正弦信號(hào)的相量表.ppt

4 2正弦信號(hào)的相量表示 4 2 1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算在數(shù)學(xué)中 一個(gè)復(fù)數(shù)A可以表示成代數(shù)型 指數(shù)型或極型 即A a1 ja2 代數(shù)型 aej 指數(shù)型 a 極型 4 7 歐拉公式 式中為復(fù)數(shù)單位 a1和a2分別為復(fù)數(shù)A的實(shí)部和虛部 a和 分別是A的模和輻角 復(fù)數(shù)A也可以表示為復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)或由原點(diǎn)指向該點(diǎn)的有向線段 矢量 如圖4 3所示 由圖可知 復(fù)數(shù)代數(shù)型與指數(shù)型 或極型 之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 4 8 和 4 9 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等時(shí) 其實(shí)部和虛部分別相等 或模和輻角分別相等 兩個(gè)復(fù)數(shù)相加 減 等于把它們的實(shí)部和虛部分別相加 減 例如 若A a1 ja2 B b1 jb2 則A B a1 ja2 b1 jb2 a1 b1 j a2 b2 4 10 兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘 除 等于將它們的模相乘 除 輻角相加 減 例如 若 4 11 4 2 2正弦信號(hào)的相量表示我們知道 正弦信號(hào)由振幅 角頻率和初相三個(gè)要素確定 由于在正弦穩(wěn)態(tài)電路中 各處的電流和電壓都是正弦信號(hào) 并且它們的角頻率與正弦電源的角頻率相同 因此 在進(jìn)行正弦穩(wěn)態(tài)電路分析時(shí) 對(duì)于正弦電流 電壓的振幅和初相 是我們最為關(guān)心的兩個(gè)要素 為了簡(jiǎn)化分析 現(xiàn)在以電流為例 介紹正弦信號(hào)的相量表示 根據(jù)歐拉公式 可將復(fù)指數(shù)函數(shù)表示為 注意上式中的虛部即為正弦電流的表達(dá)式 于是有 4 12 式中 4 13 式 4 13 中復(fù)數(shù)的模和輻角恰好分別對(duì)應(yīng)正弦電流的振幅和初相 在此基礎(chǔ)上 再考慮已知的角頻率 就能完全表示一個(gè)正弦電流 像這樣能用來(lái)表示正弦信號(hào)的特定復(fù)數(shù)稱為相量 并在符號(hào)上方標(biāo)記圓點(diǎn) 以與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別 稱為電流相量 把它表示在復(fù)平面上 稱為相量圖 如圖4 4所示 圖4 4相量圖 圖4 5旋轉(zhuǎn)相量 同樣地 正弦電壓可表示為 4 14 稱為電壓相量 由于正弦信號(hào)振幅是有效值的2倍 故有 4 15 分別稱為電流 電壓的有效值相量 相應(yīng)地 將和分別稱為電流和電壓的振幅相量 顯然 振幅相量是有效值相量的倍 式中 4 16 必須指出 正弦信號(hào)是代數(shù)量 并非矢量或復(fù)數(shù)量 所以 相量不等于正弦信號(hào) 但是 它們之間有相互對(duì)應(yīng)關(guān)系 即 4 17 或 4 18 因此可以采用相量表示正弦信號(hào) 式 4 17 和 4 18 中 雙向箭頭符號(hào) 表示正弦信號(hào)與相量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 下面介紹幾個(gè)正弦信號(hào)與相量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)則 為了敘述方便 設(shè)正弦信號(hào)A t B t 與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系為 4 19 1 唯一性規(guī)則對(duì)所有時(shí)刻t 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)同頻率的正弦信號(hào)相等時(shí) 其對(duì)應(yīng)相量才相等 即 4 20 證明由于A t B t 所以有 4 21 式 4 21 對(duì)所有時(shí)刻t均成立 令t 0 有 求得 同頻率的正弦信號(hào)與相量一一對(duì)應(yīng) 當(dāng)令t 2 時(shí) 代入式 4 21 有 或?qū)懗?求得 于是有 反之 若 則有 根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義 可得 也就是 故式 4 20 成立 它表明正弦信號(hào)與相量之間是一一對(duì)應(yīng)的 2 線性規(guī)則若K1和K2均為實(shí)常數(shù) 且 則 4 22 證明設(shè) 由于 相同頻率正弦量的線性組合對(duì)應(yīng)它們各自對(duì)應(yīng)相量的線性組合 所以 線性規(guī)則成立 一般而言 若干個(gè)正弦信號(hào)線性組合后的相量等于各正弦信號(hào)對(duì)應(yīng)相量的同一線性組合 作為一種特殊情況 在式 4 22 中 令K2 0 則有 表明正弦信號(hào)數(shù)乘K1后的相量等于原正弦信號(hào)對(duì)應(yīng)的相量數(shù)乘K1 3 微分規(guī)則若 則 4 23 證明因?yàn)?例3已知電壓u1 4sin t 60 V u2 6sin t 135 V和u3 8sin t 60 V 試寫出各電壓的振幅相量 并畫出相量圖 解設(shè)正弦電壓u1 u2和u3的振幅相量分別為 則 圖4 6電壓相量圖 例4部分電路如圖4 7 a 所示 已知 試求電流i 圖4 7例4圖 解由已知條件可得 根據(jù)KCL 有 設(shè)正弦電流i的有效值相