廣東省高考數(shù)學(xué) 12.2證明不等式的基本方法配套課件 理 新人教A版.ppt

第二節(jié)證明不等式的基本方法 三年3考高考指數(shù) 1 能夠運(yùn)用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值 2 了解證明不等式的基本方法 比較法 綜合法 分析法 反證法 放縮法 1 以一次函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)為背景考查不等式的常用證明方法 2 與數(shù)列等知識(shí)綜合考查不等式的其他證明方法 1 三個(gè)正數(shù)的算術(shù) 幾何平均值不等式 1 如果a b c r 那么a3 b3 c3 3abc 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號(hào)成立 2 如果a b c 那么 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號(hào)成立 即 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值 它們的幾何平均值 a b c r a b c 不小于 3 對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1 a2 an 它們的算術(shù)平均值 它們的幾何平均值 即 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號(hào)成立 不小于 a1 a2 an 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 滿足不等式成立的a b c的取值范圍分別是什么 提示 a b c的取值范圍分別為a 0 b 0 c 0 2 若a 2 b 3 則的最小值為 解析 a 2 b 3 a 2 0 b 3 0 當(dāng)且僅當(dāng)a 3 b 4時(shí)等號(hào)成立 答案 8 2 比較法 1 作差比較法 理論依據(jù) a b a b a b 證明步驟 作差 變形 判斷符號(hào) 得出結(jié)論 a b 0 a b 0 a b 0 2 作商比較法 理論依據(jù) b 0 1 b 0 1 b 0 1 a b 證明步驟 作商 變形 判斷與1的大小關(guān)系 得出結(jié)論 a b a b 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 作差 作商 比較法的實(shí)質(zhì)是什么 提示 是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為第三個(gè)數(shù) 或式子 與0 或1 的大小關(guān)系 2 若x r且x 1 則x6 1與x4 x2的大小關(guān)系為 解析 x6 1 x4 x2 x6 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 2 x2 1 x r且x 1 x2 1 2 x2 1 0 x6 1 x4 x2 答案 x6 1 x4 x2 3 設(shè)a b 0 則x y的大小關(guān)系是x y 填 解析 方法一 a b 0 x 0 y 0 a b 0 故x y 方法二 a b 0 x y x y 答案 3 綜合法 1 定義 從 出發(fā) 利用 公理 性質(zhì)等 經(jīng)過一系列的推理 論證而得出命題成立 這種證明方法叫做綜合法 綜合法又叫 或由因?qū)Ч?2 思路 綜合法的思索路線是 由因?qū)Ч?也就是從一個(gè) 組 已知的不等式出發(fā) 不斷地用必要條件代替前面的不等式 直至推導(dǎo)出要求證明的不等式 已知條件 定義 定理 順推證法 即時(shí)應(yīng)用 1 判斷下列命題是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填 或 若a b 0 則 若a b 0 則 若a b 0 則 已知x r 則 2 設(shè)0 x 1 則 b 1 x 中最大的一個(gè)是 3 設(shè)則a b c之間的大小順序是 解析 1 作差可得 而a b 0 則此式錯(cuò)誤 a b 0 則 進(jìn)而可得 所以可得正確 故 錯(cuò)誤 當(dāng)取等號(hào)時(shí) 即此時(shí)需x2 2 1 顯然不成立 因此取不到等號(hào) 故 錯(cuò)誤 2 由a2 2x b2 1 x2 2x a2 a 0 b 0得b a 又得c b 知c最大 3 方法一 a 2 0 c 0 再由b2 c2 得bb a 方法二 由已知得a0 c 0 又 2 1 即bb a 答案 1 2 c 3 c b a 4 分析法 1 定義 從 出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至所需條件為 或一個(gè)明顯成立的事實(shí) 定義 公理或已證明的定理 性質(zhì)等 從而得出要證的命題成立 這種證明方法叫做分析法 這是一種 的思考和證明方法 要證的結(jié)論 已知條件 執(zhí)果索因 2 思路 分析法的思索線路是 執(zhí)果索因 即從要證的不等式出發(fā) 不斷用充分條件來代替前面的不等式 直至找到已知不等式為止 即時(shí)應(yīng)用 1 若 x b 則 完成下列證明過程 證明 b m 0 b 0 要證原不等式成立 只需證明b a m 0 只需證明b a 由已知顯然成立 原不等式成立 解析 1 要比較 1 xy 與 x y 的大小 只需要比較 1 xy 2與 x y 2的大小 1 xy 2 x y 2 1 xy 2 x y 2 1 2xy x2y2 x2 2xy y2 1 x2y2 x2 y2 1 x2 1 y2 又 x 0 即 1 xy 2 x y 2 0 1 xy x y 2 b a m 2 bm am 5 反證法 1 定義 先假設(shè) 以此為出發(fā)點(diǎn) 結(jié)合已知條件 應(yīng)用公理 定義 定理 性質(zhì)等 進(jìn)行正確的推理 得到和 矛盾的結(jié)論 以說明 不正確 從而證明 成立 這種證明方法稱為反證法 2 思路 對(duì)于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明 要證的命題不成立 命題的條件 或已證明的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實(shí) 等 假設(shè) 原命題 即時(shí)應(yīng)用 1 用反證法證明命題 如果a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一個(gè)能被5整除 時(shí) 假設(shè)的內(nèi)容是 2 用反證法證明命題 設(shè)二次函數(shù)f x x2 px 1 則 f 1 f 1 中至少有一個(gè)不小于2 時(shí) 反設(shè)應(yīng)為 解析 1 至少有一個(gè)能 的反面為 都不能 2 至少有一個(gè)不小于2 的反面為 都小于2 答案 1 a b都不能被5整除 2 f 1 f 1 都小于2 6 放縮法 1 定義 證明不等式時(shí) 通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小 簡化不等式 從而達(dá)到證明的目的 這種證明方法稱為放縮法 2 思路 分析證明式的形式特點(diǎn) 適當(dāng)放大或縮小是證題關(guān)鍵 即時(shí)應(yīng)用 1 設(shè)a 0 b 0 m n 則m與n的大小關(guān)系是 2 設(shè)m 則m與1的大小關(guān)系為 3 已知 a b 則m n之間的大小關(guān)系是 解析 1 a 0 b 0 n m m n 2 210 1 210 210 2 210 211 1 210 m 1 3 因?yàn)?a b a b 所以 1 即m 1 又因?yàn)?a b a b 所以 1 即n 1 所以m 1 n 答案 1 m n 2 m 1 3 m n 用比較法證明不等式 方法點(diǎn)睛 1 用作差比較法證明不等式的一般步驟 1 作差 將不等式左 右兩邊的式子看作一個(gè)整體進(jìn)行作差 2 變形 把差式進(jìn)行變形 或變形為一個(gè)常數(shù) 或變形為若干個(gè)因式的乘積 或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等 3 判號(hào) 根據(jù)已知條件 結(jié)合上述變形結(jié)果 判斷差式的符號(hào) 4 結(jié)論 肯定所求證的不等式成立 2 作商比較法證明不等式的一般步驟 1 作商 將不等式左右兩邊的式子 進(jìn)行作商 2 變形 化簡商式得到最簡形式 3 判斷 判斷商與1的大小關(guān)系 就是判斷商大于1或小于1或等于1 4 結(jié)論 提醒 1 當(dāng)被證的不等式 或變形后 兩邊都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí) 一般使用作商比較法 此時(shí)要注意說明分母的符號(hào) 2 當(dāng)被證的不等式兩端是整式 多項(xiàng)式 分式或?qū)?shù)式時(shí) 一般使用作差比較法 例1 1 求證 當(dāng)x r時(shí) 1 2x4 2x3 x2 2 求證 當(dāng)a 0 b 0時(shí) 3 2012 武漢模擬 已知a b 求證 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 解題指南 第 1 3 小題的不等式 可以采用作差比較法 而第 2 小題是冪指數(shù)型的不等式 兩端都是正數(shù) 可考慮采用作商比較法 規(guī)范解答 1 方法一 1 2x4 2x3 x2 2x3 x 1 x 1 x 1 x 1 2x3 x 1 x 1 2x3 2x x 1 x 1 2x x2 1 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 x 1 2 2 x 2 0 1 2x4 2x3 x2 方法二 1 2x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x4 2x2 1 x 1 2 x2 x2 1 2 0 1 2x4 2x3 x2 2 a 0 b 0 aabb 0 當(dāng)a b時(shí) 當(dāng)a b 0時(shí) 當(dāng)b a 0時(shí) 綜上可知 當(dāng)a 0 b 0時(shí) 3 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 a4 2a2b2 b4 4ab a2 2ab b2 a2 b2 2 4ab a b 2 a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 a2 2ab b2 4ab a b 2 a b 2 a b 4 a b a b 4 0 由此可知原命題成立 互動(dòng)探究 在保持本例 2 的條件下 若a b 試比較 a2 b2 a b 與 a2 b2 a b 的大小 解析 a2 b2 a b a2 b2 a b a b a2 b2 a b 2 2ab a b 又 0 a b 2ab 0 a b 0 2ab a b 0 即 a2 b2 a b a2 b2 a b 反思 感悟 1 變形 是作差比較法證明不等式的關(guān)鍵 變形 的目的在于判斷差的符號(hào) 一般通過因式分解或配方將差變形為幾個(gè)因式的積或配成幾個(gè)平方和的形式 當(dāng)差是二次三項(xiàng)式時(shí) 有時(shí)亦可用判別式來判斷符號(hào) 若遇到結(jié)果符號(hào)不能確定的情況 這時(shí)要對(duì)差式進(jìn)行分類討論 2 1 作差比較法尤其適用于具有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)特征的不等式的證明 2 作商比較法主要適用于積 商 冪 對(duì)數(shù) 根式形式的不等式證明 要注意分母的符號(hào) 變式備選 1 設(shè)f x 2x2 1 p與q同號(hào)且p q 1 求證 對(duì)任意a b r 有pf a qf b f pa qb 成立 證明 pf a qf b f pa qb p 2a2 1 q 2b2 1 2 pa qb 2 1 2 pa2 qb2 2 pa qb 2 p q 1 2 p 1 p a2 2pqab q 1 q b2 2pq a b 2 0 p與q同號(hào) pq 0 pf a qf b f pa qb 2 若a b c 求證 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 證明 a b c a b 0 b c 0 a c 0 于是 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 a2b a2c b2c b2a c2a c2b a2 b c b2 c a c2 a b a2 b c b2 c b b a c2 a b a2 b c b2 b c c2 a b b2 a b b c a2 b2 a b c2 b2 b c a b a b a b c b c b b c a b a b c b b c a b a c 0 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 3 已知a b是正實(shí)數(shù) n是正整數(shù) 求證 a b an bn 2 an 1 bn 1 證明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 abn anb an 1 bn 1 a bn an b an bn a b bn an 當(dāng)a b 0時(shí) bn an0 此時(shí) a b bn an a 0時(shí) bn an 0 a b0時(shí)bn an 0 a b 0 此時(shí) a b bn an 0 綜上所述 a b an bn 2 an 1 bn 1 0 即 a b an bn 2 an 1 bn 1 用綜合法證明不等式 方法點(diǎn)睛 1 綜合法證明的框圖表示用p表示已知條件或已有的不等式 用q表示所要證的結(jié)論 則綜合法可用框圖表示為p q1 q1 q2 q2 q3 qn q 2 利用 綜合法 證明不等式的常用結(jié)論 1 a 0 a2 0 a b 2 0 a b r 2 a2 b2 2ab a b 2 4ab a b r 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào) 3 a 0 b 0 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào) 4 a 2 a 0 2 ab 0 2 ab 0 例2 1 2012 南通模擬 已知x y z均為正數(shù) 求證 2 已知a b c都是實(shí)數(shù) 求證 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 3 設(shè)a b c 求證 解題指南 第 1 3 小題 從已知出發(fā) 借助不等式的性質(zhì) 定理 根據(jù)基本不等式 經(jīng)過逐步的邏輯推理 推導(dǎo)出要證明的結(jié)論 第 2 小題 以a2 b2 2ab a b r 為根據(jù) 利用綜合法證明 規(guī)范解答 1 因?yàn)閤 y z均為正數(shù) 所以同理可得當(dāng)且僅當(dāng)x y z時(shí) 以上三式等號(hào)都成立 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加 并除以2 得 2 a b r a2 b2 2ab b c r b2 c2 2bc c a r c2 a2 2ca 將以上三個(gè)不等式相加得2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 在不等式 的兩邊同時(shí)加上 a2 b2 c2 得3 a2 b2 c2 a b c 2 即a2 b2 c2 a b c 2 在不等式 的兩邊同時(shí)加上 2 ab bc ca 得 a b c 2 3 ab bc ca 即 a b c 2 ab bc ca 由 得a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 3 方法一 a c a b b c 又a b c 則a b 0 b c 0 a c 0 因此有 a b b c 方法二 設(shè)a b x b c y a b c x 0 y 0 a c x y 0 原不等式即 原不等式成立 反思 感悟 1 用綜合法證明不等式可利用已經(jīng)證過的不等式作為基礎(chǔ) 再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證的不等式 但要注意防止在推證中盲目套用公式和錯(cuò)用性質(zhì) 2 含有條件的不等式的證明問題 要將條件和結(jié)論結(jié)合起來 尋找變形的思路 構(gòu)造出基本不等式的形式 以正確使用基本不等式 3 通過等式或不等式的運(yùn)算 將待證的不等式化為明顯的 熟知的不等式 從而使原不等式得到證明 反之 亦可從明顯的 熟知的不等式入手 經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式 前者是 執(zhí)果索因 后者是 由因?qū)Ч?證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析法與綜合法 兩面夾擊 相輔相成 達(dá)到證明不等式的目的 變式訓(xùn)練 2012 大慶模擬 已知a b x y均為正數(shù) 且求證 證明 a b x y均為正數(shù) 且 則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 等號(hào)成立 變式備選 1 已知a b 0 且a b 1 求證 1 a2 b2 2 3 解題指南 題中不等式的左邊都含有 或隱含有 ab或 因此只要利用a b 1得出ab及的范圍 就能夠證出題中不等式 解析 由 得 1 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 1 2 a2 b2 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào) 2 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào) 3 由 1 2 的結(jié)論 知 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào) 2 已知a b c 0 且a b c 1 求證 1 2 3 證明 1 方法一 a b c 1 a b c均為正實(shí)數(shù) 即當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)等號(hào)成立 方法二 a b c 1 以下證明同方法一 2 a b c 0 a b c 1 同理由于上述三個(gè)不等式兩邊均為正 可以同向相乘 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取等號(hào) 3 a b c 0 兩邊同加a b c得3 a b c 又a b c 1 用分析法證明不等式 方法點(diǎn)睛 用分析法證明不等式的方法技巧當(dāng)證題不知從何入手時(shí) 有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決 特別是對(duì)于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目 往往更是行之有效 另外對(duì)于恒等式的證明 也同樣可以運(yùn)用 提醒 用分析法證明不等式時(shí) 不要把 逆求 錯(cuò)誤地作為 逆推 分析法的過程僅需要尋求充分條件即可 而不是充要條件 也就是說 分析法的思想是逆向思維 因此在證題時(shí) 應(yīng)正確使用 要證 只需證 這樣的連接 關(guān)鍵詞 例3 設(shè)a b c 0 且ab bc ca 1 求證 1 a b c 2 解題指南 本題是條件不等式 從已知式和待證式的結(jié)論較難用比較法證明 因此可利用分析法證明 規(guī)范解答 1 要證a b c 由于a b c 0 因此只需證明 a b c 2 3 即證 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 而ab bc ca 1 故需證明 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 即證 a2 b2 c2 ab bc ca 而這可以由ab bc ca a2 b2 c2 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)等號(hào)成立 證得 原不等式成立 2 在 1 中已證a b c 因此要證原不等式成立 只需證明即證即證 而 ab bc ca a b c 時(shí)等號(hào)成立 原不等式成立 反思 感悟 1 分析法是證明不等式的重要方法 當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式 基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系 較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí) 可用分析法來尋找證明途徑 使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆 2 分析法易于尋找解題思路 其步驟中相應(yīng)的語言敘述不可少 比如 要證 只需證 即證 否則是錯(cuò)誤的 有時(shí)也用 代替語言敘述 3 分析法執(zhí)果索因 利于思考 綜合法由因?qū)Ч?宜于表達(dá) 適合人們的思維習(xí)慣 凡是能用分析法證明的不等式 一定可以用綜合法證明 因此 我們做題時(shí) 通常先用分析法探求證題途徑 在解答問題時(shí)用綜合法書寫 變式訓(xùn)練 已知a b 0 且a b 1 求證 證明 要證即證即證 a b 1 從而只需證即證只需證ab 而a 0 b 0 1 a b ab 顯然成立 故原不等式成立 變式備選 已知a 0 b 0 2c a b 求證 證明 分析法 要證即要證即要證即要證 a c 20 所以只要證a 2c b 即要證a b 2c 由已知條件知 上式顯然成立 所以原不等式成立 用反證法證明不等式 方法點(diǎn)睛 1 反證法的主要適用情形 1 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯 直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰 2 如果從正面證明 需要分成多種情形進(jìn)行分類討論 而從反面進(jìn)行證明 只研究一種或很少的幾種情形 2 反證法的證明步驟 1 假設(shè) 作出與命題結(jié)論相反的假設(shè) 2 歸謬 在假設(shè)的基礎(chǔ)上 經(jīng)過推理 導(dǎo)出矛盾的結(jié)果 3 結(jié)論 肯定原命題的正確性 提醒 1 用反證法證明不等式 在否定了原命題的不等關(guān)系后 所得的數(shù)量關(guān)系一般不止一種情形 因?yàn)?的反面是 而不單是 在證明時(shí)切勿遺漏 2 證明過程一定要用 假設(shè) 否則不叫反證法 3 常用在直接證明比較困難或所證結(jié)論涉及 不可能 不是 至少 至多 唯一 等字眼時(shí)的題目 例4 已知a b c r f x ax2 bx c 若a c 0 f x 在 1 1 上最大值為2 最小值為 求證 a 0且 解題指南 直接證明a 0且比較困難 可考慮從反面入手 運(yùn)用反證法 導(dǎo)出矛盾 從而證得結(jié)論 規(guī)范解答 由a c 0得c a f x ax2 bx a 假設(shè)a 0或 1 由a 0得 f x bx 依題意知b 0 又f x 在 1 1 上是單調(diào)函數(shù) f x 的最大值為 b 最小值為 b 于是 b 2 b 顯然矛盾 故a 0 2 由得 且a 0 故f x 在 1 1 上單調(diào) 其最大值為 b 最小值為 b 由 1 知 這是不可能的 所以不成立 綜合 1 2 可知 假設(shè)不成立 故a 0且 反思 感悟 適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題 結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)的一類命題 關(guān)于唯一性 存在性的命題 結(jié)論以 至多 至少 等形式出現(xiàn)的命題 變式訓(xùn)練 已知f x x2 px q 求證 1 f 1 f 3 2f 2 2 2 f 1 f 2 f 3 中至少有一個(gè)不小于 證明 1 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 2 用反證法證明 方法一 假設(shè) f 1 f 2 f 3 都小于 則有 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 8 4p 2q 2出現(xiàn)矛盾 f 1 f 2 f 3 中至少有一個(gè)不小于 方法二 假設(shè) f 1 f 2 f 3 都小于 則有 p q 2p q 3p q 由 得 4 p 2 由 得 6 p 4 這不可能 假設(shè)不成立 從而 f 1 f 2 f 3 中至少有一個(gè)不小于 變式備選 已知函數(shù)f x 是 上的增函數(shù) a b r 1 若a b 0 求證 f a f b f a f b 2 判斷 1 中命題的逆命題是否成立 并證明你的結(jié)論 解析 1 a b 0 a b 由已知f x 的單調(diào)性得 f a f b 又a b 0 b a f b f a 兩式相加即得 f a f b f a f b 2 命題 1 的逆命題為 若f a f b f a f b 求證a b 0 逆命題成立 下面用反證法證之 假設(shè)a b 0 那么 a b 0 a b f a f b a b 0 b a f b f a f a f b f a f b 這與已知矛盾 故有 a b 0 逆命題得證 用放縮法證明不等式 方法點(diǎn)睛 1 放縮法證明不等式時(shí) 常見的放縮依據(jù)或技巧主要有 1 不等式的傳遞性 2 等量加不等量為不等量 3 同分子 母 異分母 子 的兩個(gè)分式大小的比較 縮小分母 擴(kuò)大分子 分式值增大 縮小分子 擴(kuò)大分母 分式值減小 全量不少于部分 每一次縮小其和變小 但需大于所求 每一次擴(kuò)大其和變大 但需小于所求 即不能放縮不夠或放縮過頭 同時(shí)放縮有時(shí)需便于求和 2 放縮法的常用措施 1 舍去或加上一些項(xiàng) 如a2 a 1等 2 將分子或分母放大 縮小 如等 3 利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì) 如 a b a b 等 提醒 放縮法在不等式的證明中幾乎處處存在 放 和 縮 均有一個(gè)度 放 和 縮 的方向與 放 和 縮 的量的大小是由題目的條件和結(jié)論分析得出的 例5 設(shè)a b是不相等的正數(shù) 且a3 b3 a2 b2 求證 14ab等不等式將已知等式進(jìn)行放縮 規(guī)范解答 a 0 b 0且a b a3 b3 a2 b2可化為a2 ab b2 a b a b 2 a2 2ab b2 a2 ab b2 a b a b 1 又 a b 2 4ab a b a2 b2 ab a b 2 ab a b 2 a b 2 即 a b 2 a b a b 1 a b 反思 感悟 1 放縮法證明不等式 就是利用不等式的傳遞性進(jìn)行證明不等關(guān)系 即要證a b 只需先證明a p 且p b 其中p的確定是最重要 也是最困難的 要憑借對(duì)題意的深刻分析 對(duì)式子巧妙變形的能力 以及一定的解題經(jīng)驗(yàn) 2 利用放縮法證明不等式 就是舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng) 或者在分式中放大或縮小分子 分母 還可把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù) 從而達(dá)到證明不等式的目的 放大或縮小時(shí)注意要適當(dāng) 必須目標(biāo)明確 合情合理 恰到好處 且不可放縮過大或過小 謹(jǐn)慎添或減是放縮法的基本策略 3 不等式的證明方法很多 要依據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧進(jìn)行證明 解題時(shí)既要充分利用已知條件 又要時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo) 即不僅要搞清是什么 還要搞清干什么 只有兼顧條件與結(jié)論 才能找到正確的解題途徑 變式訓(xùn)練 1 2012 宿遷模擬 設(shè)f x x2 x 13 實(shí)數(shù)a滿足 x a 1 求證 f x f a 2 a 1 解析 f x x2 x 13 f x f a x2 x a2 a x a x a 1 x a 1 又 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2a 1 2 a 1 f x f a x a 1 2 a 1 2 設(shè)m是 a b 和1中最大的一個(gè) 當(dāng) x m時(shí) 求證 證明 由已知m a m b m 1 又 x m x a x b x 1 成立 變式備選 已知 n n 求證 證明 綜上得 滿分指導(dǎo) 不等式證明的規(guī)范解答 典例 12分 2012 廣州模擬 設(shè)二次函數(shù)f x ax2 bx