統(tǒng)計學(xué)第三章---課后習(xí)題.doc

1.略2 .某技術(shù)小組有12人，他們的性別和職稱如下，現(xiàn)要產(chǎn)生一名幸運者。試求這位幸運者分別是以下幾種可能的概率：（1）女性；（2）工程師；（3）女工程師，（4）女性或工程師。并說明幾個計算結(jié)果之間有何關(guān)系？序號123456789101112性別男男男女男男女男女女男男職稱工程師技術(shù)員技術(shù)員技術(shù)員技術(shù)員工程師工程師技術(shù)員技術(shù)員工程師技術(shù)員技術(shù)員解:設(shè)A女性，B工程師，AB女工程師，A+B女性或工程師（1）P(A)4/121/3（2）P(B)4/121/3（3）P(AB)2/121/6（4）P(A+B)P(A)P(B)P(AB)1/31/31/61/23.向兩個相鄰的軍火庫發(fā)射一枚導(dǎo)彈，如果命中第一個和第二個軍火庫的概率分別是0.06、0.09，而且只要命中其中任何一個軍火庫都會引起另一個軍火庫的爆炸。試求炸毀這兩個軍火庫的概率有多大。 解：本題考查互斥事件的概率，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是看清楚軍火庫只要一個爆炸就可以，所以知軍火庫爆炸是幾個事件的和事件P(A)=0.06+0.09=0.154. 某項飛碟射擊比賽規(guī)定一個碟靶有兩次命中機會（即允許在第一次脫靶后進(jìn)行第二次射擊）。某射擊選手第一發(fā)命中的可能性是80，第二發(fā)命中的可能性為50。求該選手兩發(fā)都脫靶的概率。解:設(shè)A第1發(fā)命中。B命中碟靶。求命中概率是一個全概率的計算問題。再利用對立事件的概率即可求得脫靶的概率。 0.8 脫靶的概率10.90.1或（解法二）：P(脫靶)P(第1次脫靶)P(第2次脫靶)5. 已知某產(chǎn)品的合格率是98%，現(xiàn)有一檢查系統(tǒng)，它能以0.98的概率準(zhǔn)確的判斷出合格品，而對不合格品進(jìn)行檢查時，有0.05的可能性判斷錯誤，該檢查系統(tǒng)產(chǎn)生錯判的概率是多少？解：考慮兩種情況，一種就是將合格品判斷錯誤，概率為98%*（1-0.98）=0.0196另一種情況就是將不合格品判斷錯誤，概率為（1-98%）*0.05=0.001所以該檢查系統(tǒng)產(chǎn)生錯判的概率是0.0196+0.001=0.02066. 有一男女比例為51:49的人群，一直男人中5%是色盲，女人中0.25%是色盲，現(xiàn)隨機抽中了一個色盲者，求這個人恰好是男性的概率？ 7. 消費者協(xié)會經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某品牌空調(diào)器有重要缺陷的產(chǎn)品數(shù)出現(xiàn)的概率分布如下：X012345678910P0.0410.1300.2090.2230.1780.1140.0610.0280.0110.0040.001 根據(jù)這些數(shù)值，分別計算：（1）有2到5個（包括2個與5個在內(nèi)）空調(diào)器出現(xiàn)重要缺陷的可能性。（2）只有不到2個空調(diào)器出現(xiàn)重要缺陷的可能性。（3）有超過5個空調(diào)器出現(xiàn)重要缺陷的可能性。解：離散型隨機變量的概率分布8. 已知某地區(qū)男子壽命超過55歲的概率為84，超過70歲以上的概率為63%。試求任一剛過55歲生日的男子將會活到70歲以上的概率為多少？解: 設(shè)A活到55歲，B活到70歲。所求概率為：9. 某企業(yè)決策人考慮是否采用一種新的生產(chǎn)管理流程。據(jù)對同行的調(diào)查得知，采用新生產(chǎn)管理流程后產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率達(dá)95的占四成，優(yōu)質(zhì)率維持在原來水平（即80%）的占六成。該企業(yè)利用新的生產(chǎn)管理流程進(jìn)行一次試驗，所生產(chǎn)5件產(chǎn)品全部達(dá)到優(yōu)質(zhì)。問該企業(yè)決策者會傾向于如何決策？解:這是一個計算后驗概率的問題。設(shè)A優(yōu)質(zhì)率達(dá)95，優(yōu)質(zhì)率為80，B試驗所生產(chǎn)的5件全部優(yōu)質(zhì)。P(A)0.4，P()0.6，P(B|A)=0.955， P(B|)=0.85，所求概率為：決策者會傾向于采用新的生產(chǎn)管理流程。10. 某公司從甲、乙、丙三個企業(yè)采購了同一種產(chǎn)品，采購數(shù)量分別占總采購量的25、30和45。這三個企業(yè)產(chǎn)品的次品率分別為4、5、3。如果從這些產(chǎn)品中隨機抽出一件，試問：（1）抽出次品的概率是多少？（2）若發(fā)現(xiàn)抽出的產(chǎn)品是次品，問該產(chǎn)品來自丙廠的概率是多少？解:令A(yù)1、A2、A3分別代表從甲、乙、丙企業(yè)采購產(chǎn)品，B表示次品。由題意得：P(A1)0.25，P(A2)0.30， P(A3)0.45；P(B|A1)0.04，P(B|A2)0.05，P(B|A3)0.03；因此，所求概率分別為：（1） 0.250.040.300.050.450.030.0385（2）11. 某人在每天上班途中要經(jīng)過3個設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。解:據(jù)題意，在每個路口遇到紅燈的概率是p24/(24+36)0.4。設(shè)途中遇到紅燈的次數(shù)X，因此，XB(3，0.4)。其概率分布如下表：xi0123P(X= xi)0.2160.4320.2880.064期望值（均值）1.2（次），方差0.72，標(biāo)準(zhǔn)差0.8485（次）12. 一家人壽保險公司某險種的投保人數(shù)有20000人，據(jù)測算被保險人一年中的死亡率為萬分之5。保險費每人50元。若一年中死亡，則保險公司賠付保險金額50000元。試求未來一年該保險公司將在該項保險中（這里不考慮保險公司的其它費用）：（1）至少獲利50萬元的概率；（2）虧本的概率；（3）支付保險金額的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。解:設(shè)被保險人死亡數(shù)X，XB(20000，0.0005)。（1）收入2000050（元）100萬元。要獲利至少50萬元，則賠付保險金額應(yīng)該不超過50萬元，等價于被保險人死亡數(shù)不超過10人。所求概率為：P(X 10)0.58304。（2）當(dāng)被保險人死亡數(shù)超過20人時，保險公司就要虧本。所求概率為：P(X20)1P(X20)10.998420.00158（3）支付保險金額的均值50000E(X)50000200000.0005（元）50（萬元）支付保險金額的標(biāo)準(zhǔn)差50000(X)50000(200000.00050.9995)1/2158074（元）13. 對上述練習(xí)題的資料，試問：（1）可否利用泊松分布來近似計算？（2）可否利用正態(tài)分布來近似計算？（3）假如投保人只有5000人，可利用哪種分布來近似計算？解: （1）可以。當(dāng)n很大而p很小時，二項分布可以利用泊松分布來近似計算。本例中，= np=200000.0005=10，即有XP(10)。計算結(jié)果與二項分布所得結(jié)果幾乎完全一致。（2）也可以。盡管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二項分布也可以利用正態(tài)分布來近似計算。本例中，np=200000.0005=10，np(1-p)=200000.0005(1-0.0005)=9.995，即有X N(10,9.995)。相應(yīng)的概率為：P(X 10.5)0.51995，P(X20.5)0.853262?？梢娬`差比較大（這是由于P太小，二項分布偏斜太嚴(yán)重）?！咀ⅰ坑捎诙椃植际请x散型分布，而正態(tài)分布是連續(xù)性分布，所以，用正態(tài)分布來近似計算二項分布的概率時，通常在二項分布的變量值基礎(chǔ)上加減0.5作為正態(tài)分布對應(yīng)的區(qū)間點，這就是所謂的“連續(xù)性校正”。（3）由于p0.0005，假如n=5000，則np2.53)=1-P(X3)=1-P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1-(0.31061+0.4419)=1-0.75253=0.2474716.某企業(yè)生產(chǎn)的某種電池壽命近似服從正態(tài)分布，且均值為200小時，標(biāo)準(zhǔn)差為30小時。若規(guī)定壽命低于150小時為不合格品。試求該企業(yè)生產(chǎn)的電池的：（1）合格率是多少？（2）電池壽命在200左右多大的范圍內(nèi)的概率不小于0.9。解:（1）0.04779合格率為1-0.047790.95221或95.221。(2) 設(shè)所求值為K，滿足電池壽命在200K小時范圍內(nèi)的概率不小于0.9，即有：即：，K/301.64485,故K49.3456。17.某公司決定對職員增發(fā)“銷售代表”獎，計劃根據(jù)過去一段時間內(nèi)的銷售狀況對月銷售額最高的5%的職員發(fā)放獎金。已知這段時間每人每月的平均銷售額（元）服從均值為4000、方差為360000的正態(tài)分布，那末公司應(yīng)該把“銷售代表”獎的最低發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)定為多少？解：NORMINV(0.95,40000,600)=40986.9118. 一個具有個觀察值的隨機樣本抽自于均值等于20、標(biāo)準(zhǔn)差等于16的總體。 給出的抽樣分布（重復(fù)抽樣）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差 描述的抽樣分布的形狀。你的回答依賴于樣本容量嗎？ 計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計量對應(yīng)于的值。 計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計量對應(yīng)于的值。解: 已知 n=64，為大樣本，=20，=16，在重復(fù)抽樣情況下，的抽樣分布的均值為a. 20, 2 b. 近似正態(tài) c. -2.25 d. 1.50 19. 參考練習(xí)18題求概率。23； 25； .落在16和22之間； 14。解: a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.001320. 一個具有個觀察值的隨機樣本選自于、的總體。試求下列概率的近似值： 解: a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.969921. 一個具有個觀察值的隨機樣本選自于和的總體。 你預(yù)計的最大值和最小值是什么？ 你認(rèn)為至多偏離多么遠(yuǎn)？ 為了回答b你必須要知道嗎？請解釋。解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必22. 考慮一個包含的值等于0，1，2，97，98，99的總體。假設(shè)的取值的可能性是相同的。則運用計算機對下面的每一個值產(chǎn)生500個隨機樣本，并對于每一個樣本計算。對于每一個樣本容量，構(gòu)造的500個值的相對頻率直方圖。當(dāng)值增加時在直方圖上會發(fā)生什么變化？存在什么相似性？這里和。解:趨向正態(tài)23. 美國汽車聯(lián)合會（AAA）是一個擁有90個俱樂部的非營利聯(lián)盟，它對其成員提供旅行、金融、保險以及與汽車相關(guān)的各項服務(wù)。1999年5月，AAA通過對會員調(diào)查得知一個4口之家出游中平均每日餐飲和住宿費用大約是213美元（旅行新聞Travel News，1999年5月11日）。假設(shè)這個花費的標(biāo)準(zhǔn)差是15美元，并且AAA所報道的平均每日消費是總體均值。又假設(shè)選取49個4口之家，并對其在1999年6月期間的旅行費用進(jìn)行記錄。1 描述（樣本家庭平均每日餐飲和住宿的消費）的抽樣分布。特別說明服從怎樣的分布以及的均值和方差是什么？證明你的回答；2 對于樣本家庭來說平均每日消費大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217美元之間的概率呢？解： a. 正態(tài)分布, 213, 4.5918 b. 0.5, 0.031, 0.93824. 技術(shù)人員對奶粉裝袋過程進(jìn)行了質(zhì)量檢驗。每袋的平均重量標(biāo)準(zhǔn)為克、標(biāo)準(zhǔn)差為克。監(jiān)控這一過程的技術(shù)人者每天隨機地抽取36袋，并對每袋重量進(jìn)行測量。現(xiàn)考慮這36袋奶粉所組成樣本的平均重量。（1）描述的抽樣分布，并給出和的值，以及概率分布的形狀；（3） 假設(shè)某一天技術(shù)人員觀察到，這是否意味著裝袋過程出現(xiàn)問題了呢，為什么？解： a. 406, 1.68, 正態(tài)分布 b. 0.001 c. 是，因為小概率出現(xiàn)了25. 某制造商為擊劍運動員生產(chǎn)安全夾克，這些夾克是以劍鋒刺入其中時所需的最小力量（以牛頓為單位）來定級的。如果生產(chǎn)工藝操作正確，則他生產(chǎn)的夾克級別應(yīng)平均840牛頓，標(biāo)準(zhǔn)差15牛頓。國際擊劍管理組織（FIE）希望這些夾克的最低級別不小于800牛頓。為了檢查其生產(chǎn)過程是否正常，某檢驗人員從生產(chǎn)過程中抽取了50個夾克作為一個隨機樣本進(jìn)行定級，并計算，即該樣本中夾克級別的均值。她假設(shè)這個過程的標(biāo)準(zhǔn)差是固定的，但是擔(dān)心級別均值可能已經(jīng)發(fā)生變化。1 如果該生產(chǎn)過程仍舊正常，則的樣本分布為何？2 假設(shè)這個檢驗人員所抽取樣本的級別均值為830牛頓，則如果生產(chǎn)過程正常的話，樣本均值830牛頓的概率是多少？3 在檢驗人員假定生產(chǎn)過程的標(biāo)準(zhǔn)差固定不變時，你對b部分有關(guān)當(dāng)前生產(chǎn)過程的現(xiàn)狀有何看法（即夾克級別均值是否仍為840牛頓）？4 現(xiàn)在假設(shè)該生產(chǎn)過程的均值沒有變化，但是過程的標(biāo)準(zhǔn)差從15牛頓增加到了45牛頓。在這種情況下的抽樣分布是什么？當(dāng)具有這種分布時，則830牛頓的概率是多少？解： a. 正態(tài) b. 約等于0 c. 不正常 d. 正態(tài), 0.0626. 在任何生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品質(zhì)量的波動都是不可避免的。產(chǎn)品質(zhì)量的變化可被分成兩類：由于特殊原因所引起的變化（例如，某一特定的機器），以及由于共同的原因所引起的變化（例如，產(chǎn)品的設(shè)計很差）。一個去除了質(zhì)量變化的所有特殊原因的生產(chǎn)過程被稱為是穩(wěn)定的或者是在統(tǒng)計控制中的。剩余的變化只是簡單的隨機變化。假如隨機變化太大，則管理部門不能接受，但只要消除變化的共同原因，便可減少變化（Deming,1982,1986;De Vor, Chang,和Sutherland,1992）。通常的做法是將產(chǎn)品質(zhì)量的特征繪制到控制圖上，然后觀察這些數(shù)值隨時間如何變動。例如，為了控制肥皂中堿的數(shù)量，可以每小時從生產(chǎn)線中隨機地抽選塊試驗肥皂作為樣本，并測量其堿的數(shù)量，不同時間的樣本含堿量的均值描繪在下圖中。假設(shè)這個過程是在統(tǒng)計控制中的，則的分布將具有過程的均值，標(biāo)準(zhǔn)差具有過程的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根，。下面的控制圖中水平線表示過程均值，兩條線稱為控制極限度，位于的上下3的位置。假如落在界限的外面，則有充分的理由說明目前存在變化的特殊原因，這個過程一定是失控的。 當(dāng)生產(chǎn)過程是在統(tǒng)計控制中時，肥皂試驗樣本中堿的百分比將服從和的近似的正態(tài)分布。1 假設(shè)則上下控制極限應(yīng)距離多么遠(yuǎn)？2 假如這個過程是在控制中，則落在控制極限之外的概率是多少？3 假設(shè)抽取樣本之前，過程均值移動到，則由樣本