范數(shù)的定義.doc

3.3 范數(shù)3.3.1 向量范數(shù)在一維空間中，實(shí)軸上任意兩點(diǎn)距離用兩點(diǎn)差的絕對(duì)值表示。絕對(duì)值是一種度量形式的定義。范數(shù)是對(duì)函數(shù)、向量和矩陣定義的一種度量形式。任何對(duì)象的范數(shù)值都是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。使用范數(shù)可以測(cè)量?jī)蓚€(gè)函數(shù)、向量或矩陣之間的距離。向量范數(shù)是度量向量長(zhǎng)度的一種定義形式。范數(shù)有多種定義形式，只要滿足下面的三個(gè)條件即可定義為一個(gè)范數(shù)。同一向量，采用不同的范數(shù)定義，可得到不同的范數(shù)值。若X是數(shù)域K上的線性空間，泛函 : X-R 滿足： 1. 正定性：x0，且x=0 x=0； 2. 正齊次性：cx=cx； 3. 次可加性(三角不等式)：x+yx+y 。 那么稱為X上的一個(gè)范數(shù)。常用范數(shù)這里以Cn空間為例，Rn空間類似。 最常用的范數(shù)就是p-范數(shù)。若x=x1,x2,.,xnT，那么 xp=(|x1|p+|x2|p+.+|xn|p)1/p 可以驗(yàn)證p-范數(shù)確實(shí)滿足范數(shù)的定義。其中三角不等式的證明不是平凡的，這個(gè)結(jié)論通常稱為閔可夫斯基(Minkowski)不等式。 當(dāng)p取1，2，的時(shí)候分別是以下幾種最簡(jiǎn)單的情形： 1-范數(shù)：x1=x1+x2+xn 2-范數(shù)：x2=(x12+x22+xn2)1/2 -范數(shù)：x=max(x1,x2,xn) 其中2-范數(shù)就是通常意義下的距離。矩陣范數(shù)一般來(lái)講矩陣范數(shù)除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規(guī)定其必須滿足相容性：XYXY。所以矩陣范數(shù)通常也稱為相容范數(shù)。 如果是相容范數(shù)，且任何滿足的范數(shù)都不是相容范數(shù)，那么稱為極小范數(shù)。對(duì)于n階實(shí)方陣(或復(fù)方陣)全體上的任何一個(gè)范數(shù)，總存在唯一的實(shí)數(shù)k0，使得k是極小范數(shù)。 注：如果不考慮相容性，那么矩陣范數(shù)和向量范數(shù)就沒(méi)有區(qū)別，因?yàn)閙xn矩陣全體和mn維向量空間同構(gòu)。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性算子的特征，這一點(diǎn)和算子范數(shù)的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。矩陣的相關(guān)定義特殊矩陣類別對(duì)稱矩陣是相對(duì)其主對(duì)角線（由左上至右下）對(duì)稱， 即是 ai,j=aj,i。 埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對(duì)其主對(duì)角線以復(fù)共軛方式對(duì)稱， 即是 ai,j=a*j,i。 特普利茨矩陣在任意對(duì)角線上所有元素相對(duì)， 是 ai,j=ai+1,j+1。 隨機(jī)矩陣所有列都是概率向量， 用于馬爾可夫鏈。逆矩陣： 設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)n階方陣，若在相同數(shù)域上存在另一個(gè)n階矩陣B，使得： AB=BA=E。 則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱為可逆矩陣。矩陣可逆的條件A是可逆矩陣的充分必要條件是A0，即可逆矩陣就是非奇異矩陣。（當(dāng)A=0時(shí)，A稱為奇異矩陣）1 逆矩陣的求法:A(-1)=(1/|A|)A* ，其中A(-1)表示矩陣A的逆矩陣，其中|A|為矩陣A的行列式，A*為矩陣A的伴隨矩陣。 逆矩陣的另外一種常用的求法： (A|E)經(jīng)過(guò)初等變換得到(E|A(-1)。 注意：初等變化只用行運(yùn)算，不能用列運(yùn)算。E為單位矩陣。 逆矩陣具有以下性質(zhì)：1 矩陣A可逆的充要條件是A的行列式不等于0。 2 可逆矩陣一定是方陣。 3 如果矩陣A是可逆的，A的逆矩陣是唯一的。 4 可逆矩陣也被稱為非奇異矩陣、滿秩矩陣。 5 兩個(gè)可逆矩陣的乘積依然可逆。 6 可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也可逆。 7 矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它是滿秩矩陣。 matlab中的求法：inv(a)或a-1。 例如： a = 8 4 9 2 3 5 7 6 1 a-1 ans = 0.1636 -0.3030 0.0424 -0.2000 0.3333 0.1333 0.0545 0.1212 -0.0970 inv(a) ans = 0.1636 -0.3030 0.0424 -0.2000 0.3333 0.1333 0.0545 0.1212 -0.0970 以下是對(duì)MATLAB中Inv用法的解釋。 原文（來(lái)自matlab help doc） In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv arises when solving the system of linear equations Ax=B . One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = Ab. 實(shí)際上，很少需要矩陣逆的精確值。在解方程 Ax=B的時(shí)候可以使用x = inv(A)*B， 但通常我們求解這種形式的線性方程時(shí)，不必要求出A的逆矩陣，在MATLAB中精度更高，速度更快的方法是用左除x = Ab。 另外，用LU分解法的速度更快，只是要多寫(xiě)一條LU分解語(yǔ)句。 速度可以通過(guò)matlab中tic和toc來(lái)估算運(yùn)行的時(shí)間。伴隨矩陣定義 A的伴隨矩陣可按如下步驟定義： 1.用A的第i 行第j 列的代數(shù)余子式把第j 行第i 列的元素替換，記為(Aij) 2.符號(hào)位為 (-1)（i+j） 3.用 A(ij)=(-1)(i+j) x (Mij) 表示 即： m x n矩陣的伴隨矩陣A*為 A11 A21 A31.Am1 A12. Am2 A13 .Am3 . . A1n. Amn 例如：A是一個(gè)2x2矩陣，則A的伴隨矩陣 A* 為 M22,-M12 -M21, M11 原矩陣為 a11，a12 a21，a22 （余子式定義：A關(guān)于第i 行第j 列的余子式（記作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)(n - 1)矩陣的行列式。特殊規(guī)定：一階矩陣的伴隨矩陣為一階單位方陣） 伴隨矩陣的性質(zhì)： 原矩陣中的值與伴隨矩陣中的值一一映射，例如 1 2 3 2 3 1 - 3 1 2 +5 -1 -7 -1 -7 5 -7 5 -1 其中1對(duì)應(yīng)5 ； 2 對(duì)應(yīng)-1； 3對(duì)應(yīng)-7； 等等 伴隨矩陣的求法: 當(dāng)矩陣是大于等于二階時(shí)： 主對(duì)角元素是將原矩陣該元素所在行列去掉再求行列式. 非主對(duì)角元素 是原矩陣該元素的共軛位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)(x+y) x,y為該元素的共軛位置的元素的行和列的序號(hào)，序號(hào)從1開(kāi)始的. 主對(duì)角元素實(shí)際上是非主對(duì)角元素的特殊情況，因?yàn)閤=y,所以(-1)(x+y)=(-1)(2x)=1,一直是正數(shù)，沒(méi)必要考慮主對(duì)角元素的符號(hào)問(wèn)題。 常用的可以記一下： a b 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) 當(dāng)矩陣的階數(shù)等于一階時(shí)，他的伴隨矩陣為一階單位方陣.矩陣特征值設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個(gè)特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于（對(duì)應(yīng)于）特征值m的特征向量或本征向量，簡(jiǎn)稱A的特征向量或A的本征向量。 求矩陣特征值的方法 Ax=mx，等價(jià)于求m，使得(mI-A)x=0，其中I是單位矩陣，0為零矩陣。 |mI-A|=0，求得的m值即為A的特征值。|mI-A| 是一個(gè)n次多項(xiàng)式，它的全部根就是n階方陣A的全部特征值，這些根有可能相重復(fù)，也有可能是復(fù)數(shù)。 如果n階矩陣A的全部特征值為m1 m2 . mn，則|A|=m1*m2*.*mn 如果n階矩陣A滿足矩陣多項(xiàng)式方程g(A)=0, 則矩陣A的特征值m一定滿足條件g(