第七章量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換.ppt

1925年7月初 海森伯終于完成了題為 從量子理論重新解釋運動學(xué)和力學(xué)關(guān)系 的論文 建立了矩陣力學(xué) 1926年 蘇黎世大學(xué)的奧地利科學(xué)家歐文 薛定諤發(fā)展了另一種形式的量子力學(xué) 波動力學(xué) 薛定諤的波動力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)的出發(fā)點不同 而且是通過不同的思維過程發(fā)展而來的 但是用這兩種理論處理同一問題時 卻得到了相同的結(jié)果 包括薛定諤本人在內(nèi)的許多人已經(jīng)證明了量子力學(xué)的這兩種形式彼此完全等價 海森伯的理論比薛定諤提出的早一些 可是科學(xué)家們在接受薛定諤的波動力學(xué)時卻顯得迅速得多 歷史回顧 量子力學(xué)的建立 矩陣力學(xué)和波動力學(xué)的提出 第七章量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換 方陣 行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣 矩陣簡介 1 定義 2 兩矩陣相等 行列數(shù)相等 3 兩矩陣相加 行列數(shù)相等 4 兩矩陣相乘 一個n列的矩陣A與一個n行的矩陣B相乘 1 稱A B矩陣相互不對易 稱A B矩陣相互對易 2 3 4 但B C不一定成立 5 AB 0 但A 0 B 0不一定成立 6 A2 0 但A 0不一定成立 5 對角矩陣 除對角元外其余為零 6 單位矩陣 單位矩陣與任何矩陣A的乘積仍為A IA A并且與任何矩陣都是可對易的 IA AI 把矩陣A的行和列互相調(diào)換 所得出的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣 7 轉(zhuǎn)置矩陣 共軛矩陣 8 厄密矩陣 如果一個矩陣A和它的共軛矩陣相等 則稱A矩陣為厄密矩陣 表象理論 根據(jù)量子力學(xué)的基本原理 微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)描述 力學(xué)量用線性厄密算符描述 前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量算符均以坐標(biāo)為變量而寫出其具體表達(dá)形式的 是否有其它描述方法 即以其它力學(xué)量的本征值譜為變量 回答是 不僅有 而且非常必要 因為恰當(dāng)選擇描述體系的具體形式 自變量 可給運算帶來很多方便 量子力學(xué)中狀態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式 表象常用表象 坐標(biāo)表象 動量表象 能量表象 角動量表象等 一個定義 表象的定義二個表示 態(tài) 波函數(shù) 在任意表象中的表示力學(xué)量 算符 在任意表象中的表示 三個公式 平均值公式本征值方程薛定諤方程在任意表象中的表示 表象理論中采用的數(shù)學(xué)工具主要是矩陣矩陣力學(xué) 海森堡Heisenberg 7 1量子態(tài)的不同表象 討論分立譜的情況 的本征值為 F1 F2 Fn 相應(yīng)本征函數(shù) 構(gòu)成正交歸一完備系 在坐標(biāo)表象中設(shè)力學(xué)量算符 若體系狀態(tài)用歸一化波函數(shù) x t 描述 有 說明 給出量子態(tài)在t時刻測量粒子坐標(biāo)為x的概率密度 1 an t 2表示在 x t 所描述的狀態(tài)中測量F得Fn的概率密度 二者從不同角度對同一量子態(tài)給予描述 物理意義是等價的 數(shù)學(xué)上也是等價的 2 an t 一般不再是坐標(biāo)x的函數(shù)而是力學(xué)量F的本征值Fn的函數(shù) 即量子數(shù)n的函數(shù) 隨n的不同取不同復(fù)數(shù)值 結(jié)論 an t 與 x t 描述體系的同一個態(tài) x t 是這一狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示 而數(shù)列 an t 是這同一狀態(tài)在F表象中的表示 我們可以把數(shù)列 an t 寫成列矩陣的形式 用 F標(biāo)記 把矩陣 F稱為 x t 所描寫的狀態(tài)在F表象中的波函數(shù) F的共軛矩陣是一個行矩陣 用 F標(biāo)記 若用矩陣表示歸一化 有 綜上所述 量子力學(xué)中體系的同一狀態(tài)可以用不同力學(xué)量表象中的波函數(shù)來描寫 所取表象不同 波函數(shù)的形式也不同 我們可以根據(jù)處理問題的需要選用適當(dāng)?shù)谋硐笠苑奖闱蠼?例 若給出 中心力場能量表象為 Hilbert 希耳伯特 空間 態(tài)矢量所在的無限維空間 量子力學(xué)中 態(tài)的表象這一概念與幾何學(xué)中選取不同的坐標(biāo)系來表示同一矢量的概念十分相似 在量子力學(xué)中 我們可以建立一個n維 n可以是無窮大 空間 把波函數(shù) 看成是這個空間中的一個矢量 稱為態(tài)矢量 選取一個特定力學(xué)量F表象 相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系 該坐標(biāo)系是以力學(xué)量F的本征函數(shù)系 為基矢 態(tài)矢量在各基矢上的分量 則為展開系數(shù) 可用這組分量來表示 在F表象中態(tài)矢量 F表象的基矢有無限多個 所以態(tài)矢量所在的空間是一個無限維的抽象的函數(shù)空間 稱為Hilbert空間 7 2力學(xué)量 算符 的矩陣表示 力學(xué)量算符的具體形式應(yīng)該與波函數(shù)的具體形式相對應(yīng) 以保證對波函數(shù)的作用有意義 F表象中的算符表示 分立譜的情況 設(shè)量子態(tài) 經(jīng)過算符 運算后變成另一個態(tài) 在以力學(xué)量完全集F的本征態(tài) k為基矢的表象 F表象 中 上式變成 以 左乘上式兩邊并對x積分 積分范圍是x變化的 整個區(qū)域得 表成矩陣的形式則為 在F表象中的矩陣表示 而矩陣 左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數(shù) 和波函數(shù) 中的表示 即算符 則有 用 表示這個矩陣 在F表象 的性質(zhì) 討論 F表象中力學(xué)量算符 1 算符在自身表象中是一對角矩陣 對角元素就是算符的本征值 證明 2 力學(xué)量算符用厄密矩陣表示 即L矩陣的第m列第n行的矩陣元等于第n列第m行矩陣元的復(fù)共軛 這就是厄密矩陣 用L 表示矩陣L的共軛矩陣 則有 其對角矩陣元為實數(shù) 證明 一維無限深勢阱能量的本征函數(shù)基矢為 求一維無限深勢阱中粒子的坐標(biāo)算符 及哈密頓算符 在能量表象中的矩陣表示 解 能級 n 1 2 3 例 當(dāng)時 非對角元為 當(dāng)m n時 對角元為 坐標(biāo)算符 哈密頓算符 對角元 7 3量子力學(xué)公式的矩陣表示 一 Schr dinger方程 在F表象中 t 按力學(xué)量算符F的本征函數(shù)展開 表示為 左乘 j 對x整個空間積分 取標(biāo)積 F表象中的Schr dinger方程 表示為矩陣形式 二 平均值公式 在量子態(tài) 下 力學(xué)量L的平均值為 F表象中力學(xué)量L的平均值的矩陣形式 特例 若 則 對角矩陣 則 假定 已歸一化 即 則 表示在 態(tài)下測量L得到Lk值的概率 三 本征值方程 在F表象中 t 按力學(xué)量算符F的本征函數(shù)展開 表示為 左乘 j 對x整個空間積分 取標(biāo)積 的本征方程在F表象中的矩陣形式 它是ak k 0 1 2 滿足的線性齊次方程組 有非平庸解的條件為 此方程組有非零解的條件 其系數(shù)行列式等于零 即 即 稱為久期方程 設(shè)表象空間維數(shù)為N 則上式是的 N次冪代數(shù)方程 對于可觀測量 Ljk為厄米矩陣 可以證明 上列方程必有N個實根 記為 j 0 1 2 N 可求出相應(yīng)的解 k 0 1 2 N 表成列矢 相應(yīng)的本征態(tài)在F表象中的表示 與本征值 給定算符如何求本征值與本征函數(shù) 1 先求用矩陣表示的本征方程 2 代入久期方程求得本征值的解 3 本征值代入本征方程求本征函數(shù) 1 在A表象中 算符A B的矩陣表示 2 在A表象中 算符B的本征值和本征函數(shù) 例1 設(shè)Hermite算符 滿足 且AB BA 0 求 解題思路 由A的本征函數(shù)的定義 很容易求出在A表象中A的本征函數(shù)及矩陣 利用A B之間的反對易關(guān)系和幺正性 即可給出B的矩陣 本征函數(shù)和本征值 由 解 1 在A的自身表象中 若無簡并 A的矩陣為 由AB BA 0 所以 因為 有 bc 1即 所以 在A表象下 2 設(shè)在A表象中 B的本征函數(shù)與本征值為 久期方程為 同理 當(dāng) 1時本征函數(shù)為 結(jié)合歸一化條件 當(dāng) 1時本征函數(shù)為 例2 已知體系的哈密頓算符 與某一力學(xué)量算符 在能量表象中的矩陣形式為 1 H和B是否是厄密矩陣 其中 和b為實常數(shù) 問 3 算符B的本征值及相應(yīng)的本征函數(shù) 2 H和B是否對易 解 1 所以H和B是厄密矩陣 2 所以H和B對易 3 設(shè)B的本征值為 代入久期方程有 例題3在正交歸一化基矢 所張的三維矢量空間中 t 0時的態(tài)矢 而物理體系的能量算符H和另外兩個物理量算符A與B的矩陣形式為 態(tài)中算符A B的 均為實數(shù) 求 1 所采用的是什么表象 基矢是什么 2 表象中波函數(shù) 態(tài)矢 的表示 3 態(tài)的能量可能值及相應(yīng)概率 4 可能值 相應(yīng)概率及平均值 解 1 因為矩陣H為對角矩陣 所以是能量表象 此表象 為H的本征態(tài) 基矢在能量表象中為 2 表象中波函數(shù)的表示為x表象 有 故能量表象中態(tài)矢為 3 由對角矩陣可知 能量取值只能是 且 是兩度簡并的 取 和 的概率分別是 故 或 4 卻不是A的本征函數(shù)集 令A(yù)在能量表象中的本征態(tài)為 是H的本征函數(shù)集 則本征方程為 本征值為 故 故 故 解久期方程 得 時 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 時 時 可見 由于能量表象不是 的自身表象 故 的矩陣形式不同于 要求A的可能值 2a a a 在 態(tài)中 即 態(tài)中 的概率分布 就要把 按A的本征態(tài)展開 最后得A表象中態(tài)矢表達(dá)式 所以A取值為 2a a 的概率分別為 量子力學(xué)可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運動規(guī)律 這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的 所以該方法所使用的符號稱為Dirac符號 4Dirac符號 1 右矢空間 ket 量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個Hilbert空間 空間中的一個矢量 方向 一般為復(fù)量 用以標(biāo)記一個量子態(tài) 在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個矢量 與量子狀態(tài)相對應(yīng) 該矢量稱為右矢 若要標(biāo)志某個特殊的態(tài) 則在右矢內(nèi)標(biāo)上某種記號 因為力學(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系 所以本征函數(shù)所對應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢 或基組 即右矢空間中的完備的基本矢量 簡稱基矢 右矢空間的任一矢量 可按該空間的某一完備基矢展開 例如 右矢空間中的每一個右矢量在左矢空間都有一個相對應(yīng)的左矢量 記為 2 左矢空間 bra 左矢相應(yīng)的一個抽象態(tài)矢 例如 互為共軛態(tài)矢 與 3 標(biāo)積 記為 態(tài)矢間的標(biāo)積 有 為歸一化態(tài)矢 正交 若 則稱 與 若 則稱 設(shè)力學(xué)量完全集F的本征態(tài) 離散 記為 k 它們的正交歸一性表示為 4 態(tài)矢在具體表象中的表示 在F表象中 基矢記為 k 態(tài)矢 可用 k 展開 即 展開系數(shù)是態(tài)矢 在基矢 k 上的投影 分量 當(dāng)所有ak都給定時 就確定了一個態(tài) 記為 所以這一組數(shù) 就是態(tài) 在F表象中的表示 常寫成列矢形式 用Dirac符號表示為 式中 是一個投影算符 記為 Pk對任何態(tài)矢 運算后 就得到態(tài)矢 在基矢 k 方向上的分量矢量 這一組基