高考數學 第五章 第二節(jié) 等差數列課件 理 蘇教版.ppt

第二節(jié)等差數列 1 等差數列的定義 1 條件 一個數列從 起 每一項減去它的前一項所得的差都等于 常數 2 公差 常數叫公差 用字母d表示 3 定義表達式 第二項 同一個 an 1 an d n n 2 等差數列的通項公式若等差數列 an 的首項是a1 公差是d 則其通項公式為an 3 等差中項若a a b這三個數成等差數列 那么a a叫做a和b的等差中項 a1 n 1 d 4 等差數列的前n項和公式 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數 則這個數列是等差數列 2 數列 an 為等差數列的充要條件是對任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差數列 an 的單調性是由公差d決定的 4 數列 an 為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數 5 等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數 解析 1 錯誤 若這些常數都相等 則這個數列是等差數列 若這些常數不全相等 這個數列就不是等差數列 2 正確 如果數列 an 為等差數列 根據定義an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若對任意n n 都有2an 1 an an 2 則an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根據定義數列 an 為等差數列 3 正確 當d 0時為遞增數列 d 0時為常數列 d 0時為遞減數列 4 錯誤 根據等差數列的通項公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有當d 0時 等差數列的通項公式才是n的一次函數 否則不是 5 錯誤 根據等差數列的前n項和公式 sn na1 顯然只有公差d 0時才是n的常數項為0的二次函數 否則不是 甚至也不是n的一次函數 即a1 d 0時 答案 1 2 3 4 5 1 在等差數列 an 中 已知a1 2 a2 a3 13 則a4 a5 a6等于 解析 方法一 a2 a3 a1 d a1 2d 2a1 3d 13 又 a1 2 d 3 a4 a5 a6 a1 3d a1 4d a1 5d 3a1 12d 3 2 12 3 42 方法二 a1 a2 a3 3a2 15 a2 5 d 3 a5 a1 4d 14 a4 a5 a6 3a5 3 14 42 答案 42 2 等差數列 an 的前n項和為sn 若a2 1 a3 3 則s4 解析 方法一 由a2 1 a3 3知d a3 a2 2 a1 a2 d 1 方法二 a2 a4 2a3 6 a4 6 a2 5 a1 a2 a3 a2 2a2 a3 1 s4 答案 8 3 已知 an 是等差數列 且a3 a9 4a5 a2 8 則該數列的公差是 解析 因為a3 a9 4a5 所以根據等差數列的性質可得 a6 2a5 所以a1 5d 2a1 8d 又因為a2 8 即a1 d 8 所以可得公差d 4 答案 4 4 1與 1的等差中項是 解析 1與 1的等差中項為答案 5 在等差數列 an 中 a5 10 a12 31 則數列的通項公式為 解析 a5 a1 4d a12 a1 11d 解得 an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 5 答案 an 3n 5 6 在等差數列 an 中 d 2 n 15 an 10 則sn 解析 由an a1 n 1 d 得 10 a1 15 1 2 解得a1 38 sn 360 答案 360 考向1等差數列的基本運算 典例1 1 已知 an 為等差數列 且a7 2a4 1 a3 0 則公差d 2 設sn為等差數列 an 的前n項和 若a2 1 a4 5 則s5等于 3 2013 蘇州模擬 設等差數列 an 的前n項和為sn 且a5 a13 34 s3 9 求數列 an 的通項公式及前n項和公式 思路點撥 1 根據已知和等差數列的通項公式得關于a1 d的方程組 解方程組即得 2 根據a2 1 a4 5 得關于a1 d的方程組求出a1 d 再使用求和公式 或者直接使用等差數列性質 3 根據a5 a13 34 s3 9可得關于a1 d的方程組 根據這個方程確定a1 d的關系即可確定所求 規(guī)范解答 1 由a7 2a4 1 a3 0 得得答案 2 方法一 由題意得即故s5 5a1 2 15 方法二 答案 15 3 設等差數列 an 的公差為d 由已知得故an 2n 1 sn n2 互動探究 本例題 2 中條件不變 則sn 解析 在本例題 2 的方法一中已經求解出所以 n2 2n 答案 n2 2n 拓展提升 1 等差數列運算問題的通性通法等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d 然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程 組 求解 2 等差數列前n項和公式的應用方法根據不同的已知選用兩個求和公式 如已知首項和公差 則使用公式sn na1 若已知通項公式 則使用公式sn 變式備選 已知等差數列 an 中 a5 1 a3 a2 2 則s11 解析 由a3 a2 2 得公差d a3 a2 2 由a5 a1 4 2 1 得a1 7 所以s11 11 7 2 33 答案 33 考向2等差數列的判定 典例2 1 若 an 是公差為1的等差數列 則 a2n 1 2a2n 是公差為 的等差數列 2 已知sn為等差數列 an 的前n項和 bn n n 求證 數列 bn 是等差數列 思路點撥 1 構造新數列cn a2n 1 2a2n 根據cn 1 cn是否對任意正整數n都等于同一個常數作出判斷 2 證明bn 1 bn對任意正整數n都等于同一個常數 或者利用等差中項的方法證明任意的三項都成等差數列 規(guī)范解答 1 設 an 的公差為d 則d 1 設cn a2n 1 2a2n 則cn 1 a2n 1 2a2n 2 cn 1 cn a2n 1 2a2n 2 a2n 1 2a2n 6d 6 答案 6 2 方法一 設等差數列 an 的公差為d sn na1 n n 1 d bn a1 n 1 d bn 1 bn a1 nd a1 n 1 d 常數 數列 bn 是等差數列 方法二 bn a1 n 1 d bn 1 a1 nd bn 2 a1 n 1 d bn 2 bn a1 n 1 d a1 n 1 d 2a1 nd 2bn 1 因此bn 2 bn 1 bn 1 bn bn bn 1 b2 b1 數列 bn 是等差數列 拓展提升 等差數列的四個判定方法 1 定義法 證明對任意正整數都有an 1 an等于同一個常數 2 等差中項法 證明對任意正整數都有2an 1 an an 2后 可遞推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根據定義得出數列 an 為等差數列 3 通項公式法 得出an pn q后 得an 1 an p對任意正整數n恒成立 根據定義判定數列 an 為等差數列 4 前n項和公式法 得出sn an2 bn后 根據sn an的關系 得出an 再使用定義法證明數列 an 為等差數列 提醒 等差數列主要的判定方法是定義法和等差中項法 而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷 變式訓練 設sn為數列 an 的前n項和 sn pnan n n a1 a2 1 求常數p的值 2 求證 數列 an 是等差數列 解析 1 sn pnan a1 a2 a1 pa1 p 1 2 由 1 知 sn nan 當n 2時 an sn sn 1 nan n 1 an 1 整理可得 n 1 an an 1 0 an an 1 0 n 2 數列 an 是等差數列 考向3等差數列的性質及前n項和的最值問題 典例3 1 2012 遼寧高考 在等差數列 an 中 已知a4 a8 16 則該數列前11項和s11 2 在等差數列 an 中 a3 a7 37 則a2 a4 a6 a8 3 2013 連云港模擬 已知在等差數列 an 中 a1 31 sn是它的前n項的和 s10 s22 求sn 這個數列前多少項的和最大 并求出這個最大值 思路點撥 1 利用等差數列的性質及sn 求解 2 根據等差數列性質整體求解 3 利用等差數列的性質求解 利用二次函數思想或利用鄰項變號法解決 規(guī)范解答 1 由于 an 為等差數列 所以a1 a11 a4 a8 16 所以s11 11 8 11 88 答案 88 2 由等差數列的性質可知a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 所以a2 a4 a6 a8 37 2 74 答案 74 3 s10 a1 a2 a10 s22 a1 a2 a22 又s10 s22 a11 a12 a22 0 0 即a11 a22 2a1 31d 0 又a1 31 d 2 sn na1 31n n n 1 32n n2 方法一 sn 32n n2 n 16 2 256 當n 16時 sn有最大值 sn的最大值是256 方法二 由an sn sn 1 可得an 2n 33 由an 2n 33 0 得n 由an 1 2n 31 0 得n 又n為正整數 所以當n 16時 sn有最大值256 拓展提升 1 等差數列的性質 1 項的性質 在等差數列 an 中 am an m n d d m n 其幾何意義是點 n an m am 所在直線的斜率等于等差數列的公差 2 和的性質 在等差數列 an 中 sn為其前n項和 則 s2n n a1 a2n n an an 1 s2n 1 2n 1 an 2 解等差數列前n項和sn的最值問題的兩種方法 1 函數法 利用等差數列前n項和的函數表達式sn an2 bn 通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解 2 鄰項變號法 a1 0 d0時 滿足的項數m使得sn取得最小值為sm 變式訓練 等差數列 an 前n項和為sn 已知a1 13 s3 s11 當sn最大時 n的值是 解析 方法一 s3 s11得a4 a5 a11 0 根據等差數列性質可得a7 a8 0 根據首項等于13可推知這個數列遞減 從而得到a7 0 a8 0 故n 7時 sn最大 方法二 由s3 s11可得3a1 3d 11a1 55d 把a1 13代入得d 2 故sn 13n n n 1 14n n2 根據二次函數性質 當n 7時 sn最大 方法三 根據a1 13 s3 s11 知這個數列的公差不等于零 由于s3 s11說明這個數列的和先是單調遞增的然后又單調遞減 根據公差不為零的等差數列的前n項和是關于n的二次函數 以及二次函數圖象的對稱性 當s3 s11時 只有n 7時 sn取得最大值 答案 7 滿分指導 解答等差數列的綜合題 典例 14分 2013 鄭州模擬 設等差數列 an 的前n項和為sn 且sn nan an c c是常數 n n a2 6 1 求c的值及數列 an 的通項公式 2 設tn 求tn 思路點撥 規(guī)范解答 1 因為sn nan an c 所以當n 1時 s1 a1 a1 c 解得a1 2c 2分當n 2時 s2 a2 a2 c 即a1 a2 2a2 c 解得a2 3c 所以3c 6 解得c 2 4分則a1 4 數列 an 的公差d a2 a1 2 所以an a1 n 1 d 2n 2 6分 2 因為 8分所以tn 10分 即 14分 失分警示 下文 見規(guī)范解答過程 1 2012 福建高考 等差數列 an 中 a1 a5 10 a4 7 則數列 an 的公差為 解析 由等差中項的性質知a3 5 又 a4 7 d a4 a3 2 答案 2 2 2013 無錫模擬 設數列 an 是等差數列 且a2 8 a15 5 sn是數列 an 的前n項和 則下列結論正確的是 s9 s10 s9 s10 s11 s10 s11 s10 解析 由題意得 a10 a1 9d 0 s9 s10 s11 s10 答案 3 2013 南京模擬 已知等差數列 an 的前n項和為sn 若m 1 且am 1 am 1 am2 1 0 s2m 1 39 則m等于 解析 數列 an 為等差數列 則am 1 am 1 2am 則am 1 am 1 am2 1 0可化為2am am2 1 0 解得am 1 又 s2m 1 2m 1 am 39 則m 20 答案 20 4 2012 北京高考 已知 an 是等差數列 sn為其前n項和 若a1 s2 a3 則a2 sn 解析 s2 a3 a1 a2 a3 a1 a1 d a1 2d d a1 a2 a1 d 1 sn na1 n n 1 d n2 n 答案 1n2 n 5 2012 廣東高考 已知遞增的等差數列 an 滿足a1 1 a3 a22 4 則an 解析 由a3 a22 4得到1 2d 1 d 2 4 即d2 4 因為 an 是遞增的等差數列 所以d 2 故an 2n 1 答案 2n 1 1 若lg2 lg 2x 1 lg 2x 3 成等差數列 則x的值等于 解析 lg2 lg 2x 3 2lg 2x 1 2 2x 3 2x 1 2 2x 2 4 2x 5 0