)過五次迭代 軌線繞了兩圈后回到原處 這是周期解 反映兩個系統(tǒng)處于同步狀態(tài) 再選無理數(shù) 0 40404 與0 4很接近 但迭代總不能精確地回到原處 軌線不會閉合 這是準周期運動 說明在線性情況下無理數(shù)參數(shù) 不使兩個系統(tǒng)出現(xiàn)同步現(xiàn)象 2 非線性情況設(shè)K 0 95 參數(shù) 為無理數(shù)頻率 0 40404 初始值 0 0 4 在經(jīng)過了五次迭代繞了兩圈以后回到了出發(fā)點 可見在非線性的情況下 即使參數(shù) 為無理數(shù)頻率也可以實現(xiàn)軌線閉合 出現(xiàn)了周期解 達到了同步狀態(tài) 說明非線性可使兩個系統(tǒng)間的同步范圍加寬 標準映射迭代運算 引進每次迭代的平均增量以具體地描述兩個不同頻率系統(tǒng)間的同步 稱卷繞數(shù) 在線性情況下 W W 兩者同為有理數(shù)或無理數(shù) 在非線性情況下 若W為無理數(shù) W可鎖定在與W接近的有理數(shù) 上圖是正弦圓映像k在三種情況下的映像函數(shù) k 0時 得到容易想到映像函數(shù)是一條斜率為1的直線 為有理數(shù)時演示周期運動 迭代走過圓上有限個點后重復(fù) 為無理數(shù)時演示準周期運動 迭代遍歷整個圓 a 圖映像函數(shù)單調(diào)可逆且處處光滑 曲線的平均斜率等于1 因此運動只可能是周期或準周期的 b 圖映像函數(shù)出現(xiàn)一個三階拐點 即將出現(xiàn)不可逆性 c 圖映像函數(shù)出現(xiàn)一個值域上的重迭區(qū)O 函數(shù)連續(xù)但不可逆 曲線的平均斜率絕對值大于1 如果出現(xiàn)遍歷性軌道 其李雅普諾夫指數(shù)一定大于0 系統(tǒng)行為是混沌的 上圖是逆圓映像 a 圖映像函數(shù)單調(diào) 可逆且處處光滑 曲線平均斜率等于1 因此運動只可能是周期或準周期的 b 圖是向不連續(xù)過度的臨界情況 這時斜率趨于無窮大 出現(xiàn)一個奇點 c 圖根據(jù)張弛振蕩性質(zhì)取最小一個值 因此C區(qū)成為一個禁區(qū) 由任何一個初值出發(fā)的迭代都不能達到C區(qū)域 這時函數(shù)可逆但不連續(xù) 曲線的平均斜率小于1 如果有遍歷性 李雅