（教師典型例題專講）高三數(shù)學(xué)一輪提能一日一講（11月18日）.doc

【教師典型例題專講】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪提能一日一講（11月18日）一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案填在題后括號內(nèi)1已知直線l的方向向量為l，直線m的方向向量為m，若lbc(，r)，ma，ab，ac且a0，則直線m與直線l()a共線 b相交c垂直 d不共面解析由ma且a0，可得：mta(tr)，所以mlm(bc)mbmctabtac0，故m與l垂直，即直線m與直線l垂直故選c.答案c2若不同直線l1， l2的方向向量分別為，v，則下列直線l1，l2中既不平行也不垂直的是()a(1,2，1)，v(0,2,4)b(3,0，1)，v(0,0, 2)c(0, 2，3)，v(0，2,3)d(1,6,0)，v(0,0，4)解析選項a中v0440，l1l2；選項c中v，v共線，故l1l2；選項d中，v0000，l1l2，故選b.答案b3已知直二面角l，若a，acl，c為垂足，點b，bdl，d為垂足，若ab2，acbd1，則cd等于()a2 b.c. d1解析如圖所示，bdl，l，bd，bdad.，且acl，ab2ac2cd2bd2.2212cd212.cd22，cd.故選c.答案c4在三棱柱abca1b1c1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點d是側(cè)面bb1c1c的中心，則ad與平面bb1c1c所成角的大小是()a30 b45c60 d90解析如圖所示，取bc中點e，連接de，ae，ad，依題意知，三棱柱為正三棱柱，易得ae平面bb1c1c，故ade為ad與平面bb1c1c所成的角設(shè)各棱長為1，則ae，de，tanade，由于ade0，90ade60，故選c.答案c5(2013全國大綱卷)已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，則cd與平面bdc1所成角的正弦值等于()a. b.c. d.解析建立如右圖所示坐標(biāo)系，設(shè)aa12ab2，則b(1,1,0)，c(0,1,0)，c1(0,1,2)，d(0,0,0)設(shè)面bdc1的法向量為n(x，y，z)，則代入得令z1，得n(2，2,1)，設(shè)cd與面bdc1所成的角為，sin，選a.答案a6過正方形abcd的頂點a，引pa平面abcd.若paba，則平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是()a30 b45c60 d90解析解法一：建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系，不難求出平面apb與平面pcd的法向量n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面abp與平面cdp所成二面角的余弦值為，故所求的二面角的大小是45.解法二：將其補成正方體如圖(2)，不難發(fā)現(xiàn)平面abp和平面cdp所成的二面角就是平面abqp和平面cdpq所成的二面角，其大小為45是明顯的答案b二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分將答案填在題中橫線上7在正方體abcda1b1c1d1中，cc1中點為e，則直線ae與bc1所成的角的大小為_解析以點d為原點，分別以da，dc，dd1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為2，d(0,0,0)，a(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，e(0,2,1)，(2,2,1)，(2,0,2)，cos，所以直線ae與bc1所成角大小為.答案8已知點e，f分別在正方體abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，則平面aef與平面abc所成的二面角的正切值為_解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)da1，由已知條件得a(1,0,0)，e，f，設(shè)平面aef的法向量為n(x，y，z)，平面aef與平面abc所成的二面角為，由得令y1，得z3，x1，則n(1,1，3)，平面abc的法向量為m(0,0，1)，coscosn，m，tan.答案9已知abcda1b1c1d1為正方體，()232；()0；向量與向量的夾角是60；正方體abcda1b1c1d1的體積為|.其中正確命題的序號是_解析設(shè)正方體的棱長為1，中()23()23，故正確；中，由于ab1a1c，故正確；中a1b與ad1兩異面直線所成的角為60，但與的夾角為120，故不正確；中|0，故也不正確答案三、解答題：本大題共3小題，共30分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟10(本小題10分)如圖所示，四棱錐sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sdada，點e是sd上的點，且dea(01)(1)求證：對任意的(0,1，都有acbe；(2)若二面角caed的大小為60，求的值解(1)證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，d(0,0,0)，e(0,0，a)，(a，a,0)，(a，a，a)，0對任意(0,1都成立，即對任意的(0,1，都有acbe.(2)顯然n(0,1,0)是平面ade的一個法向量，設(shè)平面ace的法向量為m(x，y，z)，(a，a,0)，(a,0，a)，即令z1，則xy，m(，1)二面角caed的大小為60，cosn，m，(0,1，.11(本小題10分)(2013北京卷)如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是邊長為4的正方形，平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5.(1)求證：aa1平面abc；(2)求二面角a1bc1b1的余弦值；(3)證明：在線段bc1上存在點d，使得ada1b.并求的值解(1)因為aa1c1c為正方形，所以aa1ac.因為平面abc平面aa1c1c，且aa1垂直于這兩個平面的交線ac，所以aa1平面abc.(2)由(1)知aa1ac，aa1ab.由題知ab3，bc5，ac4，所以abac.如圖所示，以a為原點建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則b(0,3,0)，a1(0,0,4)，b1(0,3,4)，c1(4,0,4)設(shè)平面a1bc1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面b1bc1的一個法向量為m(3,4,0)所以cosn，m.由題知二面角a1bc1b1為銳角，所以二面角a1bc1b1的余弦值為.(3)設(shè)d(x， y，z)是直線bc1上一點，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因為0,1，所以在線段bc1上存在點d，使得ada1b.此時，.12(本小題10分)(2013天津卷)如圖所示，四棱柱abcda1b1c1d1中，側(cè)棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e為棱aa1的中點(1)證明b1c1ce；(2)求二面角b1cec1的正弦值；(3)設(shè)點m在線段c1e上，且直線am與平面add1a1所成角的正弦值為，求線段am的長解解法一：如圖所示，以點a為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)(1)易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2)(1，2，1)設(shè)平面b1ce的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1)由(1)知，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1,0，1)為平面cec1的一個法向量于是cosm，從而sinm，.所以二面角b1cec1的正弦值為.(2)(0,1,0)，(1,1,1)設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面add1a1的一個法向量設(shè)為直線am與平面add1a1所成的角，則sin|cos，|.于是，解得，所以am.解法二：(1)因為側(cè)棱cc1底面a1b1c1d1，b1c1平面a1b1c1d1，所以cc1b1c1.經(jīng)計算可得b1e，b1c1，ec1，從而b1e2b1cec，所以在b1ec1中，b1c1c1e，又cc1，c1e平面cc1e.cc1c1ec1，所以b1c1平面cc1e.又ce平面cc1e，故b1c1ce.(2)過b1作b1gce于點g，連接c1g.由(1)知，b1c1ce，故ce平面b1c1g，得cec1g，所以b1gc1為二面角b1cec1的平面角在cc1e中，由cec1e，cc12，可得c1g.在rtb1c1g中，b1g，所以sinb1gc1，即二面角b1cec1的正弦值為.(3)連接d1e