哈密頓力學.ppt

4哈密頓動力學 1正則方程2守恒原理3泊松括號和泊松定理4劉維定理5哈密頓原理6正則變換7哈密頓 雅可比原理 拉格朗日動力學 哈密頓動力學 從量綱來分析 能量 時間 作用量 1 哈密頓正則方程 完整 保守的系統(tǒng) 動力學方程為拉格朗日方程 是廣義坐標的二階微分方程 可改寫為 廣義動量定義為 2s個一階微分方程作為系統(tǒng)的動力學方程 用廣義坐標和廣義動量來代替廣義坐標和廣義速度 一 正則方程 從廣義動量的定義 解出廣義速度 系統(tǒng)的動力學方程 但形式由廣義坐標的選取來確定 哈密頓正則方程 二 特性函數(shù) 三 勒讓德變換 兩個自變量的函數(shù) 四個變量之間的兩個方程 其中的2個是獨立的 以u y為獨立變量 則 構造一個新的函數(shù) 因此 舊獨立變量 舊獨立變量 新獨立變量 不要的原獨立變量 新函數(shù) 新獨立變量 新的不獨立變量 原不獨立變量 新函數(shù) 新獨立變量 舊函數(shù) 保留的獨立變量 保留的不獨立變量 比較 將f換成g后 第一式 u與x對易 第二式 加負號 這種由一組獨立變量 x y 變?yōu)榱硪唤M獨立變量 u y 的變換成為勒讓德變換 勒讓德變換指出 獨立變量改變 相應的函數(shù)本身隨之改變 這樣不獨立變量仍可以用獨立變量的偏導數(shù)表示 由勒讓德變換給出正則方程 拉格朗日變量 哈密頓變量 新函數(shù) 新的獨立變量 不要的原獨立變量 舊函數(shù) 根據(jù)前面我們得到的勒讓德變換有 這些勒讓德變換只是數(shù)學內容 考慮拉格朗日方程 則有 哈密頓量H Ep Ek 動量定義 牛頓第二定律 p 廣義動量x 廣義位移 即 哈密頓正則方程 一維彈簧振子的運動 哈密頓變量 哈密頓正則方程 哈密頓函數(shù) 拉格朗日變量 哈密頓變量 對比 可得 考慮拉格朗日方程 因此有 2 守恒原理 一 能量積分 哈密頓量 對時間求微商 考慮正則方程 也就是說 哈密頓函數(shù)H中不顯含時間t 則有 表示一積分常數(shù) 廣義能量守恒 由拉格朗日動力學可知 穩(wěn)定約束 體系機械能守恒 不穩(wěn)定約束 廣義能量守恒 二 循環(huán)積分 可遺坐標 若哈密頓函數(shù)H中不顯含某一廣義坐標 則由正則方程 立即有 也就是 這就是哈密頓動力學中的廣義動量守恒原理 拉格朗日動力學 拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標 哈密頓動力學 哈密頓函數(shù)中不顯含某一廣義坐標 廣義動量守恒原理的條件 這兩個條件實際上是等價的 即在L和H中 若其一不含廣義坐標則另一必定也不含有 可遺坐標對應的廣義動量守恒 不含于L或H的廣義坐標稱為可遺坐標 若體系某一廣義動量守恒 給問題的求解帶來方便 這在拉格朗日動力學和哈密頓動力學中是相同的 但在哈密頓動力學中更適合于處理可遺坐標 拉格朗日函數(shù)中雖然可以含有可遺坐標 但是可以含有相應的廣義速度 問題仍然是s個自由度 而哈密頓函數(shù)中 不僅不含有可遺坐標 而相應的廣義動量是個常數(shù) 因此這一自由度相當于已經(jīng)解出 只要求解其他自由度即可 可見在哈密頓動力學中可遺坐標才是正真的可以忽略 想一想 為什么不討論L中不顯含 或H中不顯含的問題 例1質量為M的楔子置于光滑的水平桌面上 楔子底面也是光滑的 斜面卻是粗糙的 質量為m 半徑為R的圓柱體沿著楔子斜面無滑動地滾下 求解楔子和圓柱體的運動 解楔子可在水平方向運動 取桌面上的固定點O為原點 把楔子的質心 其實不一定要質心 改為楔子的任一點也行 相對于O點的水平坐標記作X 圓柱體可在楔子的斜面上滾動 把圓柱軸相對于楔子斜面上端并沿斜邊計算的坐標記作q 把圓柱某根半徑與豎直向下之間的夾角記作 無滑動這個約束條件可寫為 這個運動約束可以積分為 故 這是一個完整約束 q和 不獨立 這個系統(tǒng)有兩個自由度 可以選x和 是兩個獨立的廣義坐標 主動力都是重力 圓柱體的勢能 楔子的動能為 圓柱的動能包括質心的平動動能和繞 質心轉動的轉動動能 所以 按定義 廣義動量 所以得到廣義速度 于是 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù) 哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標X 所以X是循環(huán)坐標 相應的廣義動量守恒 此時對 的正則方程為 所以 這是勻加速轉動 積分一次 簡單推導 可得 例2 寫出粒子在中心勢場V a r中哈密頓函數(shù)和正則方程 解 自由度是2 廣義坐標r 廣義動量 中心勢場粒子的能量守恒 因此粒子的哈密頓函數(shù)為 可以解得正則方程 該題還可解得 粒子的徑向運動方程 角動量守恒定律 例3 分別用笛卡兒坐標 柱面坐標和球面坐標寫出一個自由質點在勢場V 中的哈密頓函數(shù)H 解 體系為質點 自由度數(shù)s 3 1 在笛卡兒坐標系中 取x y z為廣義坐標 則拉格朗日函數(shù)L為 2 在柱面坐標系中 L T V 3 在球面坐標系中 V V r V r 例4 求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù) 設兩原子之間相互作用的彈性力為F k r r0 其中r為兩原子間距離 r0為兩原子處在平衡時的距離 解 為了求出拉格朗日函數(shù) 應先求分子的動能 T Tc T 兩原子相對質心的動能 質心動能 把兩原子相對質心的動能轉換為m2相對于m1的運動 L T V 例5 一質量為m的自由質點 受力為位矢 k為大于零的常數(shù) 求在直角坐標系中質點的運動微分方程 解 取x y z為廣義坐標 動能為 例6 應用哈密頓正則方程求核外電子的運動規(guī)律 設電子的電量為 e 原子核帶電為Ze Z為原子序數(shù) 是循環(huán)坐標 p C 可見電子的運動與無關 可令 則 在拉格朗日動力學中 從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動力學方程即拉格朗日方程 在哈密頓動力學中 必須從拉格朗日函數(shù)轉到哈密頓函數(shù) 才可寫出動力學方程即哈密頓正則方程 從哈密頓正則方程消去廣義動量的結果其實不過是從另一條路徑達到拉格朗日方程 所以哈密頓動力學不如拉格朗日動力學簡便 哈密頓動力學的優(yōu)點之一是便于量子化 另一個優(yōu)點在變量的變換中比較自由 拉格朗日動力學采用的變量廣義坐標和廣義動量并不對等 只能對廣義坐標進行變換 而廣義速度也隨之而變 哈密頓動力學采用的變量坐標和動量是完全對等的 不僅可以對廣義坐標進行變換 而且可以坐標和動量一起變換 這個到下面正則變換時進一步分析 3 泊松括號和泊松定理 哈密頓正則方程 對于循環(huán)坐標 不顯含時間t 則有 稱為運動積分 當體系運動時 如果函數(shù)則稱其為正則方程的一個運動積分 若都是正則方程的運動積分 則這些積分的任意函數(shù)任然是正則方程的積分 若找到了2s個獨立的運動積分 則由 可以解出 即為正則方程的解 如果函數(shù) 是正則變量q p 和時間的函數(shù) 則它對時間的導數(shù)為 其中 H 叫做泊松括號 一 泊松括號的定義 如果函數(shù) 在運動中保持為常數(shù) 則 如果函數(shù) 也是正則變量和時間的函數(shù) 泊松括號 定義為 二 泊松括號的性質 雅可比恒等式 例1計算泊松括號 Ly Lz Lz Lx 和 Lx Ly Lx L2 Ly L2 和 Lz L2 這里L是質點的角動量 解 這里廣義坐標q1 x q2 y q3 z 廣義動量p1 px p2 py p3 pz 先計算泊松括號 Ly Lz 即 同理 同理 三 泊松定理 如果函數(shù) 都是相空間中的運動積分 則它們的組合 也是相空間中的運動積分 證明 顯然 也是運動常數(shù) 還可以通過類似的關系得到更多的運動常數(shù) 1 利用泊松括號表示正則方程 即正則方程可以表示為 克朗內克符號 2 利用泊松括號表示正則變量 是一組正則變量 四 量子力學中的泊松括號 在經(jīng)典力學中 兩個力學量同時具有確定的值并不成為問題 可是 在量子力學中這卻是個問題 力學量在量子力學中是用算符或矩陣表示的 兩個算符或矩陣的乘積一般是與這兩個算符或矩陣的先后次序有關的 兩個力學量X和Y是否可以同時具有確定的值就看它們的量子泊松括號 是否為零 如果兩個力學量的經(jīng)典泊松括號為零 則它們的量子松括號也為零 在量個力學中它們是可以同時確定的 比如 任意兩個廣義坐標可以同時確定 任意兩個廣義動量也可以同時確定 一個廣義坐標和對應的廣義動量不能同時確定 一個廣義坐標和非對應的廣義動量可以同時確定 又比如 角動量的任意兩個分量不能同時確定 但角動量的一個分量和角動量的平方可以同時確定 4 劉維定理 分析力學解決宏觀機械問題的過程并不比牛頓力學簡單 但是對于大數(shù)目系統(tǒng) 往往牛頓力學無法求解 而運用哈密頓正則方程卻容易的多 哈密頓動力學用廣義坐標和廣義動量描述力學系統(tǒng)的運動 對一個自由度問題 某一時刻的狀態(tài)用x和p值表示 即xp平面上的一個點表示 隨著時間推移 狀態(tài)不斷變化 它在xp平面上刻畫出一條曲線 多自由度的情況也類似 對于s個自由度的力學系統(tǒng) 我們把廣義坐標和廣義動量當作直角坐標而構成2s維的空間叫作相空間 該力學系統(tǒng)在某一時刻的狀況也可用相空間的一個點表示 隨著時間的推移 相空間中的代表點給出的曲線形成相軌道 換句話說 相軌道給出力學系統(tǒng)隨時間的演變過程 原則上 給定力學系統(tǒng)的初始狀態(tài) 該系統(tǒng)的運動就由動力學方程完全確定 即以相空間中某一點為出發(fā)點的相軌道 由動力學方程所完全決定 但是 如果系統(tǒng)的自由度數(shù)比較大 力學系統(tǒng)比較復雜 我們不能斷定相空間中究竟哪一點準確地代表系統(tǒng)的狀態(tài) 怎么辦 替代的辦法 我們只能考慮各種可能的代表點 其中每一點都代表系統(tǒng)的一種可能狀態(tài) 實質上 這是考慮處于給定約束條件下許許多多性質完全相同的力學系統(tǒng) 這些性質完全相同的力學系統(tǒng)構成一個系綜 相空間中每一個代表點對應于系綜中某一個力學系統(tǒng)的狀態(tài) 代表點的相軌道對應于該系統(tǒng)的演變 各種可能的代表點則對應于系綜中所有力學系統(tǒng)的狀況 各種可能的相軌道則對應于系綜的演變 這就是統(tǒng)計力學的起點 劉維定理 保守力學體系在相空間中代表點的密度 在運動過程中保持不變 物理含義 同一力學體系在不同的初始狀態(tài)所構成的不同代表點 它們各自獨立地沿著正則方程所規(guī)定的軌道運動 當這些點構成的區(qū)域隨時間運動到另外一個區(qū)域時 在新的區(qū)域 代表點的密度 等于在出發(fā)區(qū)域中的密度 設體積元為 其中代表點的數(shù)目為dN 代表點的密度為 則 一般密度 隨時隨地不同 所以從 知 劉維定理說明在體系中 劉維定理證明 假定初始時 體元位置為 經(jīng)歷時間dt 這個固定體元中代表點的數(shù)目變化 另一方面也可以從代表點在運動中出入這個固定體元的邊界的數(shù)目來計算在時間dt中代表點的數(shù)目變化 先考慮通過一對曲面q q dq 進出d 代表點的增加 把體元d 表達式改寫為 在dt時間內通過q 進入d 的代表點必定位于一個柱體內 柱體底為dA 高為 為相空間中代表點垂直于曲面q 的速度分量 所以在dt時間內通過q 進入d 的代表點數(shù)為 同理 在dt時間內通過曲面q dq 離開d 代表點的數(shù)目為 兩者相減 得通過曲面q 和q dq 進入d 代表點的凈數(shù)目為 同理 得通過曲面p 和p dp 進入d 代表點的凈數(shù)目為 把上面兩式相加 并對 求和 則得在dt時間內由于代表點的運動 穿過d 的邊界而進入其中的代表點的凈數(shù)目 顯然 所以 利用正則方程 得 證明完畢 劉維定理是統(tǒng)計力學的基本的定理 它是2s維的相空間中的定理 在普通空間或s維的位形空間 把s個廣義坐標作為直角坐標構成的空間 中并不存在類似的定理 因此 在統(tǒng)計力學討論系綜時需要運用哈密頓動力學而不用拉格朗日動力學 劉維定理的另外表示 5 哈密頓原理 力學原理 微分原理 牛頓動力學方程 拉格朗日動力學方程 哈密頓動力學方程 變分原理 積分形式 不涉及廣義坐標的選取 有限自由度的力學體系 無限自由度的力學體系 非力學體系 動力學問題 一 變分法初步 1 泛函 最速落徑問題 質點沿光滑軌道自A點自由下滑到B點 所需時間最短的路徑怎樣 總時間取決于軌道的形狀 即函數(shù)關系 而不是y的值 一個變數(shù)J的值取決于函數(shù)關系 就叫作函數(shù)的泛函 記做 2 變分問題 考慮最速落徑問題 選取適當?shù)能壍朗官|點從A到B自由下滑的時間最短 這就是泛函 的極值問題 泛函的極值問題叫做變分問題 3 歐拉方程 設泛函J只依賴于單個自變量x 單個函數(shù)y x 及其導數(shù) 即 函數(shù)F對于x y y 都是二次連續(xù)可導 所以y的二階導數(shù)是連續(xù)的 設函數(shù)關系y x 稍有變動 稱為函數(shù)y x 的變分 則泛函的值也隨之改變 其增量為 由于 這樣 在簡單的變分問題中 變分在端點保持為零 即 于是變分為零的要求是 上式對任意均成立 所以 就是泛函取極值的必要條件 叫做變分問題的歐拉方程 若泛函J不顯含x 則歐拉方程有初積分 證明 泛函取極值的必要條件 歐拉方程 拉格朗日方程 二 哈密頓原理 也就是說 拉格朗日方程是下列變分問題的歐拉方程 力學系統(tǒng)的動力學方程歸結為一個變分原理 力學系統(tǒng)從時刻t1到時刻t2的一切可能運動之中 使作用量 取極值的運動才是實際發(fā)生的運動 哈密頓原理 位形空間 以s個廣義坐標為直角坐標的空間 位形空間中的一個點可以表示體系任一時刻的位形 隨著時間的推移 力學系統(tǒng)的位形方式演變 位形空間中的代表點描繪出相應的曲線 在一切可能的曲線中 使作用量取極值的那一條曲線就是真實的運動 位形空間中的哈密頓原理 做變換 可得相空間中的哈密頓原理 在相空間中 有 力學系統(tǒng)的始末位形是確定的 則 因此有 也就是 正則方程 6 正則變換 一 正則變換的條件 點變換 廣義坐標之間的變換 例如 有心力問題中 直角坐標 極坐標 極角是循環(huán)坐標 哈密頓動力學中可以考慮更廣泛的變換 正則變換 變換后的動力學方程仍保持正則方程的形式 正則變量 共軛變量 變換前 變換后 都必須滿足正則方程 也就是說變分原理 二者等價 分析變分原理 給被積函數(shù)加上某個函數(shù)對時間的全導數(shù) 則增添的部分為 若認為力學系統(tǒng)在位形空間或相空間中的