2010年湖南長沙一中三模(理科數(shù)學(xué)).doc

長沙市一中2010屆第三次模擬試卷理科數(shù)學(xué)一選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1 函數(shù)的定義域是（ ） ABCD2有下列四個(gè)命題，其中真命題是 （ ） AB CD3已知三棱柱的三視圖如下圖所示，其中俯視圖為正三角形，則該三棱柱的體積為 （ ）ABC D64函數(shù)f（x）=的圖象大致是 （ ）5已知ABP的頂點(diǎn)A、B分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線C上，則的值等于 A B CD 6我市某機(jī)構(gòu)調(diào)查小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)的情況，設(shè)平均每人每天做作業(yè)時(shí)間為x(單位：分鐘)，按時(shí)間分下列四種情況統(tǒng)計(jì)：030分鐘；3060分鐘；6090分鐘；90分鐘及90分鐘以上，有1 000名小學(xué)生參加了此項(xiàng)調(diào)查，下圖是此次調(diào)查的流程圖，已知輸出的結(jié)果是600，則平均每天做作業(yè)時(shí)間在060分鐘內(nèi)的學(xué)生的頻率是 ( )A0.20B0.40C0.60D0.807已知0a1，0b1，則函數(shù)的圖象恒在x軸上方的概率為（ ） ABCD8已知f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f (x)= ，又a是函數(shù)g (x) =的正零點(diǎn)，則f（2），f（a），f（1.5）的大上關(guān)系是（ ） AB CD二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡對應(yīng)題號后的橫線上）9用0.618法確定的試點(diǎn)，則經(jīng)過 次試驗(yàn)后，存優(yōu)范圍縮小為原來的0.6184倍10在等差數(shù)列an中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，則的值為 11已知復(fù)數(shù)，它們在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若，則的值是 12在極坐標(biāo)系中，和極軸垂直相交的直線l與圓相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則直線l的極坐標(biāo)方程為 13在計(jì)算機(jī)的運(yùn)行過程中，常常要進(jìn)行二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換與運(yùn)算如：十進(jìn)制數(shù)8轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制是1000，記作8（10）=1000（2）；二進(jìn)制數(shù)111轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是7，記作111（2）=7（10）二進(jìn)制的四則運(yùn)算，如：11（2）+101（2）=1000（2），請計(jì)算：11（2）111（2）+1111（2）= （2）14不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 15設(shè)集合M=1，2，3，4，5，6，對于ai，biM，記且，由所有組成的集合設(shè)為：A=e1，e2，ek，則k的值為 ；設(shè)集合B=，對任意eiA，B，則的概率為 三、解答題（本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16（本大題滿分12分）上海世博會在游客入園參觀的試運(yùn)營階段，為了解每個(gè)入口的通行速度，在一號入口處隨機(jī)抽取甲、乙兩名安檢人員在一小時(shí)內(nèi)完成游客入園人數(shù)的8次記錄，記錄人數(shù)的莖葉圖如下： （1）現(xiàn)在從甲、乙兩人中選一人擔(dān)任客流高峰階段的安檢員，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位安檢員參加合適？請說明理由；（2）若將頻率視為概率，甲安檢員在正式開園的一個(gè)工作日的4小時(shí)內(nèi),每個(gè)單位小時(shí)段安檢人數(shù)高于80人的次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E17（本大題滿分12分）已知函數(shù)f (x) = 2sin2（1）若函數(shù)h (x) = f (x + t)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且t(0，)，求t的值；（2）設(shè)p：x，q：|f (x) m|3，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍18（本大題滿分12分）如圖1所示，圓O的直徑AB = 6，C為圓周上一點(diǎn)，BC = 3過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD與直線l、圓O分別交于點(diǎn)D、E （1）求DAC的大小及線段AE的長； 圖2 （2）如圖2所示,將ACD沿AC折起，點(diǎn)D折至點(diǎn)圖1P處，且使得ACP所在平面與圓O所在平面垂直，連結(jié)BP，求二面角PABC大小的余弦值19（本小題滿分13分）2010年我國西南地區(qū)遭受特大旱災(zāi)，某地政府決定興修水利，某灌渠的橫截面設(shè)計(jì)方案如圖所示，橫截面邊界AOB設(shè)計(jì)為拋物線型，渠寬AB為2m，渠深OC為1.5m，正常灌溉時(shí)水面EF距AB為0.5m （1）求水面EF的寬度； （2）為了使灌渠流量加大，將此水渠的橫截面改造為等腰梯形，受地理?xiàng)l件限制要求渠深不變，不準(zhǔn)往回填土，只準(zhǔn)挖土，試求截面等腰梯形的下底邊長為多大時(shí)，才能使所挖的土最少？ 20（本小題滿分13分）已知函數(shù)f (x) = （1）若函數(shù)f (x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）若函數(shù)f (x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且 若a13，求證：ann + 2；若a1 = 4，試比較的大小，并說明你的理由21（本大題滿分13分）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，半焦距為c，直線與x軸的交點(diǎn)為N，滿足，設(shè)A、B是上半橢圓上滿足的兩點(diǎn)，其中 （1）求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍； （2）過A、B兩點(diǎn)分別作橢圓的切線，兩切線相交于一點(diǎn)P，試問：點(diǎn)P是否恒在某定直線上運(yùn)動，請說明理由理科數(shù)學(xué)參考答案1 【解析】A 由2x10，求得x02【解析】B 對于選項(xiàng)A，令即可驗(yàn)證不正確；對于選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，可令n= 1加以驗(yàn)證其不正確，故選B3【解析】C 如圖將三棱柱還原為直觀圖，由三視圖知，三棱柱的高為4，設(shè)底面連長為a，則故體積4【解析】B 函數(shù)y=ln|x|（x0）的圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)的圖象是反比例函數(shù) 的圖象在每一象限的部分5【解析】C 由題意得：|PBPA|=8，|AB|=2，從而由正弦定理，得6【解析】B 由流程圖可見，當(dāng)作業(yè)時(shí)間X大于60時(shí)，S將會增加1，由此可知S統(tǒng)計(jì)的是作業(yè)時(shí)間為60分鐘以上的學(xué)生數(shù)量，因此由輸出結(jié)果為600知有600名學(xué)生的作業(yè)時(shí)間超過60分鐘，因此作業(yè)時(shí)間在060分鐘內(nèi)的學(xué)生總數(shù)有1000600=400名，所以所求頻率為400/1000=0.4. 7【解析】D 因?yàn)楹瘮?shù)圖象恒在x軸上方，則4，所以，即則建立關(guān)于a，b的直角坐標(biāo)系，畫出關(guān)于a和b的平面區(qū)域，如圖此時(shí)，可知此題求解的概率類型為關(guān)于面積的幾何概型，由圖可知基本事件空間所對應(yīng)的幾何度量，滿足圖象在x軸上方的事件A所對應(yīng)的幾何度量所以8【解析】A 當(dāng)a0時(shí)，易知g（x）為增函數(shù)，而且g（2）=ln3 10，g（1.5）=ln2.5lne1=0，于是由零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間（1.5，2）內(nèi)g（x）存在零點(diǎn)，再由單調(diào)性結(jié)合題意可知a就為這個(gè)零點(diǎn)，因此有1.5a2又當(dāng)x0時(shí)，直接求導(dǎo)即得，于是當(dāng)x1時(shí)，我們有，由此可見f（x）在上單調(diào)增，可見必有，而又由于f（x）為偶函數(shù)，所以，故選A 9【解析】5次 10【解析】8 由已知得：，又分別設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，則11【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A(1，2)，B(1，1)，C(3，4)所以+，因此，即，所以12【解析】 由該圓的極坐標(biāo)方程為知該圓的半徑為4，又直線l被該圓截得的弦長|AB|為4，設(shè)該圓圓心為O，則AOB=60，極點(diǎn)到直線l的距離為，所以直線的極坐標(biāo)方程為13【解析】100100 由題可知，在二進(jìn)制數(shù)中的運(yùn)算規(guī)律是“逢二進(jìn)一”，所以11（2）111（2=10101（2），10101（2）+1111（2）=100100（2）14【解析】4a6 不等式對于一切非零實(shí)數(shù)x均成立，可以先求出的最小值，然后利用小于這個(gè)最小值即可求解a的取值范圍當(dāng)x0時(shí)，；當(dāng)x0時(shí)，從而恒成立，所以不等式對于一切非零實(shí)數(shù)x均成立，可轉(zhuǎn)化主，即15【解析】11； 由題意知，ai，biM，aibi，首先考慮M中的二元子集有1，2，1，3，5，6，共15個(gè)，即為=15個(gè)又aibi，滿足的二元子集有：1，2，2，4，3，6，這時(shí)，1，3，2，6，這時(shí)，2，3，4，6，這時(shí)，共7個(gè)二元子集故集全A中的元素個(gè)數(shù)為k=15 7 +3=11列舉A=，B=2，3，4，5，6，共6對所求概率為：16【解析】（1）派甲參賽比較合適理由如下：甲 = (702 + 804 + 902 + 8 + 9 + 1 + 2 + 4 + 8 + 3 + 5) = 85，(701 + 804 + 903 + 5 + 0 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 + 5) = 85，(78 85)2+ (79 85)2 + (81 85)2 + (82 85)2 + (84 85)2 + (88 85)2 + (90 85)2 + (92 85)2 + (95 85)2 = 35.5 S乙2=41，甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適（6分）注：本小題的結(jié)論及理由均不唯一，如果考生能從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分如派乙參賽比較合適，理由如下：從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲檢測85人以上（含85人）的概率P1 = ，乙檢測85人以上（含85人）的概率P2P1，派乙參賽比較合適（2）記“甲安檢員在一小時(shí)內(nèi)完成安檢人數(shù)高于80人”為事件A，隨機(jī)變量的可能取值為0、1、2、3，且B (4，)P (= k) = k = 01，2，3，4 8分所以變量的分布列為：01234P（10分） E = 4= 3 （12分）17【解析】（1）（4分）h (x) = f (x + t) = 2sin ()，h (x)的圖象的對稱中心為，kZ，又已知點(diǎn)為h (x)的圖象的一個(gè)對稱中心，而t(0，)，t = （7分）（2）若p成立，即當(dāng)x時(shí)，f (x)1，2，由|f (x) m|3m 3f (x)m + 3，p是q的充分不必要條件，解得1m4，即m的取值范圍是1，4（12分）18 【解析】（1）連結(jié)OC，則OCAD，CB = OB = OC，COB =EAO = 60，CAO = 30，RtAEBRtBCA，CB = AE = 3（5分）（2）過P作PHAC于H，由于平面PAC平面O，則PH平面O過H作HFAB于F，連結(jié)PF，則PFAB，故PFH為二面角PABC的平面角（8分）在RtAPC中，PH = APsin30= ACcos30sin30= ，圖2DAP2 = AHAC得AH = ，在RtAFH中，F(xiàn)H = AH sin30=，故tanPFH = 12分另解：過P作PHAC于H，則PH平面O，過H作HFCB交AB于F，以H為原點(diǎn)，HF、HA、HP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)則H (0，0，0)，A (，0，0)，B (，3，0)，P (0，0，)從而，設(shè)平面PAB的法向量則令x=1，從而，而平面ABC的法向量為故12分 19【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(1，1.5)，B (1，1.5)，C (0，1.5) 設(shè)拋物線方程為x2 = 2py (p0)，由點(diǎn)A (1，1.5)代入方程，得到1 = 2p1.5，即，所以拋物線方程為x2 = ，由點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，得到點(diǎn)E橫坐標(biāo)為，所以截面圖中水面寬度為m（6分） （2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)M因?yàn)楦脑焖r(shí)只準(zhǔn)挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿過點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土 由，即，求導(dǎo)得，所以過點(diǎn)M的切線斜率為3t，切線方程為，令y = 0，則，所以截面面積為S = ，當(dāng)且僅當(dāng)t = 時(shí)等號成立 所以截面梯形的下底邊長為m時(shí)，才能使所挖的土最少（13分）20【解析】（1）f (1) = a b = 0，a = b，f(x) = 要使函數(shù)f (x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在(0，+)內(nèi)f(x) 恒大于或等于零，或恒小于或等于零 由得而 由得 而 經(jīng)驗(yàn)證a=0及a=1均合題意，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a1或a0（5分）（2）函數(shù)f (x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，f(1) = 0，即a + a 2 = 0，解得a = 1，f(x) = ，an + 1 = f（7分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（i）當(dāng)n = 1時(shí)，a13 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)不等式成立，即那么ak k20，ak + 1 = ak (ak k) + 12 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2k + 3，也就是說，當(dāng)n = k + 1時(shí)，ak + 1(k + 1) + 2根據(jù)（i）和（ii），對于所有n1，有ann + 2（10分）由an + 1 = an (an n) + 1及，對k2，有ak = ak 1 (ak1 k + 1) + 1ak 1 (k 1 + 2 k + 1) + 1 = 2ak1 + 1，ak + 12 (ak1 + 1)22 (ak 2 + 1)23 (ak 3 + 1)2k1 (a1 + 1)而，于是當(dāng)k2時(shí)，（13分）21【解析】(1)由于， 解得a2=2，b2=1，從而所求橢圓的方程為（2分）三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0）設(shè)直線AB的方程為，其中k為直線AB的斜率，依條件知k0由消去x得即根據(jù)條件可知解得，依題意取 （5分）設(shè)，則根據(jù)韋達(dá)定理，得又由