植樹(shù)問(wèn)題公式

植樹(shù)問(wèn)題公式單邊植樹(shù)（兩端都植） ：距離間隔數(shù) +1=棵數(shù)單邊植樹(shù)（只植一端） ：距離間隔數(shù)=棵數(shù)單邊植樹(shù)（兩端都不植） ：距離間隔數(shù)1=棵數(shù)雙邊植樹(shù)（兩端都植）：（ 距離間隔數(shù)+1）2=棵數(shù)雙邊植樹(shù)（只植一端）：（ 距離間隔數(shù)）2=棵數(shù)雙邊植樹(shù)（兩端都不植）：（ 距離間隔數(shù)-1）2=棵數(shù)循環(huán)植樹(shù)： 距離間隔數(shù)=棵數(shù)解釋：1 非封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形:如果在非封閉線路的兩端都要植樹(shù),那么:株數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)株距+1全長(zhǎng)=株距(株數(shù)1)株距=全長(zhǎng)(株數(shù)1)如果在非封閉線路的一端要植樹(shù),另一端不要植樹(shù),那么:株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)株距全長(zhǎng)=株距株數(shù)株距=全長(zhǎng)株數(shù)如果在非封閉線路的兩端都不要植樹(shù),那么:株數(shù)=段數(shù)1=全長(zhǎng)株距1全長(zhǎng)=株距(株數(shù)+1)株距=全長(zhǎng)(株數(shù)+1)2 封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如下株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)株距全長(zhǎng)=株距株數(shù)株距=全長(zhǎng)株數(shù)植樹(shù)問(wèn)題1.植樹(shù)問(wèn)題是在一定的線路上，根據(jù)總路程、間隔長(zhǎng)和棵數(shù)進(jìn)行植樹(shù)的問(wèn)題。專題分析一、在線段上的植樹(shù)問(wèn)題可以分為以下三種情形。1、如果植樹(shù)線路的兩端都要植樹(shù)，那么植樹(shù)的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，即：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。2、如果植樹(shù)線路只有一端要植樹(shù)，那么植樹(shù)的棵數(shù)和要分的段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。3、如果植樹(shù)線路的兩端都不植樹(shù)，那么植樹(shù)的棵數(shù)比要分的段數(shù)少1，即：棵數(shù)=間隔數(shù)1。4、如果植樹(shù)路線的兩邊與兩端都植樹(shù)，那么植樹(shù)的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，再乘二，即：棵樹(shù)=段數(shù)+1再乘二。二、在封閉線路上植樹(shù)，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。三、在正方形線路上植樹(shù)，如果每個(gè)頂點(diǎn)都要植樹(shù)。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)1）邊數(shù)。1 非封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形：如果在非封閉線路的兩端都要植樹(shù)，那么：株數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)株距+1全長(zhǎng)=株距（株數(shù)1）株距=全長(zhǎng)（株數(shù)1）如果在非封閉線路的一端要植樹(shù)，另一端不要植樹(shù)，那么：株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)株距全長(zhǎng)=株距株數(shù)株距=全長(zhǎng)株數(shù)盈虧問(wèn)題的公式（盈+虧）兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)（大盈小盈）兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)（大虧小虧）兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問(wèn)題的公式相遇路程=速度和相遇時(shí)間相遇時(shí)間=相遇路程速度和速度和=相遇路程相遇時(shí)間例1長(zhǎng)方形場(chǎng)地：一個(gè)長(zhǎng)84米，寬54米的長(zhǎng)方形蘋果園中，蘋果樹(shù)的株距是2米，行距是3米這個(gè)蘋果園共種蘋果樹(shù)多少棵？解：解法一：一行能種多少棵？842=42(棵)|這塊地能種蘋果樹(shù)多少行？543=18(行)這塊地共種蘋果樹(shù)多少棵？4218=756(棵)如果株距、行距的方向互換，結(jié)果相同：(843)(542)=2827=756(棵)解法二：這塊地的面積是多少平方米呢？8454=4536(平方米)一棵蘋果樹(shù)占地多少平方米呢？23=6(平方米)這塊地能種蘋果樹(shù)多少棵呢？45366=756(棵)當(dāng)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)、寬分別能被株距、行距整除時(shí)，可用上述兩種方法中的任意一種來(lái)解；當(dāng)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)、寬不能被株距、行距整除時(shí)，就只能用第二種解法來(lái)解但有些問(wèn)題從表面上看，并沒(méi)有出現(xiàn)“植樹(shù)”二字，但題目實(shí)質(zhì)上是反映封閉線段或不封閉線段長(zhǎng)度、分隔點(diǎn)、每段長(zhǎng)度三者之間的關(guān)系。鋸木頭問(wèn)題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹(shù)問(wèn)題。所鋸的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多一。上樓梯問(wèn)題，就是把每上一層樓梯所需的時(shí)間看成一個(gè)時(shí)間間隔，那么： 上樓所需總時(shí)間 =（終點(diǎn)層起始層）每層所需時(shí)間。而方陣隊(duì)列問(wèn)題，看似與植樹(shù)問(wèn)題毫不相干，實(shí)質(zhì)上都是植樹(shù)問(wèn)題。例2直線場(chǎng)地：在一條公路的兩旁植樹(shù)，每隔3米植一棵，植到頭還剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到頭還缺少37棵，求這條公路的長(zhǎng)度。解法一：（代數(shù)解法）設(shè)一共有x棵樹(shù)【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1】X2.5x=205公路長(zhǎng):【（205-3）/2-1】X3=300得:公路長(zhǎng)度為300米解法二：（算術(shù)解法）這道題可以用解盈虧問(wèn)題的思路來(lái)考慮：首先，我們?cè)趦蛇吰瘘c(diǎn)處各栽下一棵樹(shù)，這兩棵樹(shù)與路長(zhǎng)沒(méi)有關(guān)系，以后每栽下一棵樹(shù)，不論栽在哪一側(cè)，植樹(shù)的路線（不是路）就增加一個(gè)間距，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們按單側(cè)植樹(shù)來(lái)考慮。當(dāng)按3米的間距植樹(shù)時(shí)，最后剩下3棵，也就是說(shuō)植樹(shù)的路線要比路長(zhǎng)出3個(gè)間距，33=9米，當(dāng)按2.5米的間距植樹(shù)時(shí)，最后還缺37棵樹(shù)，也就是說(shuō)植樹(shù)的路線比路短了37個(gè)間距，2.537=92.5米，兩次相差9+92.5=101.5米，兩次植樹(shù)的間距相差是32.5=0.5米，據(jù)此可以求出樹(shù)的棵數(shù)：（不包括起點(diǎn)的2棵）101.50.5=203（個(gè)）知道了樹(shù)的棵數(shù)，就可以求出植樹(shù)路線的長(zhǎng)度了：3（2033）=600（米）或2.5（203+37）=600（米）因?yàn)槭请p側(cè)植樹(shù)，所以路長(zhǎng)為：6002=300（米）綜合算式為：3（33+2.537）（32.5）32=300（米）或2.5（33+2.537）（32.5）+372=300（米）答：（略）例3圓形場(chǎng)地（難題）：有一個(gè)圓形花壇，繞它走一圈是120米。如果在花壇周圍每隔6米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株緊相鄰的月季花相距多少米解：解：根據(jù)棵數(shù)=全長(zhǎng)間隔可求出栽丁香花的株數(shù)：1206=20 （株）由于是在每相鄰的2株丁香花之間栽2株月季花，丁香花的株數(shù)與丁香花之間的間隔數(shù)相等，因此，可栽月季花：220=40（株）由于2株丁香花之間的2株月季花是緊相鄰的，而2株丁香花之間的距離被2株月季花分為3等份，因此緊相鄰2株月季花之間距離為：63=2（米）答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株緊相鄰月季花之間相距2米。例4在圓形水池邊植樹(shù)，把樹(shù)植在距離岸邊均為3米的圓周上，按弧長(zhǎng)計(jì)算，每隔2米植一棵樹(shù)，共植了314棵。水池的周長(zhǎng)是多少米？（適于六年級(jí)程度）解：先求出植樹(shù)線路的長(zhǎng)。植樹(shù)線路是一個(gè)圓的周長(zhǎng)，這個(gè)圓的周長(zhǎng)是：2314=628（米）這個(gè)圓的直徑是：6283.14=200（米）由于樹(shù)是植在距離岸邊均為3米的圓周上，所以圓形水池的直徑是：200-32=194（米）圓形水池的周長(zhǎng)是：1943.14=609.16（米）綜合算式：（23143.14-32）3.14=（200-6）3.14=1943.14=609.16（米）例5個(gè)人觀點(diǎn)，歡迎探討：（千里獨(dú)行）小明家門前有一條10米長(zhǎng)的水溝，在溝的一側(cè)每隔2米栽一棵樹(shù)，一共可栽幾棵？（兩端都植樹(shù)）按常規(guī)解法，答案應(yīng)該是6（102+1）棵，同理，如果小光家門前也有一段10米長(zhǎng)的水溝，同樣可以栽6棵，也就是兩家一共可以栽12棵，這并看不出有什么不妥。但是，當(dāng)小明與小光家是鄰居時(shí)，我們?cè)儆?jì)算一下：兩家的水溝總長(zhǎng)是20米，202+1=11(棵)，也就是兩家一共可以栽11棵樹(shù)，結(jié)果比上次計(jì)算少了一棵（本人稱之為“鄰里沖突”），這是因?yàn)樵诙它c(diǎn)處有兩棵樹(shù)“重合”了，這兩棵樹(shù)的間距為0，與題中要求間距2米不符，因此，可以看出兩端植樹(shù)是不妥當(dāng)?shù)?。但如果兩端都不植?shù)，又會(huì)出現(xiàn)公共點(diǎn)沒(méi)有樹(shù)鄰近的兩棵樹(shù)間距4米的情況，仍與題意不符。那么一端植樹(shù)又會(huì)怎樣呢？這種要求是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)楫?dāng)一方在與鄰家相接的端點(diǎn)上植上樹(shù)后，就會(huì)使鄰家地段兩端都有樹(shù)存在，還是不合題意。因此，要求在端點(diǎn)上植樹(shù)（或不植樹(shù)）都會(huì)出現(xiàn)矛盾，這樣的計(jì)算方法也不能正確的反映出各個(gè)數(shù)量間的關(guān)系。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，出題者固然可以任意給定條件，但用不同的計(jì)算方法得出的結(jié)果應(yīng)該是相同的，當(dāng)計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)矛盾時(shí)，應(yīng)該找出問(wèn)題的原因所在，不能簡(jiǎn)單的用“兩樹(shù)重合”來(lái)解釋解釋。再按照“棵樹(shù)=段數(shù)”的方法計(jì)算一下：小明家可栽樹(shù)：102=5（棵）小光家可栽樹(shù)：102=5（棵）兩家一共可栽樹(shù)10棵。當(dāng)兩家是鄰居時(shí)，可栽樹(shù)：（10+10）2=10(棵)兩次計(jì)算結(jié)果相同，因此可以說(shuō)這種計(jì)算方法才能正確的反映出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。為什么說(shuō)常規(guī)的解法不夠正確呢？那是因?yàn)樵诔Ｒ?guī)解法中，只考慮了植樹(shù)路段為一家獨(dú)有的情況，多栽或少栽一棵都不會(huì)出現(xiàn)“爭(zhēng)議”，也就無(wú)法判定栽法是否妥當(dāng)。然而當(dāng)植樹(shù)路段為多家共有時(shí)就會(huì)出現(xiàn)一方或雙方將樹(shù)栽到了公共端點(diǎn)上的情況，從理論上講這是不正確的。相對(duì)于“路邊加一”，“樓間減一”也無(wú)道理，因?yàn)橥耆梢园础伴g距2米”栽下5棵而不是4棵樹(shù)，至于端點(diǎn)處的兩棵樹(shù)與樓相距只有1米的情況，與題意并不矛盾：1、要求“間距2米”可以認(rèn)為每棵樹(shù)需要2米的生長(zhǎng)空間，端點(diǎn)的樹(shù)和中間的樹(shù)同樣都具有2米的空間；2、如果把“樓”也看做“樹(shù)”而使間距不足，那么則是因?yàn)椤八睂?shù)栽倒了公共端點(diǎn)上而侵占了“我”的空間，“我”并沒(méi)有栽錯(cuò)。（點(diǎn)擊圖片可放大）反過(guò)來(lái)想，如果要將已有的若干棵樹(shù)平均分給幾家，不論這些樹(shù)是直線分布還是平面分布，無(wú)疑是要把分割點(diǎn)（端點(diǎn)）確定在兩棵樹(shù)之間而不是在某一棵樹(shù)上，至于在某些情況下（比如劃分衛(wèi)生分擔(dān)區(qū)或除雪）將端點(diǎn)確定在路邊現(xiàn)有標(biāo)志物（如電桿或樹(shù)）上，那是因?yàn)榉指畹膶?duì)象是“路”而不是“樹(shù)”，這時(shí)以固有標(biāo)志物為界限，具有簡(jiǎn)單方便、標(biāo)志物不易移動(dòng)和消失的好處?！翱脭?shù)=段數(shù)”的算法不僅適用于“路邊”，同樣適用于“樓間”、“四周（圓周）”和“田間”（見(jiàn)下圖，不同顏色代表不同家庭）。實(shí)際上“例1”的果園植樹(shù)就