不等式的證明.doc

不等式的證明1比較法作差作商后的式子變形，判斷正負(fù)或與1比較大小作差比較法-要證明ab,只要證明a-b0。作商比較法-已知a,b都是正數(shù)，要證明ab,只要證明a/b1例1 求證：x2+33x證明：(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3=+0 x2+33x例2 已知a,bR+，并且ab，求證a5+b5a3b2+a2b3證明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) a,bR+ a+b0, a2+ab+b20又因為ab,所以（a-b）20 (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)0 a5+b5a3b2+a2b3例3 已知a,bR+，求證：aabbabba 證明： = a,bR+,當(dāng)ab時，1,a-b0，1;當(dāng)ab時,1,a-b0, 1. 1, 即aabbabba綜合法了解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念，能用平均不等式證明其它一些不等式定理1 如果a,bR，那么a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）證明：a2+b2-2ab=(a-b)20當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。所以a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號)。定理2 如果a,b,cR+，那么a3+b3+c33abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）證明：a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20 a3+b3+c33abc,很明顯，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號。例1 已知a,b,c是不全等的正數(shù)，求證 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.放縮法這也是分析法的一種特殊情況，它的根據(jù)是不等式的傳遞性ab，bc，則ac，只要證明“大于或等于a的”bc就行了。例,證明當(dāng)k是大于1的整數(shù)時，我們可以用放縮法的一支“逐步放大法”，證明如下：分析法從要證明的不等式出發(fā)，尋找使這個不等式成立的某一“充分的”條件，為此逐步往前追溯（執(zhí)果索因），一直追溯到已知條件或一些真命題為止。例如要證a2b22ab我們通過分析知道，使a2b22ab成立的某一“充分的”條件是a22abb20，即(ab)20就行了。由于是真命題，所以a2b22ab成立。分析法的證明過程表現(xiàn)為一連串的“要證，只要證”，最后推至已知條件或真命題例 求證：證明:構(gòu)造圖形證明不等式例：已知a、b、c都是正數(shù)，求證：分析與證明：觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2ab的形式，聯(lián)想到余弦定理：c2=a2+b2-2abCosC,為了得到a2+b2ab的形式,只要C=120，這樣：可以看成a、b為鄰邊，夾角為120的的三角形的第三邊可以看成b、c為鄰邊，夾角為120的的三角形的第三邊120120120abcCAB可以看成a、c為鄰邊，夾角為120的的三角形的第三邊構(gòu)造圖形如下，AB=,BC=,AC=顯然AB+BCAC，故原不等式成立。數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合是指通過數(shù)與形之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)化來解決問題。數(shù)量關(guān)系如果借助于圖形性質(zhì)，可以使許多抽象概念和關(guān)系直觀而形象，有利于解題途徑的探求，這通常為以形助數(shù)；而有些涉及圖形的問題如能轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，又可獲得簡捷而一般化的解法，即所謂的以數(shù)解形。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過對圖形的認(rèn)識、數(shù)形的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性。通過數(shù)形結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。例證明,當(dāng)x5時,x-2解:令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函數(shù)y1y2的x的取值范圍。在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個函數(shù)的圖象。設(shè)它們交點的橫坐標(biāo)是x0, 則=x0-20。解之，得x0=5或x0=1（舍）。根據(jù)圖形,很顯然成立.反證法先假定要證不等式的反面成立，然后推出與已知條件（或已知真命題）和矛盾的結(jié)論，從而斷定反證假定錯誤，因而要證不等式成立。