培訓學校北師大版秋季九年級數(shù)學教案.doc

戴氏英語 數(shù)理化十陵校區(qū) 初三數(shù)學暑假沖刺班 主講人：周氏教育中考名校沖刺教育中心數(shù)學思維訓練一元二次方程考點熱點全攻略【我生命中最最最重要的朋友們，請你們認真聽老師講并且跟著老師的思維走。學業(yè)的成功重在于考點的不斷過濾，相信我贈予你們的是你們學業(yè)成功的過濾器。謝謝使用！】一. 考點，難點，熱點；1、一元二次方程的定義一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：，為二次項系數(shù)，為一次項系數(shù)，為常數(shù)項2、一元二次方程的判別式與公式法：設一元二次方程為，其根的判別式為：，是方程的兩根，則： 方程有兩個不相等的實數(shù)根 方程有兩個相等的實數(shù)根 方程沒有實數(shù)根若、為有理數(shù)，且為完全平方式，則方程的解為有理根；若為完全平方式，同時是的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根3、可化為一元二次方程的特殊方程：解方程的基本思想：化分式方程為整式方程；化高次方程為一次或二次方程；化多元為一元；化無理方程為有理方程?？傊鹤詈筠D化為一元一次方程或一元二次方程解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元(加減消元、代入消元、因式分解消元、換元法消元等)，降次(換元降次、因式分解降次、輔助式降次等)等方法解分式方程：一般采用去分母、換元法、重組法、兩邊夾等方法解無理方程：一般采用兩邊平方、根式的定義、性質、換元、構造、三角函數(shù)等方法一元二次方程的認識 要判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個標準： 一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關于未知數(shù)的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數(shù) 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是 任何一個關于的一元二次方程經(jīng)過整理都可以化為一般式要特別注意對于關于的方程，當時，方程是一元二次方程；當且時，方程是一元一次方程 關于的一元二次方程式的項與各項的系數(shù)為二次項，其系數(shù)為；為一次項，其系數(shù)為；為常數(shù)項一元二次方程根的判別式的定義：運用配方法解一元二次方程過程中得到 ，顯然只有當時，才能直接開平方得：也就是說，一元二次方程只有當系數(shù)、滿足條件時才有實數(shù)根這里叫做一元二次方程根的判別式判別式與根的關系：在實數(shù)范圍內，一元二次方程的根由其系數(shù)、確定，它的根的情況(是否有實數(shù)根)由確定判別式：設一元二次方程為，其根的判別式為：則方程有兩個不相等的實數(shù)根方程有兩個相等的實數(shù)根方程沒有實數(shù)根若，為有理數(shù)，且為完全平方式，則方程的解為有理根；若為完全平方式，同時是的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根說明: (1)用判別式去判定方程的根時，要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用，當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，;有兩個相等的實數(shù)根時，;沒有實數(shù)根時， (2)在解一元二次方程時，一般情況下，首先要運用根的判別式判定方程的根的情況(有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，無實數(shù)根)當時，方程有兩個相等的實數(shù)根(二重根)，不能說方程只有一個根 當時拋物線開口向上頂點為其最低點； 當時拋物線開口向下頂點為其最高點一元二次方程的根的判別式的應用：一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應用：(1)運用判別式，判定方程實數(shù)根的個數(shù)； (2)利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；(3)通過判別式，證明與方程相關的代數(shù)問題；(4)借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題，最值問題如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對應項的系數(shù)，得式與式也可以運用求根公式得到人們把公式與稱之為韋達定理，即根與系數(shù)的關系因此，給定一元二次方程就一定有與式成立反過來，如果有兩數(shù)滿足與，那么這兩數(shù)必是一個一元二次方程的根利用這一基本知識?？梢院喗莸靥幚韱栴}利用根與系數(shù)的關系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負性在的條件下，我們有如下結論：當時，方程的兩根必一正一負若，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若，則此方程的正根小于負根的絕對值當時，方程的兩根同正或同負若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負根 韋達定理：如果的兩根是，則，(隱含的條件：) 若，是的兩根(其中)，且為實數(shù)，當時，一般地： ， 且， 且，特殊地：當時，上述就轉化為有兩異根、兩正根、兩負根的條件 以兩個數(shù)為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是： 其他： 若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù)) 若，則方程必有實數(shù)根 若，方程不一定有實數(shù)根 若，則必有一根 若，則必有一根 韋達定理主要應用于以下幾個方面： 已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值； 已知方程，求關于方程的兩根的代數(shù)式的值； 已知方程的兩根，求作方程； 結合根的判別式，討論根的符號特征； 逆用構造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結構時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理； 利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的一些考試中，往往利用這一點設置陷阱二. 典型例題講解及思維拓展一、知識結構：一元二次方程二、考點精析考點一、概念(1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達式： 難點：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當k 時，關于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關于x的一元二次方程，則m的值為 。針對練習：1、方程的一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 。2、若方程是關于x的一元一次方程，求m的值；寫出關于x的一元一次方程。3、若方程是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題：例1、已知的值為2，則的值為 。例2、關于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為 。例3、已知關于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為 。例4、已知是方程的兩個根，是方程的兩個根，則m的值為 。針對練習：1、已知方程的一根是2，則k為 ，另一根是 。2、已知關于x的方程的一個解與方程的解相同。求k的值； 方程的另一個解。3、已知m是方程的一個根，則代數(shù)式 。4、已知是的根，則 。5、方程的一個根為（ ）A B 1 C D 6、若 ?？键c三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點：降次類型一、直接開方法：對于，等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程： =0; 例2、若，則x的值為 。針對練習：下列方程無解的是（ ）A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”。 方程形式：如， ，典型例題：例1、的根為（ ）A B C D 例2、若，則4x+y的值為 。變式1： 。變式2：若，則x+y的值為 。變式3：若，則x+y的值為 。例3、方程的解為（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,則的值為 。變式：已知,且,則的值為 。針對練習：1、下列說法中：方程的二根為，則 . 方程可變形為正確的有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2、以與為根的一元二次方程是（）A BC D3、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)： 4、若實數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程：的解是 。6、已知，且，求的值。7、方程的較大根為r，方程的較小根為s，則s-r的值為 。類型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、 試用配方法說明的值恒大于0。例2、 已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式的最小值。例3、 已知為實數(shù)，求的值。例4、 分解因式：針對練習：1、試用配方法說明的值恒小于0。2、已知，則 .3、若，則t的最大值為 ，最小值為 。4、如果,那么的值為 。類型四、公式法條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程： 例2、在實數(shù)范圍內分解因式：（1）； （2）. 說明：對于二次三項式的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令=0，求出兩根，再寫成=.分解結果是否把二次項系數(shù)乘進括號內，取決于能否把括號內的分母化去.類型五、 “降次思想”的應用求代數(shù)式的值； 解二元二次方程組。典型例題：例1、 已知，求代數(shù)式的值。例2、如果，那么代數(shù)式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。例4、用兩種不同的方法解方程組說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已知的問題.考點四、根的判別式根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應用于其它。典型例題：例1、若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 。例2、關于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知關于x的方程(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求ABC的周長。例4、已知二次三項式是一個完全平方式，試求的值.例5、為何值時，方程組有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解？針對練習：1、當k 時，關于x的二次三項式是完全平方式。2、當取何值時，多項式是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？3、已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是 .4、為何值時，方程組（1）有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；（2）有兩組不相等的實數(shù)解；（3）沒有實數(shù)解. 5、當取何值時，方程的根與均為有理數(shù)？考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關于x的方程有兩個實數(shù)根，則m為 ,只有一個根，則m為 。 例2、 不解方程，判斷關于x的方程根的情況。例3、如果關于x的方程及方程均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六、應用解答題“碰面”問題；“復利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人？3、北京申奧成功，促進了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少，第三年比第二年減少，該產(chǎn)品第一年收入資金約400萬元，公司計劃三年內不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利，要實現(xiàn)這一目標，該產(chǎn)品收入的年平均增長率約為多少？（結果精確到0.1，）4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：（1）當銷售價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為36千米.甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數(shù)的關系前提：對于而言，當滿足、時，才能用韋達定理。主要內容：應用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（ ） A. B.3 C.6 D.例2、已知關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和2，小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應該是多少？例4、已知，求 變式：若，則的值為 。例5、已知是方程的兩個根，那么 .針對練習：1、解方程組2已知，求的值。3、已知是方程的兩實數(shù)根，求的值。戴氏教育中考名校沖刺教育中心數(shù)學思維訓練二次函數(shù)考點熱點全攻略【我生命中最最最重要的朋友們，請你們認真聽老師講并且跟著老師的思維走。學業(yè)的成功重在于考點的不斷過濾，相信我贈予你們的是你們學業(yè)成功的過濾器。謝謝使用！】一.考點，難點，熱點；一、 函數(shù)定義與表達式1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 交點式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化二、 函數(shù)圖像的性質拋物線（1）開口方向二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小越大開口就越小,|a|越小開口就越大. （2）拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線 一般式： 對稱軸 頂點式：x=h 兩根式：x=一般式：頂點式：（h、k） 頂點坐標（3）對稱軸位置一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。（“左同右異”） a與b同號（即ab0） 對稱軸在y軸左側 a與b異號（即ab0） 對稱軸在y軸右側 （4）增減性，最大或最小值當a0時，在對稱軸左側（當時），y隨著x的增大而減少；在對稱軸右側（當時），y隨著x的增大而增大；當a0時，函數(shù)有最小值，并且當x=，；當a0時在x軸上方；c0的解集是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在x軸上方的點對應的橫坐標的范圍，即 ；一元二次不等式ax2+bx+c0雙曲線，位于第一、三象限象限；在每個象限內，值隨的增大而減小，與x軸，y軸無交點k0,由結論及已知條件得 k=4（2）（2008甘肅省蘭州市）如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過矩形的邊的中點，且四邊形的面積為2，則 分析：連結OB，E、F分別為AB、BC的中點 而 由四邊形OEBF的面積為2得 解得 k=2評注：第小題中由圖形所在象限可確定k0，應用結論可直接求k值。第小題首先應用三角形面積的計算方法分析得出四個三角形面積相等，列出含k的方程求k值。例2（2008貴州省黔南州）如圖，矩形ABOD的頂點A是函數(shù)與函數(shù)在第二象限的交點，軸于B，軸于D，且矩形ABOD的面積為3（1）求兩函數(shù)的解析式（2）求兩函數(shù)的交點A、C的坐標（3）若點P是y軸上一動點，且，求點P的坐標解：（1）由圖象知k0）圖象上五個整數(shù)點（橫、縱坐標均為整數(shù)），分別以這些點向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖5所示的五個橄欖形（陰影部分），則這五個橄欖形的面積總和是 （用含的代數(shù)式表示）分析：x,y為正整數(shù)，x=1,2,4,8,16即A、B、C、D、E五個點的坐標為(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五個橄欖形關于y=x對稱，故有S=13-26例7（2009年濟寧市）如圖，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于 . 分析：因為圓心A中的非陰影部分與圓B中的陰影部分為對稱圖形，圓A中的陰影部分與圓B中的非陰影部分也關于原點對稱，故兩陰影部分面積的和等于圓的面積。設圓A的圓心A的坐標為(x,y)，由圖可知，x=y A點在反比例函數(shù)圖象上， 解得x=1從而所求面積為評注：對于較復雜的圖形面積計算問題，先應觀察圖形的特征，若具有對稱特征，則應用對稱關系可以簡化解題過程。三、 討論與面積有關的綜合問題四、 例8（2008山東?。┪?、 （1）探究新知：如圖1，已知ABC與ABD的面積相等， 試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由 （2）結論應用： 如圖2，點M，N在反比例函數(shù)（k0）的圖象上，過點M作MEy軸，過點N作NFx軸，垂足分別為E，F(xiàn) 試證明：MNEF 若中的其他條件不變，只改變點M，N 的位置如圖3所示，請判斷 MN與EF是否平行。解：（1）證明：分別過點C，D，作CGAB，DHAB， 垂足為G，H，則CGADHB90 CGDH ABC與ABD的面積相等， CGDH 四邊形CGHD為平行四邊形 ABCD （2）證明：連結MF，NE利用同底等高的三角形面積相等，可知SEFM SEF N由（1）中的結論可知：MNEF如圖所示， MNEF評注：本題綜合性較強，難度較大。既考查分析問題的能力，又考查轉化能力，知識與能力的考查融合的恰當。例9（2009年濟南）已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內，當取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中過點作直線軸，交軸于點；過點作直線軸交軸于點，交直線于點當四邊形的面積為6時，請判斷線段與的大小關系，并說明理由分析：（1）由點A（3，2）在兩函數(shù)圖象上，可求得 k=6,a=，正比例函數(shù)為,反比例函數(shù)為(2)0x2 （B）m1 （C）2m1 （D）m0時，y隨x的增大而 7如果直線y2xm不經(jīng)過第二象限，那么實數(shù)m的取值范圍是 8若雙曲線y（m1）x1在第二、四象限，則m的取值范圍是 9已知直線y被兩坐標軸截取的線段長為5，求此直線函數(shù)解析式。10已知一次函數(shù)yx23的圖象經(jīng)過點（1，3），是方程2310的一個根，且Y隨的增大而增大，求這個一次函數(shù)解析式?？键c訓練：1 y= x 的圖象是一條過原點及點(-3,3)的直線2一次函數(shù)y=kx+b 的圖象經(jīng)過P(1,0) 和Q(0,1)兩點，則k= ,b= . 3正比例函數(shù)的圖象與直線y= -x+4平行，則該正比例函數(shù)的解析式為 ，該正比例函數(shù)y 隨x的增大而 .4已知y-2與x成正比例,且x=2時,y=4,則y與x之間的函數(shù)關系是