矩陣乘法AB=BA成立的兩個充要條件與一個充分條件_第1頁
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文檔簡介

矩陣乘法AB BA成立的兩個充要條件與一個充分條件 主講 劉媛媛 我們知道 矩陣的乘法不滿足交換律 即在一般的情況下 AB BA 這就是說矩陣乘法AB BA成立是有條件的 比如 對于n階矩陣A B中任意一個為n階單位矩E時 矩陣乘法A A總是成立的 當(dāng)A B為一般的n階矩陣時 矩陣乘法AB BA成立的條件時什么呢 為此 我做了一些探討 得到矩陣乘法AB BA成立的兩個充要條件和一個充分條件 一兩個充要條件 定理1若A B都是n階可逆矩陣 則矩陣乘法AB BA成立的充要條件是證必要性由已知條件AB BA 兩端分別取逆矩陣 得 充分性由已知條件 得 存在且唯一 由矩陣運(yùn)算性質(zhì) 有 于是 又 兩端取逆矩陣 即得AB BA 定理2設(shè)A B都是n階矩陣 則矩陣乘法AB BA成立的充要條件是 證必要性由已知條件AB BA 兩端分別取它們的轉(zhuǎn)置 得 2 又 故 充分性又矩陣運(yùn)算性質(zhì) 及已知條件 即得 兩端分別取它們的轉(zhuǎn)置 得AB BA 二一個充分條件 定理3若A B都是n階可逆矩陣 并且滿足關(guān)系式 3 其中I為n階單位矩陣 為任意實(shí)數(shù) 則AB BA 證當(dāng) 0時 3 式變?yōu)锳 AB 從而有結(jié)論顯然成立 當(dāng)為任意非零實(shí)數(shù)時 因?yàn)橐阎狝 B可逆 所以A I也是可逆的 由 3 式 得 4 根據(jù)矩陣運(yùn)算性質(zhì) 由 3 4 兩式 可得 又故根據(jù)上述定理2 知

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