第三節(jié) 高斯定理.doc

第一章 靜電場(chǎng)3 高斯定理（P70）1. 設(shè)一半徑為5厘米的圓形平面，放在場(chǎng)強(qiáng)為300牛頓/庫(kù)侖的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，試計(jì)算平面法線與場(chǎng)強(qiáng)的夾角取下列數(shù)值時(shí)通過(guò)此平面的電通量：；。解：由可得： 2. 均勻電場(chǎng)與半徑為的半球面的軸線平行，試用面積分計(jì)算通過(guò)此半球面的電通量。解：3. 如附圖所示，在半徑為和的兩個(gè)同心球面上，分別均勻地分布電荷和，求： 、三個(gè)區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布； 若，情況如何？畫(huà)出此情形的曲線。解： 由高斯定理得：區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)， 當(dāng)時(shí)，4. 根據(jù)量子理論，氫原子中心是一個(gè)帶正電的原子核（可以看成點(diǎn)電荷），外面是帶負(fù)電的電子云。在正常狀態(tài)（核外電子處在s態(tài)）下，電子云的電荷密度分布是球?qū)ΨQ的：式中為一常數(shù)（它相當(dāng)于經(jīng)典原子模型中s電子圓形軌道的半徑，稱為玻爾半徑），求原子內(nèi)的電場(chǎng)分布。解：原子內(nèi)的電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而原子內(nèi)的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ分布的。由高斯定理可得 5. 實(shí)驗(yàn)表明：在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的電場(chǎng)，垂直于地面向下，大小約為100牛頓/庫(kù)侖；在離地面千米高的地方，也是垂直于地面向下的，大小約為25牛頓/庫(kù)侖。 試計(jì)算從地面到此高度大氣中電荷的平均體密度。 如果地球上的電荷全部均勻分布在表面，求地面上電荷的面密度。解： 設(shè)電荷的平均體密度為，取圓柱形高斯面如圖（1）（側(cè)面垂直底面、底面平行地面），上下底面處的場(chǎng)強(qiáng)分別為和，則通過(guò)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為高斯面包圍的電荷由高斯定理 設(shè)地面面電荷密度為。由于電荷只分布在地表面，所以電力線終止于地面，取高斯面如圖（2）。由高斯定理6. 半徑為的無(wú)窮長(zhǎng)直圓筒面上均勻分布帶電，沿軸線單位長(zhǎng)度的電量為。求場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫(huà)曲線。解：電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，作與圓筒共軸半徑為、長(zhǎng)為的圓柱形高斯面，由高斯定理可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，7. 一對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的共軸直圓筒，半徑分別為和，筒面上都均勻帶電，沿軸線單位長(zhǎng)度的電量分別為和。 求各區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布； 若，情況如何？畫(huà)出此情形的曲線。解： 由高斯定理可得當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，代入中可得，8. 半徑為的無(wú)限長(zhǎng)直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為。求場(chǎng)強(qiáng)分布，并畫(huà)曲線。解：電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，作與圓柱體共軸半徑為、長(zhǎng)為的圓柱形高斯面，由高斯定理可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，9. 設(shè)氣體放電形成的等離子體圓柱內(nèi)的體電荷分布可用下式表示：式中是到軸線的距離，是軸線上的值，是個(gè)常數(shù)（它是減少到處的半徑）。求場(chǎng)強(qiáng)分布。解：作與圓柱體共軸半徑為、長(zhǎng)為的圓柱形高斯面，由高斯定理可得10. 兩無(wú)限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度分別為，求各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布。解：電荷面密度為的無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)為由場(chǎng)的疊加原理可得兩帶電平面間的場(chǎng)強(qiáng)為方向垂直帶電平面由正電荷指向負(fù)電荷。兩帶電平面外側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)為可以用高斯定理求出同樣的結(jié)果（作垂直于帶電平面的原柱形高斯面）。11. 兩無(wú)限大的平行平面均勻帶電，電荷的面密度都是，求各處的場(chǎng)強(qiáng)分布。解：由場(chǎng)的疊加原理和無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)公式可得兩帶電平面間的場(chǎng)強(qiáng)為兩帶電平面外側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)大小為方向垂直帶電平面12. 三個(gè)無(wú)限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別是、。求下列情況各處的場(chǎng)強(qiáng)：；，；，；，。解：建立如圖所示坐標(biāo)軸（軸）。每個(gè)帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)均為（帶電平面的左側(cè)），（帶電平面的右側(cè)）則由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，三個(gè)無(wú)限大的均勻帶電平面所分成的4個(gè)區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分別為區(qū)：區(qū)：區(qū)：區(qū)：實(shí)際上無(wú)限大的均勻帶電平面產(chǎn)生的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)，并且關(guān)于帶電平面對(duì)稱，因而無(wú)限大均勻帶電平行平面組產(chǎn)生的電場(chǎng)在平行平面組外也是關(guān)于平面對(duì)稱的，所以可以應(yīng)用高斯定理求出無(wú)限大均勻帶電平行平面組的電場(chǎng)分布。上面的結(jié)果也可用高斯定理求出。 當(dāng)時(shí)，4個(gè)區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)： 當(dāng)、時(shí)，4個(gè)區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)： 當(dāng)、時(shí)，4個(gè)區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)： 當(dāng)、時(shí)，4個(gè)區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)分別為區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：；區(qū)：13. 一厚度為的無(wú)限大平板，平板體內(nèi)均勻帶電，電荷的體密度為，求板內(nèi)、外場(chǎng)強(qiáng)的分布。解：如圖，建立坐標(biāo)軸。帶電平板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)是關(guān)于平面對(duì)稱的，作底面面積為平行于平板、且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的圓柱形高斯面。由高斯定理可得在平板內(nèi)，即時(shí)，則 在平板外，即時(shí)，則 考慮到電場(chǎng)的方向，平板外的場(chǎng)強(qiáng)可表示為14. 在半導(dǎo)體結(jié)附近總是堆積著正、負(fù)電荷，在區(qū)內(nèi)有正電荷，區(qū)內(nèi)有負(fù)電荷，兩區(qū)電荷的代數(shù)和為零。我們把結(jié)看成是一對(duì)帶正、負(fù)電荷的無(wú)限大平板，它們相互接觸（見(jiàn)附圖）。取坐標(biāo)的原點(diǎn)在、區(qū)的交界面上，區(qū)的范圍是，區(qū)的范圍是。設(shè)兩區(qū)內(nèi)電荷體分布都是均勻的： （突變結(jié)模型）這里、是常數(shù)，且（兩區(qū)電荷數(shù)量相等）。試證明電場(chǎng)的分布為區(qū)：區(qū)：并畫(huà)出和隨變化的曲線來(lái)。證明：因兩區(qū)電荷數(shù)量相等，且可把結(jié)看成是一對(duì)帶正、負(fù)電荷的無(wú)限大平板，由高斯定理可知：結(jié)外的場(chǎng)強(qiáng)為零，電場(chǎng)只存在結(jié)內(nèi)。對(duì)區(qū)、區(qū)分別作如圖所示底面面積為、一個(gè)底面在結(jié)外及另一個(gè)底面過(guò)處的圓柱形高斯面、。由高斯定理可得區(qū)： 區(qū)： 和隨變化的曲線如圖：15. 如果在上題中電荷的體分布為 （線性緩變結(jié)模型）這里是常數(shù)，（為什么？），統(tǒng)一用表示。試證明電