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對稱性在二重積分中的應用 高等數(shù)學 同濟大學第五版 主講 張曉斌 中國民航大學理學院 中國民航大學理學院張曉斌 一 常用的有關二重積分的對稱性定理 二 定理的應用 典型例題分析 三 小結 主要內(nèi)容 中國民航大學理學院張曉斌 一 常用的有關二重積分的對稱性定理 定義1 若二元函數(shù)的定義域關于軸對稱 且滿足 或 則稱關于為奇 偶 函數(shù) 定義2 若二元函數(shù)的定義域關于軸對稱 且滿足 或 則稱關于為奇 偶 函數(shù) 中國民航大學理學院張曉斌 定義3 若二元函數(shù)的定義域關于直線對稱 且滿足 則稱關于和對稱 定理1若有界閉區(qū)域關于軸對稱 在區(qū)域上連續(xù) 則 當關于為奇函數(shù)時 當關于為偶函數(shù)時 中國民航大學理學院張曉斌 定理1 若有界閉區(qū)域關于軸對稱 在區(qū)域上連續(xù) 則 當關于為奇函數(shù)時 當關于為偶函數(shù)時 中國民航大學理學院張曉斌 推論1 1若有界閉區(qū)域關于軸和軸都對稱 在區(qū)域上連續(xù) 且關于和均為偶函數(shù) 則 中國民航大學理學院張曉斌 定理2若有界閉區(qū)域與區(qū)域關于直線對稱 在區(qū)域上連續(xù) 則 中國民航大學理學院張曉斌 推論2 1若有界閉區(qū)域關于直線對稱 在區(qū)域上連續(xù) 則 中國民航大學理學院張曉斌 例1 如圖 由于積分區(qū)域關于軸 軸都對稱 且和中的被積函數(shù)分別關于是奇函數(shù) 根據(jù)定理1和定理1 得 計算其中 解 中國民航大學理學院張曉斌 二 定理的應用 例2 總習題九1 2 則 提示 如圖 A 設有平面閉區(qū)域 中國民航大學理學院張曉斌 例3 有一個平面薄片 在平面上占有區(qū)域其面密度為 求該薄片的質(zhì)量M 由于積分區(qū)域關于軸 軸都對稱 且被積函數(shù)關于都是偶函數(shù) 根據(jù)推論1 1得 中國民航大學理學院張曉斌 解 根據(jù)二重積分的物理意義 2014 3 例4 設在連續(xù) 且 證明 證明 補區(qū)域使其與區(qū)域 注意到被積函數(shù)關于和對稱 考慮利用定理2 關于直線對稱 例5 中國民航大學理學院張曉斌 設為取值恒大于0的連續(xù)函數(shù) 區(qū)域 與是兩個非零常數(shù) 則二重積分 解 由于區(qū)域關于直線對稱 根據(jù)推論2 1可得 從而 中國民航大學理學院張曉斌 三 小結 本節(jié)給出了幾種常用的有關二重積分的對稱性定理 并通過例題分析對這些定理做了應用 討論了利用積分區(qū)域的對稱

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