走向高考,賈鳳山,高中總復(fù)習(xí),第2篇.ppt

第三講平面向量的數(shù)量積 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn) 平面向量的數(shù)量積及其幾何意義 數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度 角度和垂直的問題 難點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 知識(shí)歸納 1 向量數(shù)量積的定義 1 向量a與b的夾角當(dāng)時(shí) a與b垂直 記作a b 當(dāng) 0時(shí) a與b同向 當(dāng) 時(shí) a與b反向 2 a與b的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b 它們的夾角為 我們把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積 或內(nèi)積 記作a b 并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0 a b cos 3 如圖 過(guò)B作BB1垂直于直線OA 垂足為B1 則OB1 叫做向量b在a方向上的投影 b cos 當(dāng) 為銳角時(shí) 如圖 甲 它是正值 當(dāng) 為鈍角時(shí) 如圖 乙 它是負(fù)值 當(dāng) 為直角時(shí) 如圖 丙 它是0 當(dāng) 為0 時(shí) 它是 b 當(dāng) 為180 時(shí) 它是 b 4 平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度 a 與b在a方向上的投影 b cos 的乘積 2 向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a b都是非零向量 e是與b方向相同的單位向量 是a與e的夾角 則 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 當(dāng)a與b同向時(shí) a b a b 當(dāng)a與b反向時(shí) a b a b 特別地 a a a 2或 a 3 向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1 a b b a 交換律 2 a b a b a b 3 a b c a c b c 4 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 則a b 4 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 且a b都是非零向量 則a b a b 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 誤區(qū)警示1 若a b 0 a 0不一定有b 0 因?yàn)楫?dāng)a b時(shí) 總有a b 0 2 對(duì)于實(shí)數(shù)a b c 當(dāng)b 0時(shí) 若ab bc 則a c 但對(duì)于向量a b c 當(dāng)b 0時(shí) 由a b b c卻推不出a c 因?yàn)橛蒩 b b c得b a c 0 只要a c與b垂直即可 3 數(shù)量積不滿足結(jié)合律 即對(duì)于向量a b c a b c a b c 這是因?yàn)閍 b與b c都是實(shí)數(shù) a b c與c共線 a b c 與a共線 而c與a卻未必共線 4 若 則a在b方向上的投影為 a cos b在a方向上的投影為 b cos 應(yīng)注意區(qū)分 解題規(guī)律夾角及垂直問題 1 若向量a x1 y1 與向量b x2 y2 的夾角為 2 當(dāng)a b都是非零向量時(shí) a b a b 0 x1x2 y1y2 0 例 如圖所示 在 AOB中 若A B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 2 0 3 4 點(diǎn)C在AB上 且平分 BOA 求點(diǎn)C的坐標(biāo) 解析 設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為 x y 由于cos AOC cos BOC 且 例1 08 江蘇 已知向量a與b的夾角為120 a 1 b 3 則 5a b 分析 由 a 與 b 及夾角可求a b 進(jìn)而可求 5a b 2 09 遼寧 平面向量a與b的夾角為60 a 2 0 b 1 則 a 2b 解析 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 12 a 2b 答案 B 方法2 排除法 D中y 0不合題意 C不是單位向量 舍去 代入A 不合題意 故選B 09 江西 已知向量a 3 1 b 1 3 c k 2 若 a c b 則k 解析 a c 3 k 1 b 1 3 a c b 1 3 k 1 3 0 k 0 答案 0 例3 已知向量a cos15 sin15 b sin15 cos15 則 a b 的值為 已知a與b的夾角為 定義a b為a與b的 向量積 a b是一個(gè)向量 它的長(zhǎng)度 a b a b sin 若u 2 0 u v 1 則 u u v 例4 已知a b是非零向量 若a 3b與7a 5b垂直 a 4b與7a 2b垂直 試求 a與b的夾角 分析 求a b的夾角 可利用公式a b a b cos 利用題設(shè)中的垂直條件 可得 a b 的方程組求得 a b 的關(guān)系 將它代入公式求出 的值 由 得46a b 23b2 0 所以b2 2a b 將它代入 得a2 2a b a b 所以由b2 2a b可知 b 2 2 a b cos 所以cos 所以 60 即所求的向量a b夾角為60 方法2 由條件知 15 8得 a b 由 得7 a 2 16 a b cos 15 b 2 0 7 16cos 15 0 cos 0 180 60 即向量a與b夾角為60 已知向量a 3 4 b 2 1 如果向量a b與向量 b互相垂直 則實(shí)數(shù) 的值為 解析 a b 3 4 2 1 3 2 4 b 2 1 a b b 2 3 2 4 0 故選D 答案 D 例5 已知a cos sin b cos sin 且 ka b a kb k 0 1 用k表示a b 2 求a b的最小值 并求此時(shí)a與b的夾角 解析 1 由已知得 ka b 2 3 a kb 2 即k2 a 2 2ka b b 2 3 a 2 2ka b k2 b 2 k2 8ka b 1 3 1 k2 點(diǎn)評(píng) 向量知識(shí)與三角 數(shù)列 不等式 解析幾何 函數(shù)等的結(jié)合是高考命題的主要方向 向量平行或垂直的條件是結(jié)合的主要方面 一 選擇題1 文 設(shè)向量a 1 2 b 2 1 則 a b a b 等于 A 1 1 B 4 4 C 4D 2 2 答案 B 解析 a b 4 a b 1 1 a b a b 4 4 故選B 理 08 湖北 設(shè)a 1 2 b 3 4 c 3 2 則 a 2b c A 15 12 B 0C 3D 11 答案 C 解析 a 2b 5 6 c 3 2 a 2b c 5 3 6 2 3 2 若非零向量a b滿足 a b b 則 A 2a 2a b B 2a a 2b D 2b a 2b 答案 C 解析 由已知 a b 2 b2 即2a b a 2 0 2a b 2 2a 2 4a b b 2 b 2 2 a 2符號(hào)不能確定 A B均不對(duì) a 2b 2 2b 2 a 2 4a b a 2 2 a 2 a 2 0 故選C 4 文 已知向量a 1 2 b 0 1 設(shè)u a kb v 2a b 若u v 則實(shí)數(shù)k的值為 答案 B 解析 u 1 2 k 0 1 1 2 k v 2 4 0 1 2 3 又u v 1 3 2 2 k k 故選B 二 填空題5 文 08 北京 已知向量a與b的夾角為120 且 a b 4 那么b 2a b 的值為