新課標(biāo)下學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的探討.doc

新課標(biāo)下學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的探討 內(nèi)容提要：良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征（1） 邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的心理作用的產(chǎn)物（2） 已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)在頭腦中的組織形式（3） 個(gè)性特征（4） 層次性（5） 再構(gòu)性（6） 有序性、廣闊性、建構(gòu)性、策略性構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)：（1） 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)（2） 掌握概念、公式、定理（3） 培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力（4） 掌握數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化：（1） 幫助學(xué)生搭建起新的知識(shí)結(jié)構(gòu)（2） 幫助學(xué)生對(duì)新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)加以鞏固（3） 在知識(shí)學(xué)習(xí)中強(qiáng)調(diào)有意義學(xué)習(xí)（4） 要循序漸進(jìn)，搞好命題學(xué)習(xí)，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的良性發(fā)展（5） 利用遷移理論發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)（6） 注意整體性教學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是學(xué)習(xí)者內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)的改組，而不是刺激-反應(yīng)聯(lián)結(jié)的行為習(xí)慣的改變。刺激-反應(yīng)論者是通過動(dòng)物實(shí)驗(yàn)研究來推斷人類復(fù)雜的學(xué)習(xí)過程陷入了以偏蓋全的擬人論，認(rèn)知心理學(xué)者則克服了行為主義者的這一缺陷，將學(xué)習(xí)研究的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到人類學(xué)習(xí)的研究，尤其重視解決教育實(shí)踐中的問題。因此，探索學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)非常必要。一、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概念認(rèn)知：所謂“認(rèn)知”，是指由感知到的信息在頭腦中被轉(zhuǎn)化、簡(jiǎn)化、儲(chǔ)存、恢復(fù)、應(yīng)用的全過程。比如學(xué)習(xí)不等式，了解了不等式的定義、性質(zhì)、同解、解法及怎樣加以應(yīng)用，就是掌握了、認(rèn)知了不等式。認(rèn)知結(jié)構(gòu)：是指學(xué)習(xí)者頭腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu)，他們已有的全部觀念內(nèi)容和組織。 認(rèn)知結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單來說說是學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)。廣義上，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生已有的觀念的全部?jī)?nèi)容及其組織；狹義地說，它是學(xué)生在某一學(xué)科的特殊知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的觀念的全部?jī)?nèi)容及其組織。奧蘇貝爾提出了三個(gè)主要的影響有意義學(xué)習(xí)和遷移的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量：觀念的可利用性、觀念的可辨別性和觀念的穩(wěn)定性與清晰性。個(gè)人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是在學(xué)習(xí)過程中通過同化作用，在心理上不斷擴(kuò)大并改進(jìn)所積累的知識(shí)而組成的，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)一旦建立，又成為他學(xué)習(xí)新知識(shí)的極重要的能量或因素。 xyOxyO觀察由圖象法（圖1-5）給出的五個(gè)不同函數(shù)，這些函數(shù)性質(zhì)上的共同特征是yxO 圖1 圖2 圖3xyOxyO 圖4 圖5數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)：我國數(shù)學(xué)教育界，具有代表性的看法有下面兩種：(1)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，它由兩個(gè)元素組成，一是最基本的知識(shí)，二是其它知識(shí)與最基本的知識(shí)的聯(lián)系。(2)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是學(xué)生頭腦里數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合著自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)=數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)+主體人的主觀能動(dòng)性。 實(shí)現(xiàn)由知識(shí)結(jié)構(gòu)向認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化。認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要由學(xué)生主動(dòng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)化而來，即使是完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也只有通過學(xué)生自己的主動(dòng)認(rèn)知，才能轉(zhuǎn)化為他們頭腦里的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知的核心是思維，只有把學(xué)生的思維啟動(dòng)起來，作為客體的知識(shí)才能轉(zhuǎn)化為他們自身的知識(shí)。二、良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)就是造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以滿足其后繼學(xué)習(xí)的需要，最終促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。那么，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具備什么特征?（1）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物一方面，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過程，是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行加工的心理活動(dòng)過程，受到學(xué)生的觀察、注意、感知、理解、記憶、思維等心理因素的影響，學(xué)生心理素質(zhì)的水平?jīng)Q定著所形成的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；另一方面，形成數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，也是創(chuàng)造心理價(jià)值、改善心理素質(zhì)的過程，對(duì)于提高學(xué)生的心理品質(zhì)有著重要的作用因此，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)相互作用和協(xié)調(diào)發(fā)展的結(jié)果（2）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)在頭腦中的組織形式它既可以是學(xué)生頭腦里的所有數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的組織，也可以是特殊數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的組織前者所指的是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的全部知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的組織特征，這些特征影響著他在數(shù)學(xué)學(xué)科中的一般學(xué)習(xí)后者所指的是某一數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)(如方程)的組織特征這就是說，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)既是專門的概念，如“有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”、“方程認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，又是一個(gè)普遍性概念它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)認(rèn)知的統(tǒng)一（3）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有個(gè)性特征數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)受多種心理因素的影響，每個(gè)學(xué)的認(rèn)知方式和認(rèn)知水平表現(xiàn)出很大的差異，因而他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)往往表現(xiàn)出自身的個(gè)性特征例如，有學(xué)生習(xí)慣于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的縱向組織，有的則偏重于橫的編排；有的學(xué)生善于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的概括和整理，有則習(xí)慣于知識(shí)的堆積，所以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的狀況往因人而異，從而導(dǎo)致了他們?cè)趯W(xué)習(xí)上的差異（4）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有層次性數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有不同的水平和層次，既有小生直觀水平上的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也有高度抽象化、形式基礎(chǔ)上的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一個(gè)有層的階梯最高層次是由所有數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)有機(jī)地合而成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)按性質(zhì)的類似區(qū)分為不同種類，不同的內(nèi)容逐漸分化成不同層的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)因此，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可以在各種平的抽象上來表征數(shù)學(xué)知識(shí)如學(xué)習(xí)三角形，學(xué)生首先獲得的是“由三條線段圍成的封閉圖形”、“三角形有三條邊、三個(gè)角”的籠統(tǒng)認(rèn)識(shí)。隨著學(xué)習(xí)過程的不斷深入。學(xué)生會(huì)逐步發(fā)現(xiàn)：就角來講，三角形可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；從邊來看，三角形有等邊三角形、等腰三角形和不等邊三角形。這一過程的完成，標(biāo)志著學(xué)生對(duì)三角形有了比較精確的認(rèn)識(shí)。第三方面是學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是逐步擴(kuò)充和完善的。 （5）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有再構(gòu)性數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，乃至一般認(rèn)知活動(dòng)中發(fā)揮著主動(dòng)的作用形成了一定的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)后，一旦出現(xiàn)新的數(shù)學(xué)信息，人們總是立用相應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)所面臨的信息進(jìn)行科學(xué)加工處理，從而表現(xiàn)出數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的能動(dòng)性，這活動(dòng)如圖l所示同化和順應(yīng)是學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的習(xí)內(nèi)容相互作用的兩種基本形式所謂同化，就是利用自己已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)新學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行加工和改造，并將其納入到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而擴(kuò)大原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)所謂順應(yīng)，就是當(dāng)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能接納新的學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，必須對(duì)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和改造，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是在其認(rèn)識(shí)新知識(shí)的過程中伴隨著同化和順應(yīng)不斷再構(gòu)過程是在新水平上對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行延伸、改組而成的新系統(tǒng)。學(xué)生只有積極地、自覺地進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)激活大腦中原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)使具有邏輯意義的新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)舊知識(shí)發(fā)生相互作用(同化或順應(yīng))才能實(shí)現(xiàn)在內(nèi)化中再建構(gòu)。如：數(shù)系的發(fā)展自然數(shù)集-正有理數(shù)集-有理數(shù)集-實(shí)數(shù)集-復(fù)數(shù)集已知：如圖，在ABC中，AB=c, BC=a, CA=b,且 ，求證：ABC是直角三角形證法1：在ABC的邊AB上取一點(diǎn)D，并使BCD=A，在BCD和BAC，由B=B，BCD=BAC知 BCDBAC，故 即，在邊AB上取一點(diǎn)D ，并使ACD=B,同理可證： 于是:所以AB=AD+BD ,又AB=AD+BD ,故AD=AD,從而點(diǎn)D與D重合，BCD=A，ACD=B ,在ABC中, B +A+BCD+ACD=1802（BCD+ACD）=180 , 故2ACB=180即ACB=90因此，ABC是直角三角形證法2：過C作CDAB于D點(diǎn)，設(shè)BD=m, AD=n ，CD=h，在RtBDC中， ，在RtADC中， c=m+n ， , ,又BDC=CDA=90 故 BDCCDA , BDC=A, ACD=BB +A+BCD+ACD=2(BCD+ACD）=2ACB=180,即ACB=90 因此，ABC是直角三角形。證法3：過C作CDAB于D點(diǎn)，設(shè)BD=m ，CD=h， 則在RtADC中 ， 在RtBDC中 ， + ： 代入中： ，C=90 ，ABC是直角三角形證法4: 在ABC的邊AB及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)D、E，并使BE=BD=BC=a，連接CD 、CE, 顯然ECD=90 ,且AD=c-a ，AE=c+a， 從而 即 ， 又 A =A,ACEADC , 故ACD=BCE=E ，ACB=BCD+ACD=E+DCB=90故ABC是直角三角形。證法5：假設(shè)C90，則C為銳角或鈍角1） 當(dāng)C為銳角時(shí)，如圖，作ADBC于點(diǎn)D，設(shè)AD=h，CD=m （m0） ，則BD=a-m，在RtADB中， ，在RtADC中， 又 故， a 0m=0與m0矛盾，故C不可能為銳角。2） 當(dāng)C為鈍角時(shí)，作ADBC交BC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，設(shè)AD=h，CD=n （n0），則BD=a+n，同理得：n=0與n0矛盾，故C不可能為鈍角故由1）、2）可知，假設(shè)不成立，即ABC是直角三角形。證法6：取AB中點(diǎn)D，連接CD，則cosADC=- cosCDB 設(shè)CD=h，由余弦定理即 CD=AD=BD ADC、BDC是等腰三角形ACD=A ，DCB=BB +A+BCD+ACD=2(BCD+ACD）=2C=180C=90 ，ABC是直角三角形。證法6：過C作CDAB于D點(diǎn)，設(shè)BD=m ，CD=h， 則在RtADC中 ， 在RtBDC中 ， + ： 代入中： ，C=90 ，ABC是直角三角形 (6)從教學(xué)要求出發(fā)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)還應(yīng)該包括：1有序性，指學(xué)生的知識(shí)具有內(nèi)在條理性而不是知識(shí)雜亂無章的堆砌；2廣闊性，指學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的量和質(zhì)應(yīng)達(dá)到一定規(guī)模和程度。知識(shí)量要點(diǎn)多、線長(zhǎng)、面廣，知識(shí)的質(zhì)應(yīng)是高級(jí)別的知識(shí)組塊，“內(nèi)化”程度高、理解程度深；3建構(gòu)性，指學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有良好的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，學(xué)生能按照自己的“思維構(gòu)造”和客觀要求去建構(gòu)新的知識(shí)；4策略性，指學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中含有比較多的有關(guān)知識(shí)策略方面的能力，這些能力有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，減少盲目性嘗試，保持學(xué)習(xí)的高效率等。最重要的是，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生概括性更強(qiáng)的、層面更高的、新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這是判斷學(xué)生是否具有良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最重要的標(biāo)準(zhǔn)，也是學(xué)生后繼學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，因而也是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的任務(wù)。三、構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是造就學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，那么，在教學(xué)中如何幫助學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？1激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的前提。認(rèn)知結(jié)構(gòu)離不開學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、興趣、意志等非智力因素。激發(fā)學(xué)習(xí)者的動(dòng)機(jī)、興趣和追求的意向，加強(qiáng)教育者與學(xué)習(xí)者的情感交流，是促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展的內(nèi)部動(dòng)因。為此我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)做到：重視設(shè)疑、引疑，使學(xué)生處于迫切需求的學(xué)習(xí)狀態(tài)；重視學(xué)習(xí)情感的激發(fā)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感往往取決于對(duì)教育者的情感，所以數(shù)學(xué)教學(xué)中要把學(xué)生的學(xué)作為教師教的出發(fā)點(diǎn)與歸宿。2掌握概念、公式、定理是建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。根據(jù)學(xué)習(xí)認(rèn)知理論，概念學(xué)習(xí)是新概念與學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，這就是奧蘇伯爾的同化理論。原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念成分在對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)中的同化作用表現(xiàn)在下列三種學(xué)習(xí)模式：(1)下位學(xué)習(xí)模式。學(xué)生學(xué)習(xí)的新概念、新定理、新公式處于較低層次，可以直接與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中處于較高層次的有關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系，從而形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。(2)上位學(xué)習(xí)模式。學(xué)生學(xué)習(xí)的新概念、新定理、新公式處于較高層次，這就需要學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上做出抽象概括，從而將新知識(shí)納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。(3)組合學(xué)習(xí)模式。所學(xué)的新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)沒有直接聯(lián)系，但可以通過類比、聯(lián)想等方式，建立新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，從而形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由此可以看出，數(shù)學(xué)概念、公式、定理確實(shí)是良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。分析新材料與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)觀念間的關(guān)系是非常重要的。因?yàn)殛P(guān)系不同，其同化模式也不同，而教師必須根據(jù)不同的同化模式采取不同的教學(xué)策略。按照奧蘇伯爾的觀點(diǎn)，這兩者的關(guān)系主要有以下三種。（1）下位關(guān)系。當(dāng)新學(xué)習(xí)的知識(shí)從屬于學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的、包含較廣的知識(shí)時(shí)，構(gòu)成下位關(guān)系。下位關(guān)系又可以分為派生下位關(guān)系和相關(guān)下位關(guān)系。派生下位關(guān)系是指新的知識(shí)僅僅是學(xué)生已有、包含較廣的知識(shí)的一個(gè)例證，或是能從已有命題中直接派生出來。相應(yīng)于派生下位關(guān)系，出現(xiàn)派生下位學(xué)習(xí)。例如，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面”這一公理以后，接著學(xué)習(xí)“兩個(gè)相交直線確定一個(gè)平面”“一條直線和直線外的一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面”“兩條平行直線確定一個(gè)平面”三條推論，就屬于派生下位學(xué)習(xí)。這些推論可以直接從公理和學(xué)生已有的知識(shí)中派生而來，因此，學(xué)習(xí)起來就會(huì)比較容易。在派生下位學(xué)習(xí)中，要學(xué)習(xí)的新規(guī)則整合到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有關(guān)內(nèi)容中去，新規(guī)則對(duì)原有知識(shí)只起支持或證實(shí)的作用，新規(guī)則通過新舊內(nèi)容的相互作用而獲得意義，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不發(fā)生質(zhì)的變化。如學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱體的體積計(jì)算方法，由于他們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法中已經(jīng)知道了長(zhǎng)方體的體積等于底面積乘高，并且掌握了其計(jì)算公式Vsh，所以學(xué)習(xí)時(shí)就可以將它作為前面已有計(jì)算方法的一種特例，通過派生下位學(xué)習(xí)的形式加以掌握。相關(guān)下位學(xué)習(xí)是指將要學(xué)習(xí)的新規(guī)則整合到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容中去，新舊內(nèi)容整合的結(jié)果不但使新規(guī)則獲得意義，并且原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)被擴(kuò)充或修改，使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。如梯形面積計(jì)算公式雖然不能直接由平行四邊形面積計(jì)算公式派生出來，但是它可以通過割補(bǔ)、拼合轉(zhuǎn)化成平行四邊形，從而得出其面積計(jì)算公式S（ab）h2。很明顯梯形面積計(jì)算方法就可以通過相關(guān)下位學(xué)習(xí)的形式去掌握（2）上位關(guān)系。當(dāng)要學(xué)習(xí)的新知識(shí)比已有知識(shí)的概括程度更高、包容范圍更廣，可以把一系列已有知識(shí)包容其中時(shí)，新舊知識(shí)之間便構(gòu)成了一種上位關(guān)系。而通過對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)內(nèi)容的歸納和綜合，概括成新的數(shù)學(xué)規(guī)則的學(xué)習(xí)形式叫做上位學(xué)習(xí)。例如，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式Vabh、正方體的體積計(jì)算公式Va3、圓柱的體積計(jì)算公式Vr2h等概括出計(jì)算公式VSh的學(xué)習(xí)過程，就屬于上位學(xué)習(xí)。上位學(xué)習(xí)所采用的思維方法主要是概括與綜合，由于它主要通過歸納和綜合原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此上位學(xué)習(xí)必須具備兩個(gè)基本條件：一是所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)規(guī)則在概括層次上一定要高于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有知識(shí)；二是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中一定要有可供歸納和概括的內(nèi)容，即頭腦里必須具有比新的數(shù)學(xué)規(guī)則層次低的相關(guān)內(nèi)容。如要概括加法交換律abba時(shí)，學(xué)生頭腦里必須有3553，25757525，500400400500可供概括的內(nèi)容。從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式來看，下位學(xué)習(xí)依靠的是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的是順應(yīng)，它要通過改造原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能獲得新規(guī)則的意義，因此一般來講，上位學(xué)習(xí)比下位學(xué)習(xí)困難。（3）并列結(jié)合關(guān)系。如果新舊知識(shí)之間既不產(chǎn)生下位關(guān)系，又不產(chǎn)生上位關(guān)系，但新知識(shí)是由已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中某些觀念的合理組合而構(gòu)成的，那么新舊知識(shí)之間會(huì)產(chǎn)生并列組合關(guān)系。這時(shí)的學(xué)習(xí)稱為并列結(jié)合學(xué)習(xí)。其一般模式如圖103所示。其中，A表示新知識(shí)，B、C、D表示學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識(shí)。例如，數(shù)學(xué)中數(shù)與形之間的關(guān)系，一般數(shù)學(xué)思想方法與具體問題的解決，就常常表現(xiàn)為并列結(jié)合關(guān)系。通過并列結(jié)合學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠從貌似無關(guān)的兩個(gè)事物中發(fā)現(xiàn)它們某些共同的關(guān)鍵特征，從而獲得對(duì)知識(shí)的一種全新理解，有時(shí)甚至能開辟一個(gè)新的研究領(lǐng)域。因此，并列結(jié)合學(xué)習(xí)需要學(xué)生有較強(qiáng)的創(chuàng)造力。4閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即例如：、是的三種不同形式的配方（即“余項(xiàng)”分別是常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)見橫線上的部分）請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；（2）將配方(至少兩種形式)；（3）已知，求的值已知a,b,c是非零實(shí)數(shù)，a+b+c=0,求的值看完題目，如果基礎(chǔ)好的同學(xué)，對(duì)絕對(duì)值了解很清楚的，很快就能求解出來。然后基礎(chǔ)不是很好的，就會(huì)覺得很復(fù)雜，甚至不知道從哪下手，已知條件太少了?，F(xiàn)在我們來分析一下該題：要求的式子中都是包含絕對(duì)值，在解含絕對(duì)值問題時(shí)，我們首先想的應(yīng)該就是去掉絕對(duì)值，因此需要我們討論絕對(duì)值中數(shù)與0之間的大小關(guān)系。在學(xué)絕對(duì)值時(shí)，我們知道，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,|a|0, 所以現(xiàn)在我們要做的工作是找出a,b,c,abc 與0的大小關(guān)系。已知給出的a+b+c=0,則a,b,c中必有一個(gè)大于0，一個(gè)小于0.（若都大于0，則a+b+c0；若都小于0，則a+b+c0），不妨設(shè)a0,c0,則abc0,則，故=1+1+(-1)+(-1)=0b0,則，故=1+(-1)+(-1)+1=03數(shù)學(xué)能力是建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心。學(xué)習(xí)的深入離不開學(xué)生的能力發(fā)展，這一點(diǎn)已經(jīng)是數(shù)學(xué)教育工作者所認(rèn)同的。那么良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)包含哪些基本能力呢?就中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，至少包含如下幾種能力：(1)自學(xué)能力；(2)邏輯思維能力；(3)運(yùn)算能力；(4)空間想象能力；(5)分析問題和解決問題的能力。我們要在傳授知識(shí)的過程中重視對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，因?yàn)闅w根結(jié)底，學(xué)生要靠自己的能力去解決問題，也只有靠自己的能力才能獲得更多的新知識(shí)。所以，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，也是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心成分。4數(shù)學(xué)方法是建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的靈魂。由于數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握、數(shù)學(xué)的證法、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)都有其自身的規(guī)律，所以，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)還要求學(xué)生掌握一些基本的數(shù)學(xué)方法。雖然在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也有可能系統(tǒng)地講授理論方法，但鑒于學(xué)生年齡及認(rèn)知特點(diǎn)，以螺旋上升的形式逐步滲透分析法、綜合法等一些基本數(shù)學(xué)方法，更有利于學(xué)生新知識(shí)的掌握和分析問題、解決問題能力的提高。所以，掌握一些基本的數(shù)學(xué)方法對(duì)完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是十分有益的。例如：求函數(shù)值域的方法：（1）直接法 （2）判別式法 （3）換元法 （4）單調(diào)性法 （5）求導(dǎo)法例、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P為AB上任意一點(diǎn)，Q為OC上任意一點(diǎn)，已知：AC=2，BC=1。（1）求折線OPQB的長(zhǎng)的最小值；（2）當(dāng)折線OPQB的長(zhǎng)最小時(shí)，試確定Q的位置。（湖州市南潯區(qū)2005年初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷16題）首先看第一題，第一題要求折線OPQB的長(zhǎng)的最小值。咋一看不知從何下手，因?yàn)镻,Q位置都不定。可是我們仔細(xì)回想我們過去做關(guān)于最小或最大的問題的思想。我們最熟悉的問題：例1.在河的同旁有A、B兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河邊修一個(gè)供水站給A、B兩村供水，問在那個(gè)位置修能使到A、B兩村距離最短。我們的做法是過直線做A 的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接AB，AB與直線的交點(diǎn)P即是供水站的位置。我們?cè)倩氐奖绢}，我們就可以分析如下：分析：（1）作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B/，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O/，連結(jié)AB/，QB/，AO/，PO/，B/O/，則QB=QB/。OP=O/P。折線OPQB的長(zhǎng)=OP+PQ+QB= O/P +PQ+ QB/ 所以折線OPQB的長(zhǎng)的最小值為B/O/ 計(jì)算得最小值為2。（2）設(shè)B/O/交AC于點(diǎn)Q/，在直角三角形AO/B/中，AO/=1，B/O/=2，所以AB/O/=300，則AO/B/=600。在AO/Q/中，Q/AO/=Q/AB+BAO/=600，所以AQ/O/是等邊三角形。所以AQ/=AO/=1=AO，所以點(diǎn)Q/就是AC 的中點(diǎn)。所以折線OPQB的長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)Q在AC的中點(diǎn)。 四、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)1、幫助學(xué)生搭建起新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。新的學(xué)習(xí)需求產(chǎn)生之后，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容就會(huì)產(chǎn)生相交和相融的交互作用。在此階段，教師在講授新知識(shí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生明白自己將要學(xué)到什么、達(dá)到什么樣的目標(biāo)、將要具備什么能力。教師在講授新知識(shí)的過程中，要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過程，引導(dǎo)學(xué)生積極地參與知識(shí)發(fā)生和發(fā)展過程，突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，實(shí)施由整體到部分，再由部分到整體幫助學(xué)生在頭腦中搭建起扎實(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，為學(xué)生產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定良好的基礎(chǔ)。新舊知識(shí)相互作用階段的關(guān)鍵是，教師要充分掌握學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否能與新的知識(shí)相銜接，要采取有效措施，促進(jìn)兩者之間順利融合、吸納和重組，從而使學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中，能夠獨(dú)立順利地接受新知識(shí)，加工新知識(shí)，并充實(shí)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)“教是為了不教”的教學(xué)目標(biāo)。一個(gè)待學(xué)的新知識(shí)，往往和許多過去學(xué)過的舊知識(shí)有著密切的聯(lián)系。我們要精心選取那些易于揭示新知識(shí)的形成和發(fā)展過程、便于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性、全面地參與教學(xué)全過程的相關(guān)知識(shí)作為新舊知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)。就一個(gè)具體的新知識(shí)的學(xué)習(xí)而言，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有以下三個(gè)特征：一是可利用性，即在學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)钠鹜饔玫挠^念可以利用；二是可變性，即新知識(shí)與學(xué)習(xí)者原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)觀念是可辨別的；三是穩(wěn)定性，即同化新知識(shí)的原有的觀念是清晰和穩(wěn)定的根據(jù)認(rèn)知學(xué)習(xí)的理論可知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程依據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化情況，可以將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程劃分為三個(gè)階段，如圖2所示：從圖2可以看出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程包括3個(gè)階段：輸入階段、新舊知識(shí)相互作用階段和操作運(yùn)用階段如果把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容分為3個(gè)層次：數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)和創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，那么新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是在完成這3個(gè)層次的學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上形成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的這一過程向我們展示了兩條學(xué)生成長(zhǎng)的途徑：從新的學(xué)習(xí)情境到預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，一是學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)由“舊”到“新”，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅是“量”的變化，我們更注重的是“質(zhì)”的飛躍；一是學(xué)生以數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)為載體，形成了數(shù)學(xué)能力，而這正是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教育所追求的目標(biāo)之一這就是說學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，隨著新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力同時(shí)也得到了提高例如：在設(shè)計(jì)一元二次不等式的解集的教學(xué)過程時(shí)，我選擇了學(xué)生非常熟悉的二次函數(shù)作為新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。先讓學(xué)生在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上分析一元二次方程的內(nèi)涵,從而來得出一元二次不等式的解法。通過新舊知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，使之形成一個(gè)優(yōu)化的知識(shí)塊，便于學(xué)生清晰地理解他們?nèi)唛g的本質(zhì)聯(lián)系，有利于良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的塑造。2、幫助學(xué)生對(duì)新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)加以鞏固。新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)剛誕生之初，極不牢固，知識(shí)鏈容易斷裂，知識(shí)體系緊湊性不足，需要教師精心設(shè)計(jì)層次性數(shù)學(xué)練習(xí)，反復(fù)強(qiáng)化，使學(xué)生鞏固和完善新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在課堂教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)應(yīng)明確每次練習(xí)的目的，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行練習(xí)；注意解題方法的優(yōu)化，達(dá)到舉一反三的效果；練習(xí)形式力求多樣化；不斷加大練習(xí)的密度；切實(shí)地做到循序漸進(jìn)。在課堂教學(xué)結(jié)束之際，要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思并且歸納整理認(rèn)知結(jié)構(gòu)。另外，在整個(gè)教學(xué)過程中要充分激發(fā)非智力因素的動(dòng)力和支撐作用，使非智力因素與智力因素交互促進(jìn)，最大限度調(diào)整鞏固學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的三個(gè)階段是緊密聯(lián)系的，任何一個(gè)階段出現(xiàn)紕漏，都會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)和量。要經(jīng)常檢查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的鞏固情況，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化這個(gè)新的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。并以此促進(jìn)學(xué)生整體知識(shí)水平和智力素質(zhì)、能力素質(zhì)全面發(fā)展并不斷達(dá)到更高水平。3、在知識(shí)學(xué)習(xí)中強(qiáng)調(diào)有意義學(xué)習(xí)就數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組成因素來看，主要由數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、定義等以及它們之間的聯(lián)系方式，數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)觀念以及作為數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)的非認(rèn)知因素?cái)?shù)學(xué)思想方法融合于數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則、定義之中，是它們的精神和靈魂。同時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法又是形成數(shù)學(xué)觀念的前提由于數(shù)學(xué)知識(shí)具有內(nèi)在的邏輯性、系統(tǒng)性，并隱涵著豐富的思想方法，這從客觀上決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是有意義學(xué)習(xí)從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來看，有意義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)，就是符號(hào)所代表的新觀念(概念、公式、定理等)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念之間建立起的實(shí)質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成就依賴于這種新觀念和學(xué)習(xí)者已有的適當(dāng)觀念之間的關(guān)系是否“融洽”經(jīng)過有效的同化或者順應(yīng)，二者之間一旦建立起實(shí)質(zhì)性(并非外因強(qiáng)加)的聯(lián)系，則新的觀念就被原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)化成一種內(nèi)在的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而形成一種比較完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)可見，加強(qiáng)有意義學(xué)習(xí)是確保數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷發(fā)展的個(gè)重要途徑4、要循序漸進(jìn)，搞好命題學(xué)習(xí)，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的良性發(fā)展。數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，前后內(nèi)容緊密聯(lián)系，一環(huán)緊扣一環(huán)。當(dāng)中間缺了一環(huán)，或者對(duì)某一環(huán)學(xué)習(xí)得不扎實(shí)、模糊不清，就會(huì)直接影響認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立以及良好發(fā)展。如果不及時(shí)解決，那么認(rèn)知結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的都是一些孤立的“點(diǎn)”，不僅容易遺忘，而且會(huì)失去應(yīng)用的價(jià)值，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)習(xí)的失敗。因此，在學(xué)習(xí)每一個(gè)定理、公式時(shí)，應(yīng)該清楚地知道這些定理和公式是怎樣一步步地導(dǎo)出結(jié)論的，運(yùn)用了哪些已知的概念、公理、定理或者公式，使用的又是什么樣的方法等等，并非僅僅記住結(jié)論與條件。命題的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)積極的思維活動(dòng)過程。在這思維活動(dòng)中，不僅在于理解證明的過程，更主要的是從中學(xué)習(xí)到解題途徑以及數(shù)學(xué)的思想和方法。這對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，更具有重要意義。學(xué)習(xí)者還必須對(duì)所獲得的知識(shí)信息進(jìn)行加工整理，使之形成一個(gè)個(gè)的知識(shí)基本模塊，并對(duì)這些知識(shí)基本模塊再進(jìn)行組織、分類和概括，使之形成一個(gè)有層次有條理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這樣，就可以提高信息的檢索效率。找到問題解決的有效途徑，也就是我們所說的有了解題的思路5、利用遷移理論發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)。遷移是一種心理現(xiàn)象，是已有的知識(shí)，智力，技能，學(xué)習(xí)方法等對(duì)學(xué)習(xí)新知識(shí)，新技能的影響。起干擾作用的叫作負(fù)遷移，比如乘法分配率對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)產(chǎn)生的負(fù)影響，如有錯(cuò)誤結(jié)論起積極作用的叫做正遷移。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要及時(shí)對(duì)原有的舊知識(shí)進(jìn)行同化或者調(diào)整。例如，在數(shù)的概念的擴(kuò)展過程中，學(xué)生在他自己的已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有適當(dāng)?shù)闹R(shí)能用來加工所學(xué)習(xí)的新的數(shù)，需要通過實(shí)例來引進(jìn)。這樣就促