廣東省高考數學 12.2證明不等式的基本方法配套課件 理 新人教A版.ppt

第二節(jié)證明不等式的基本方法 三年3考高考指數 1 能夠運用平均值不等式求一些特定函數的極值 2 了解證明不等式的基本方法 比較法 綜合法 分析法 反證法 放縮法 1 以一次函數 二次函數 指數函數 對數函數等知識為背景考查不等式的常用證明方法 2 與數列等知識綜合考查不等式的其他證明方法 1 三個正數的算術 幾何平均值不等式 1 如果a b c r 那么a3 b3 c3 3abc 當且僅當 時 等號成立 2 如果a b c 那么 當且僅當 時 等號成立 即 三個正數的算術平均值 它們的幾何平均值 a b c r a b c 不小于 3 對于n個正數a1 a2 an 它們的算術平均值 它們的幾何平均值 即 當且僅當 時 等號成立 不小于 a1 a2 an 即時應用 1 思考 滿足不等式成立的a b c的取值范圍分別是什么 提示 a b c的取值范圍分別為a 0 b 0 c 0 2 若a 2 b 3 則的最小值為 解析 a 2 b 3 a 2 0 b 3 0 當且僅當a 3 b 4時等號成立 答案 8 2 比較法 1 作差比較法 理論依據 a b a b a b 證明步驟 作差 變形 判斷符號 得出結論 a b 0 a b 0 a b 0 2 作商比較法 理論依據 b 0 1 b 0 1 b 0 1 a b 證明步驟 作商 變形 判斷與1的大小關系 得出結論 a b a b 即時應用 1 思考 作差 作商 比較法的實質是什么 提示 是把兩個數或式子的大小判斷問題轉化為第三個數 或式子 與0 或1 的大小關系 2 若x r且x 1 則x6 1與x4 x2的大小關系為 解析 x6 1 x4 x2 x6 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 2 x2 1 x r且x 1 x2 1 2 x2 1 0 x6 1 x4 x2 答案 x6 1 x4 x2 3 設a b 0 則x y的大小關系是x y 填 解析 方法一 a b 0 x 0 y 0 a b 0 故x y 方法二 a b 0 x y x y 答案 3 綜合法 1 定義 從 出發(fā) 利用 公理 性質等 經過一系列的推理 論證而得出命題成立 這種證明方法叫做綜合法 綜合法又叫 或由因導果法 2 思路 綜合法的思索路線是 由因導果 也就是從一個 組 已知的不等式出發(fā) 不斷地用必要條件代替前面的不等式 直至推導出要求證明的不等式 已知條件 定義 定理 順推證法 即時應用 1 判斷下列命題是否正確 請在括號內填 或 若a b 0 則 若a b 0 則 若a b 0 則 已知x r 則 2 設0 x 1 則 b 1 x 中最大的一個是 3 設則a b c之間的大小順序是 解析 1 作差可得 而a b 0 則此式錯誤 a b 0 則 進而可得 所以可得正確 故 錯誤 當取等號時 即此時需x2 2 1 顯然不成立 因此取不到等號 故 錯誤 2 由a2 2x b2 1 x2 2x a2 a 0 b 0得b a 又得c b 知c最大 3 方法一 a 2 0 c 0 再由b2 c2 得bb a 方法二 由已知得a0 c 0 又 2 1 即bb a 答案 1 2 c 3 c b a 4 分析法 1 定義 從 出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至所需條件為 或一個明顯成立的事實 定義 公理或已證明的定理 性質等 從而得出要證的命題成立 這種證明方法叫做分析法 這是一種 的思考和證明方法 要證的結論 已知條件 執(zhí)果索因 2 思路 分析法的思索線路是 執(zhí)果索因 即從要證的不等式出發(fā) 不斷用充分條件來代替前面的不等式 直至找到已知不等式為止 即時應用 1 若 x b 則 完成下列證明過程 證明 b m 0 b 0 要證原不等式成立 只需證明b a m 0 只需證明b a 由已知顯然成立 原不等式成立 解析 1 要比較 1 xy 與 x y 的大小 只需要比較 1 xy 2與 x y 2的大小 1 xy 2 x y 2 1 xy 2 x y 2 1 2xy x2y2 x2 2xy y2 1 x2y2 x2 y2 1 x2 1 y2 又 x 0 即 1 xy 2 x y 2 0 1 xy x y 2 b a m 2 bm am 5 反證法 1 定義 先假設 以此為出發(fā)點 結合已知條件 應用公理 定義 定理 性質等 進行正確的推理 得到和 矛盾的結論 以說明 不正確 從而證明 成立 這種證明方法稱為反證法 2 思路 對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明 要證的命題不成立 命題的條件 或已證明的定理 性質 明顯成立的事實 等 假設 原命題 即時應用 1 用反證法證明命題 如果a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一個能被5整除 時 假設的內容是 2 用反證法證明命題 設二次函數f x x2 px 1 則 f 1 f 1 中至少有一個不小于2 時 反設應為 解析 1 至少有一個能 的反面為 都不能 2 至少有一個不小于2 的反面為 都小于2 答案 1 a b都不能被5整除 2 f 1 f 1 都小于2 6 放縮法 1 定義 證明不等式時 通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小 簡化不等式 從而達到證明的目的 這種證明方法稱為放縮法 2 思路 分析證明式的形式特點 適當放大或縮小是證題關鍵 即時應用 1 設a 0 b 0 m n 則m與n的大小關系是 2 設m 則m與1的大小關系為 3 已知 a b 則m n之間的大小關系是 解析 1 a 0 b 0 n m m n 2 210 1 210 210 2 210 211 1 210 m 1 3 因為 a b a b 所以 1 即m 1 又因為 a b a b 所以 1 即n 1 所以m 1 n 答案 1 m n 2 m 1 3 m n 用比較法證明不等式 方法點睛 1 用作差比較法證明不等式的一般步驟 1 作差 將不等式左 右兩邊的式子看作一個整體進行作差 2 變形 把差式進行變形 或變形為一個常數 或變形為若干個因式的乘積 或變形為一個或幾個平方的和等 3 判號 根據已知條件 結合上述變形結果 判斷差式的符號 4 結論 肯定所求證的不等式成立 2 作商比較法證明不等式的一般步驟 1 作商 將不等式左右兩邊的式子 進行作商 2 變形 化簡商式得到最簡形式 3 判斷 判斷商與1的大小關系 就是判斷商大于1或小于1或等于1 4 結論 提醒 1 當被證的不等式 或變形后 兩邊都是正數且為乘積形式或冪指數形式時 一般使用作商比較法 此時要注意說明分母的符號 2 當被證的不等式兩端是整式 多項式 分式或對數式時 一般使用作差比較法 例1 1 求證 當x r時 1 2x4 2x3 x2 2 求證 當a 0 b 0時 3 2012 武漢模擬 已知a b 求證 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 解題指南 第 1 3 小題的不等式 可以采用作差比較法 而第 2 小題是冪指數型的不等式 兩端都是正數 可考慮采用作商比較法 規(guī)范解答 1 方法一 1 2x4 2x3 x2 2x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x3 x 1 x 1 2x3 2x x 1 x 1 2x x2 1 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 x 1 2 2 x 2 0 1 2x4 2x3 x2 方法二 1 2x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x4 2x2 1 x 1 2 x2 x2 1 2 0 1 2x4 2x3 x2 2 a 0 b 0 aabb 0 當a b時 當a b 0時 當b a 0時 綜上可知 當a 0 b 0時 3 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 a4 2a2b2 b4 4ab a2 2ab b2 a2 b2 2 4ab a b 2 a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 a2 2ab b2 4ab a b 2 a b 2 a b 4 a b a b 4 0 由此可知原命題成立 互動探究 在保持本例 2 的條件下 若a b 試比較 a2 b2 a b 與 a2 b2 a b 的大小 解析 a2 b2 a b a2 b2 a b a b a2 b2 a b 2 2ab a b 又 0 a b 2ab 0 a b 0 2ab a b 0 即 a2 b2 a b a2 b2 a b 反思 感悟 1 變形 是作差比較法證明不等式的關鍵 變形 的目的在于判斷差的符號 一般通過因式分解或配方將差變形為幾個因式的積或配成幾個平方和的形式 當差是二次三項式時 有時亦可用判別式來判斷符號 若遇到結果符號不能確定的情況 這時要對差式進行分類討論 2 1 作差比較法尤其適用于具有多項式結構特征的不等式的證明 2 作商比較法主要適用于積 商 冪 對數 根式形式的不等式證明 要注意分母的符號 變式備選 1 設f x 2x2 1 p與q同號且p q 1 求證 對任意a b r 有pf a qf b f pa qb 成立 證明 pf a qf b f pa qb p 2a2 1 q 2b2 1 2 pa qb 2 1 2 pa2 qb2 2 pa qb 2 p q 1 2 p 1 p a2 2pqab q 1 q b2 2pq a b 2 0 p與q同號 pq 0 pf a qf b f pa qb 2 若a b c 求證 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 證明 a b c a b 0 b c 0 a c 0 于是 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 a2b a2c b2c b2a c2a c2b a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 c b b a c2 a b a2 b c b2 b c c2 a b b2 a b b c a2 b2 a b c2 b2 b c a b a b a b c b c b b c a b a b c b b c a b a c 0 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 3 已知a b是正實數 n是正整數 求證 a b an bn 2 an 1 bn 1 證明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 abn anb an 1 bn 1 a bn an b an bn a b bn an 當a b 0時 bn an0 此時 a b bn an a 0時 bn an 0 a b0時bn an 0 a b 0 此時 a b bn an 0 綜上所述 a b an bn 2 an 1 bn 1 0 即 a b an bn 2 an 1 bn 1 用綜合法證明不等式 方法點睛 1 綜合法證明的框圖表示用p表示已知條件或已有的不等式 用q表示所要證的結論 則綜合法可用框圖表示為p q1 q1 q2 q2 q3 qn q 2 利用 綜合法 證明不等式的常用結論 1 a 0 a2 0 a b 2 0 a b r 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab a b r 當且僅當a b時取等號 3 a 0 b 0 當且僅當a b時取等號 4 a 2 a 0 2 ab 0 2 ab 0 例2 1 2012 南通模擬 已知x y z均為正數 求證 2 已知a b c都是實數 求證 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 3 設a b c 求證 解題指南 第 1 3 小題 從已知出發(fā) 借助不等式的性質 定理 根據基本不等式 經過逐步的邏輯推理 推導出要證明的結論 第 2 小題 以a2 b2 2ab a b r 為根據 利用綜合法證明 規(guī)范解答 1 因為x y z均為正數 所以同理可得當且僅當x y z時 以上三式等號都成立 將上述三個不等式兩邊分別相加 并除以2 得 2 a b r a2 b2 2ab b c r b2 c2 2bc c a r c2 a2 2ca 將以上三個不等式相加得2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 在不等式 的兩邊同時加上 a2 b2 c2 得3 a2 b2 c2 a b c 2 即a2 b2 c2 a b c 2 在不等式 的兩邊同時加上 2 ab bc ca 得 a b c 2 3 ab bc ca 即 a b c 2 ab bc ca 由 得a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 3 方法一 a c a b b c 又a b c 則a b 0 b c 0 a c 0 因此有 a b b c 方法二 設a b x b c y a b c x 0 y 0 a c x y 0 原不等式即 原不等式成立 反思 感悟 1 用綜合法證明不等式可利用已經證過的不等式作為基礎 再運用不等式的性質推導出所要證的不等式 但要注意防止在推證中盲目套用公式和錯用性質 2 含有條件的不等式的證明問題 要將條件和結論結合起來 尋找變形的思路 構造出基本不等式的形式 以正確使用基本不等式 3 通過等式或不等式的運算 將待證的不等式化為明顯的 熟知的不等式 從而使原不等式得到證明 反之 亦可從明顯的 熟知的不等式入手 經過一系列的運算而導出待證的不等式 前者是 執(zhí)果索因 后者是 由因導果 證明時往往聯(lián)合使用分析法與綜合法 兩面夾擊 相輔相成 達到證明不等式的目的 變式訓練 2012 大慶模擬 已知a b x y均為正數 且求證 證明 a b x y均為正數 且 則 當且僅當時 等號成立 變式備選 1 已知a b 0 且a b 1 求證 1 a2 b2 2 3 解題指南 題中不等式的左邊都含有 或隱含有 ab或 因此只要利用a b 1得出ab及的范圍 就能夠證出題中不等式 解析 由 得 1 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 1 2 a2 b2 當且僅當a b時取等號 2 當且僅當a b時取等號 3 由 1 2 的結論 知 當且僅當a b時取等號 2 已知a b c 0 且a b c 1 求證 1 2 3 證明 1 方法一 a b c 1 a b c均為正實數 即當且僅當a b c時等號成立 方法二 a b c 1 以下證明同方法一 2 a b c 0 a b c 1 同理由于上述三個不等式兩邊均為正 可以同向相乘 當且僅當a b c時取等號 3 a b c 0 兩邊同加a b c得3 a b c 又a b c 1 用分析法證明不等式 方法點睛 用分析法證明不等式的方法技巧當證題不知從何入手時 有時可以運用分析法而獲得解決 特別是對于條件簡單而結論復雜的題目 往往更是行之有效 另外對于恒等式的證明 也同樣可以運用 提醒 用分析法證明不等式時 不要把 逆求 錯誤地作為 逆推 分析法的過程僅需要尋求充分條件即可 而不是充要條件 也就是說 分析法的思想是逆向思維 因此在證題時 應正確使用 要證 只需證 這樣的連接 關鍵詞 例3 設a b c 0 且ab bc ca 1 求證 1 a b c 2 解題指南 本題是條件不等式 從已知式和待證式的結論較難用比較法證明 因此可利用分析法證明 規(guī)范解答 1 要證a b c 由于a b c 0 因此只需證明 a b c 2 3 即證 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需證明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即證 a2 b2 c2 ab bc ca 而這可以由ab bc ca a2 b2 c2 當且僅當a b c時等號成立 證得 原不等式成立 2 在 1 中已證a b c 因此要證原不等式成立 只需證明即證即證 而 ab bc ca a b c 時等號成立 原不等式成立 反思 感悟 1 分析法是證明不等式的重要方法 當所證不等式不能使用比較法且與重要不等式 基本不等式沒有直接聯(lián)系 較難發(fā)現(xiàn)條件和結論之間的關系時 可用分析法來尋找證明途徑 使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆 2 分析法易于尋找解題思路 其步驟中相應的語言敘述不可少 比如 要證 只需證 即證 否則是錯誤的 有時也用 代替語言敘述 3 分析法執(zhí)果索因 利于思考 綜合法由因導果 宜于表達 適合人們的思維習慣 凡是能用分析法證明的不等式 一定可以用綜合法證明 因此 我們做題時 通常先用分析法探求證題途徑 在解答問題時用綜合法書寫 變式訓練 已知a b 0 且a b 1 求證 證明 要證即證即證 a b 1 從而只需證即證只需證ab 而a 0 b 0 1 a b ab 顯然成立 故原不等式成立 變式備選 已知a 0 b 0 2c a b 求證 證明 分析法 要證即要證即要證即要證 a c 20 所以只要證a 2c b 即要證a b 2c 由已知條件知 上式顯然成立 所以原不等式成立 用反證法證明不等式 方法點睛 1 反證法的主要適用情形 1 要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯 直接由條件推出結論的線索不夠清晰 2 如果從正面證明 需要分成多種情形進行分類討論 而從反面進行證明 只研究一種或很少的幾種情形 2 反證法的證明步驟 1 假設 作出與命題結論相反的假設 2 歸謬 在假設的基礎上 經過推理 導出矛盾的結果 3 結論 肯定原命題的正確性 提醒 1 用反證法證明不等式 在否定了原命題的不等關系后 所得的數量關系一般不止一種情形 因為 的反面是 而不單是 在證明時切勿遺漏 2 證明過程一定要用 假設 否則不叫反證法 3 常用在直接證明比較困難或所證結論涉及 不可能 不是 至少 至多 唯一 等字眼時的題目 例4 已知a b c r f x ax2 bx c 若a c 0 f x 在 1 1 上最大值為2 最小值為 求證 a 0且 解題指南 直接證明a 0且比較困難 可考慮從反面入手 運用反證法 導出矛盾 從而證得結論 規(guī)范解答 由a c 0得c a f x ax2 bx a 假設a 0或 1 由a 0得 f x bx 依題意知b 0 又f x 在 1 1 上是單調函數 f x 的最大值為 b 最小值為 b 于是 b 2 b 顯然矛盾 故a 0 2 由得 且a 0 故f x 在 1 1 上單調 其最大值為 b 最小值為 b 由 1 知 這是不可能的 所以不成立 綜合 1 2 可知 假設不成立 故a 0且 反思 感悟 適宜用反證法證明的數學命題 結論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題 關于唯一性 存在性的命題 結論以 至多 至少 等形式出現(xiàn)的命題 變式訓練 已知f x x2 px q 求證 1 f 1 f 3 2f 2 2 2 f 1 f 2 f 3 中至少有一個不小于 證明 1 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 2 用反證法證明 方法一 假設 f 1 f 2 f 3 都小于 則有 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 8 4p 2q 2出現(xiàn)矛盾 f 1 f 2 f 3 中至少有一個不小于 方法二 假設 f 1 f 2 f 3 都小于 則有 p q 2p q 3p q 由 得 4 p 2 由 得 6 p 4 這不可能 假設不成立 從而 f 1 f 2 f 3 中至少有一個不小于 變式備選 已知函數f x 是 上的增函數 a b r 1 若a b 0 求證 f a f b f a f b 2 判斷 1 中命題的逆命題是否成立 并證明你的結論 解析 1 a b 0 a b 由已知f x 的單調性得 f a f b 又a b 0 b a f b f a 兩式相加即得 f a f b f a f b 2 命題 1 的逆命題為 若f a f b f a f b 求證a b 0 逆命題成立 下面用反證法證之 假設a b 0 那么 a b 0 a b f a f b a b 0 b a f b f a f a f b f a f b 這與已知矛盾 故有 a b 0 逆命題得證 用放縮法證明不等式 方法點睛 1 放縮法證明不等式時 常見的放縮依據或技巧主要有 1 不等式的傳遞性 2 等量加不等量為不等量 3 同分子 母 異分母 子 的兩個分式大小的比較 縮小分母 擴大分子 分式值增大 縮小分子 擴大分母 分式值減小 全量不少于部分 每一次縮小其和變小 但需大于所求 每一次擴大其和變大 但需小于所求 即不能放縮不夠或放縮過頭 同時放縮有時需便于求和 2 放縮法的常用措施 1 舍去或加上一些項 如a2 a 1等 2 將分子或分母放大 縮小 如等 3 利用絕對值不等式的性質 如 a b a b 等 提醒 放縮法在不等式的證明中幾乎處處存在 放 和 縮 均有一個度 放 和 縮 的方向與 放 和 縮 的量的大小是由題目的條件和結論分析得出的 例5 設a b是不相等的正數 且a3 b3 a2 b2 求證 14ab等不等式將已知等式進行放縮 規(guī)范解答 a 0 b 0且a b a3 b3 a2 b2可化為a2 ab b2 a b a b 2 a2 2ab b2 a2 ab b2 a b a b 1 又 a b 2 4ab a b a2 b2 ab a b 2 ab a b 2 a b 2 即 a b 2 a b a b 1 a b 反思 感悟 1 放縮法證明不等式 就是利用不等式的傳遞性進行證明不等關系 即要證a b 只需先證明a p 且p b 其中p的確定是最重要 也是最困難的 要憑借對題意的深刻分析 對式子巧妙變形的能力 以及一定的解題經驗 2 利用放縮法證明不等式 就是舍掉式中一些正項或負項 或者在分式中放大或縮小分子 分母 還可把和式中各項或某項換以較大或較小的數 從而達到證明不等式的目的 放大或縮小時注意要適當 必須目標明確 合情合理 恰到好處 且不可放縮過大或過小 謹慎添或減是放縮法的基本策略 3 不等式的證明方法很多 要依據命題提供的信息選擇合適的方法與技巧進行證明 解題時既要充分利用已知條件 又要時刻瞄準解題目標 即不僅要搞清是什么 還要搞清干什么 只有兼顧條件與結論 才能找到正確的解題途徑 變式訓練 1 2012 宿遷模擬 設f x x2 x 13 實數a滿足 x a 1 求證 f x f a 2 a 1 解析 f x x2 x 13 f x f a x2 x a2 a x a x a 1 x a 1 又 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2a 1 2 a 1 f x f a x a 1 2 a 1 2 設m是 a b 和1中最大的一個 當 x m時 求證 證明 由已知m a m b m 1 又 x m x a x b x 1 成立 變式備選 已知 n n 求證 證明 綜上得 滿分指導 不等式證明的規(guī)范解答 典例 12分 2012 廣州模擬 設二次函數f x ax2 bx