平面向量(教師版).doc

戴氏英語培訓(xùn)學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班經(jīng)典講義 教師：謝煥鋼平面向量復(fù)習(xí)指導(dǎo)教師：謝煥鋼、 考試要求：1.向量的概念，掌握向量的加法的減法運(yùn)算，掌握實(shí)數(shù)與矢量積的運(yùn)算。2.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)，概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，理解通過建立平面直角坐標(biāo)系，將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了形與數(shù)的轉(zhuǎn)化。3掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，掌握向量垂直的條件，了解用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度，角度和垂直的問題。4掌握線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平移公式。二、 教材分析：平面向量的基本定理是說明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據(jù)這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過把一個向量在其他兩個向量上的分解，說明了該定理的本質(zhì)學(xué)習(xí)時無須嚴(yán)格證明該定理，只要弄清定理的條件和結(jié)論，會用該定理就可以了向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，也叫“向量的初等運(yùn)算”由平面向量的基本定理，知任一平面內(nèi)的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運(yùn)算，有時能很容易證明幾何命題因此，向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一為降低難度，目前要求用向量表示幾何關(guān)系，而不要求用向量證明幾何命題平面向量的基本定理的理解是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而應(yīng)用基本向量表示平面內(nèi)的某一向量是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)三、 高考趨勢：1 隨著新教材的逐步推廣，使用“平面向量”將會成為命題熱點(diǎn)，而且將從對平面向量的基本性質(zhì)、基本運(yùn)算的考查為主，逐步過渡到重視對軸象的向量符號的理解能力，靈活解決問題的能力的考查。2 仍舊遵循“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的原則，重視考查學(xué)生的綜合能力。比如，從近幾年的新高考卷子中，更加體現(xiàn)了這一命題立意。因此在復(fù)習(xí)時，要重視向量與其它知識的交叉、融匯。3 向量的應(yīng)用非常廣泛，它可以應(yīng)用于幾何、代數(shù)、三角及一些實(shí)際的應(yīng)用性問題，隨著向量知識的深入，以向量為工具的題目已經(jīng)出現(xiàn)在高考中，這種趨勢以后還會加強(qiáng)。將一個實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系問題，用向量建立一個數(shù)學(xué)模型是一個難點(diǎn)問題。四、 主要知識點(diǎn)梳理：1）向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過程中，借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。2）向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義共線；定比分點(diǎn)基本圖形起點(diǎn)相同的三個向量終點(diǎn)共線等。3） 向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2) -=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積=|cos記=(x1,y1), =(x2,y2)則=x1x2+y1y24） 運(yùn)算律加法：+=+，(+)+=+(+)實(shí)數(shù)與向量的乘積：(+)=+；(+)=+，()=() 兩個向量的數(shù)量積：=；()=()=()，(+)=+說明：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算，例如()2=5） 重要定理、公式 （a）平面向量基本定理；如果+是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對數(shù)數(shù)1，2，滿足=1+2，稱1+2為，的線性組合。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1) （b）兩個向量平行的充要條件符號語言：若，則=坐標(biāo)語言為：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實(shí)數(shù)是唯一存在的，當(dāng)與同向時，0；當(dāng)與異向時，0，0則=+ |=|=1 =|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得： 說明：用若干個向量的線性組合表示一個向量，是向量中的基本而又重要的問題，通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。解題思路分析：用解方程組思想設(shè)D（x，y），則=（x-2，y+1）=（-6，-3），=0 -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標(biāo)。 解題思路分析：用解方程組思想法一：設(shè)=（x，y），則=x-y，=x+y = 即 又|= x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：從分析形的特征著手 |=|=2 =0 AOB為等腰直角三角形，如圖 |=，AOC=BOC C為AB中點(diǎn) C（）說明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。例4、在OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量。解題思路分析： B、P、M共線 記=s 同理，記 = ,不共線 由得解之得： 說明：從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進(jìn)而引入?yún)?shù)（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。例5、已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)（1） 利用向量知識判定點(diǎn)P在什么位置時，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點(diǎn)共圓。解題思路分析：利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置如圖，建立平面直角坐標(biāo)系則C（2，0），D（2，3），E（1，0）設(shè)P（0，y） =（1，3），=（-1，y） =3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處（3） 當(dāng)PED=450時，由（1）知P（0，2） =（2，1），=（-1，2） =0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四點(diǎn)共圓說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運(yùn)算計算結(jié)果；得到結(jié)論。平面向量一、選擇題1若(2，4)，(1，3)，則 ( )A(1，1)B(1，1)C(3，7)D(3，7)2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab與b垂直，則|a| ( )A1BC2D43已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，則2a3b ( )A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)4在ABC中，若點(diǎn)D滿足，則 ( )ABCD5已知平面向量a(x，1)，b(x，x2)，則向量ab ( )A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線二、填空題6已知平面向量a(1，1)，b(1，1)，則向量_7設(shè)向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab與向量c(4，7)共線，則_8已知向量a與b的夾角為120，且|a|b|4，那么b(2ab)的值為_9已知向量a(1，)，b(2，0)，則|ab|_10在ABC中，A60，則_三、解答題11若點(diǎn)A(1，1)，B(1，3)，C(x，5)共線，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及中實(shí)數(shù)的值12已知e1、e2是夾角為60的兩個單位向量，求a2e1e2和b2e23e1的夾角13已知平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，且，求實(shí)數(shù)m，n的值14已知，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是直線OP上一點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時cosACB的值平面向量1一、選擇題1B 2C 3B 4A 5C提示：5ab(0，1x2)，由1x20及向量的性質(zhì)可知，C正確二、填空題6(1，2) 72 80 92 1015提示：10三、解答題11解：